北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 第9节 闭区间上连续函数的性质

第一章 第9为 用闭区间上连续蓝数的性质 定理1最大值最小值定理 定理2有界性定理 定理3介值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第9节 定理1 最大值最小值定理 定理2 有界性定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 定理3 介值定理

定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值 即：设f(x)eC[a,b],则51,52∈[a,b],使 f5)=m,冈 y=f(x) f(52)=max f(x) a≤x≤b ass b x 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值. 即: 设 f (x)C[a, b], 1  2 则 , [ , ],  1  2  a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb   ( ) max ( ) 2 f f x a xb   或在闭区间内有间断 点 , x y a b y  f (x) O

例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1, 0≤x<1 1,x=1 也无最大值和最小值 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1

定理2（有界性定理） 闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M-m)m xEla,b] xEla,b] 故x∈a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 0a5152bx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1  2 m M 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b  min ( ) [ , ] m f x x a b  证: 设 上有界 . 定理2（有界性定理） 闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界. b x y a y  f (x) O

定理3（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C. y=f(x) 证：作辅助函数 (x)=f(x)-C 则p(x)∈C[a,b],且 p(a)p(b)=(A-C)(B-C)<0 使 故由零点定理知，至少有一点∈(a,b), p(5)=0, 即 f(5)=C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a)  A, f (b)  B, A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x)  f (x) C 则 (x)C[a, b] , 且 (a)(b)  (AC)(B C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 C  使 至少有 x A b y a y  f (x) B O

推论1 设函数fx)在闭区间a,b上连续，它在a, b]上的最大值为M,最小值为m,则对介于M与m 之间的任何一个数C,至少存在一点∈(a,b),使 得 的=C. 推论2若函数fx)在闭区间[a,b]上连续，并且o 与b)异号，则在开区间(a,b)中至少存在一点， 使得=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论2 若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，并且f(a) 与f(b)异号，则在开区间(a，b)中至少存在一点ξ， 使得f(ξ)＝0. 推论1 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，它在[a， b]上的最大值为M，最小值为m，则对介于M与m 之间的任何一个数C，至少存在一点ξ∈(a，b)，使 得 f(ξ)＝C

例.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1],又 f(0)=1>0,f(1)=-20, 则()，I)内必有方程的根 取[，1]的中点x=,f()<0, 则(2，)内必有方程的根；…可用此法求近似根 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 内容小结目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O 1 x 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: , 2 1 x  ( ) 0, 8 1 2 1 f   ( ,1) 内必有方程的根 ; 2 1 取 的中点 , 4 3 x  ( ) 0, 4 3 f  ( , ) 内必有方程的根 ; 4 3 2 1  可用此法求近似根. 二分法     在区间 内至少有 则 则 4 3 2 1 内容小结

内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值； 4.当f(a)f(b)<0时，必存在5∈(a,b),使f()=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在

思考与练习 1.任给一张面积为A的纸片（如图），证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片 提示：建立坐标系如图 则面积函数S(0)∈C[a,B] 因S(c)=0,S(β)=A 故由介值定理可知： 30∈(a,),使S(0)= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. O x y   则面积函数 S( )C[ , ] 因 S()  0, S()  A 故由介值定理可知: ( , ),  0    . 2 ( ) 0 A 使 S   S( ) 

2.设f(x)∈C[0,2a小，f(0)=f(2a),证明至少存在 一点5∈[0，a],使f()=f(5+a) 提示：令p(x)=f(x+a)-f(x) 则p(x)∈C[0,a],易证o(0)p(a）≤0 作业 P50(习题1-9)2；3； BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 习题课目录上页下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 2. 设 作业 P50(习题1－9） 2 ; 3; 一点 习题课