银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第九章重积分.pdf_大学文库

银川科技职业学院《高等数学》教案第九章重积分第 2 页 §9 1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 zf(x y) 这里 f(x y)0 且在 D 上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域：  1  2      n  分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f ( i   i)为高而底为 i 的平顶柱体的体积为： f ( i   i) i (i1 2     n ) 这个平顶柱体体积之和： i i i n i V  f      ( , ) 1  可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 i i i n i V f         lim  ( , ) 1 0  其中  是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D 它在点(x y)处的面密度为 (x y) 这里 (x y)0 且在 D 上连续 现在要计算该薄片的质量 M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域  1  2      n  把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ( i   i) i  各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M        ( , ) 1  将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M          lim  ( , ) 1 0  其中  是个小区域的直径中的最大值 定义设 f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域  1  2      n  其中 i 表示第 i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i  i)

银川科技职业学院《高等数学》教案第九章重积分第 3 页作和 i i i n i f      ( , ) 1  如果当各小闭区域的直径中的最大值  趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分 记作 f x y d D  ( , )  即 i i i n D i f x y d f          ( , ) lim  ( , ) 1 0  f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i 的边长为xi和yi  则ixiyi  因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d 记作 dxdy 而把二重积分记作 f x y dxdy D  ( , ) 其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性 当 f(x y)在闭区域 D 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 f(x y) 在闭区域 D 上连续 所以 f(x y)在 D 上的二重积分都是存在的 二重积分的几何意义 如果 f(x y)0 被积函数 f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果 f(x y) 是负的 柱体就在 xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 二 二重积分的性质性质 1 设 c1、c2为常数 则 c f x y c g x y d c f x y d c g x y d D D D    [ ( , ) ( , )]  ( , )  ( , ) 1 2 1 2  性质 2 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如 D 分为两个闭区域 D1 与 D2 则 f x y d f x y d f x y d D D D      1 2 ( , ) ( , ) ( , )  性质 3        D D 1 d d ( 为 D 的面积)

银川科技职业学院《高等数学》教案第九章重积分第 7 页再乘以 8 就行了 第一卦限部分是以D{(x y)| 0y 2 2 R x , 0x}为底 以 2 2 z R x 顶的曲顶柱体 于是 V R x d D    2 2 8      R R x dx R x dy 0 0 2 2 2 2 8     R R x R x y dx 0 0 2 2 2 2 8 [ ] 3 0 2 2 3 16 8 (R x )dx R R      二 利用极坐标计算二重积分有些二重积分 积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量  、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 f x y d D  ( , )  按二重积分的定义 i n i i i D f x y d f           1 0 ( , ) lim ( , )  下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 分为 n 个小闭区域 小闭区域的面积为  i i i i i i        2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i  (2  )  2 1 i i i i i           2 ( )  iii  其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值 在i 内取点 ( , ) i i  设其直角坐标为( i   i) 则有 i i i  cos  i i i  sin  于是 i i n i i i i i i i n i i i f    f                    1 0 1 0 lim ( , ) lim ( cos , sin )  即 f x y d f     dd D D ( , ) ( cos , sin )     若积分区域 D 可表示为  1() 2()  则                     f d d d f d D     ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) ( cos , sin )  讨论如何确定积分限?

银川科技职业学院《高等数学》教案第九章重积分第 8 页                   f d d d f d D     ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin )                   f d d d f d D     ( ) 0 2 0 ( cos , sin ) ( cos , sin )  例 5 计算    D x y e dxdy 2 2  其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系中 闭区域 D 可表示为 0a  0 2  于是       D D x y e dxdy e dd  2 2 2         e d d e d a a 0 2 0 2 0 0 ] 2 1 [ ] [ 2 2         (1 ) (1 ) 2 1 2 2 2 0 a a e d e            注 此处积分    D x y e dxdy 2 2 也常写成      2 2 2 2 2 x y a x y e dxdy  利用 (1 ) 2 2 2 2 2 2 a x y a x y e dxdy e          计算广义积分 e dx x 2 0     设 D1{(x y)|x 2 y 2 R 2  x0 y0} D2{(x y)|x 2 y 2 2R 2  x0 y0} S{(x y)|0xR 0yR} 显然 D1SD2 由于 0 2 2  x y e  从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式            2 2 2 2 2 1 2 2 D x y S x y D x y e dxdy e dxdy e dxdy  因为 2 0 0 0 ( ) 2 2 2 2 2             R x R y R x S x y e dxdy e dx e dy e dx  又应用上面已得的结果有 (1 ) 4 2 1 2 2 R D x y e dxdy e         (1 ) 4 2 2 2 2 2R D x y e dxdy e         于是上面的不等式可写成 (1 ) 4 (1 ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 R R R x e e dx e            令 R 上式两端趋于同一极限 4   从而 2 2 0      e dx x 

银川科技职业学院《高等数学》教案第九章重积分第 10 页 §93 三重积分一、三重积分的概念定义设 f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成 n 个小闭区域 v1 v2     vn 其中vi 表示第 i 个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi 上任取一点(i  i  i) 作乘积 f( i   i   i)vi(i1 2    n)并作和 i i i i n i f v   ( , , ) 1     如果当各小闭区域的直径中的最大值  趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作 f x y z dv   ( , , )  即 i i i i n i f x y z dv  f v     ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      三重积分中的有关术语   ——积分号 f(x y z)——被积函数 f(x y z)dv——被积表达式 dv 体积元素 x y z——积分变量 ——积分区域 在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为 dv dxdydz 三重积分记作     f (x, y,z)dv f (x, y,z)dxdydz 当函数 f (x y z)在闭区域上连续时 极限 i i i i n i f v   lim  ( , , ) 1 0     是存在的 因此 f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定 f(x y z)在闭区域上是连续的 三重积分的性质 与二重积分类似 比如 c f x y z c g x y z dv c f x y z dv c g x y z dv       [ ( , , ) ( , , )]  ( , , )  ( , , ) 1 2 1 2  f x y z dv f x y z dv f x y z dv          1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )  dvV    其中 V 为区域的体积 二、三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第九章 重积分

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