第3为 第五章 微积分基本公式 变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 第3节 微积分基本公式 第五章
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[T,T,]内经过的路程为 70)d=sg)-s) 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
二、积分上限的函数及其导数 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则积分上 限的函数 rx)=「if)d 在区间[a,b]上可导，且 fod-(Fodr)- 定理2 如果)在[a,b1止连续，则)=∫f)d 就是x)在[a,b]上的一个原函数. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数 x a (x) f (t)dt 定理1 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上 限的函数 在区间[a，b]上可导，且 定理2 如果f(x)在[a，b]上连续，则 就是f(x)在[a，b]上的一个原函数．
说明： 1)定理2证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)其他变限积分求导： "fdi=-f() &g70ndi-ioNpt &Jr0d-=d[wod+g7ed] =f[e(x)]o'(x)-f[w(x)]w'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x f [(x)](x) f [(x)](x) ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
三、牛顿-莱布尼茨公式 定理3设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则了f(x)dr=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼茨公式) 证：根据定理2，Jf(x)r是f(x)的一个原函数，故 F(x)="f(x)dx+C 令x=a,得C=F(a),因此Jf(x)dx=F(x)-F(a) 再令x=b,得 /Rds=POFO)B[F2整F2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证: 根据定理2, 故 F x f x x C x a ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a 得 记作 定理3 函数 , 则 或
3 例5.3.2计算 dx. a-nni-s V3 解： 3 arctan(-1) 102 5 12 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例5.3.2 计算 解:
例5.3.8计算lim coSx x→0 x2 COSX 解：lim COSx le-d 三 im x-0 →0 x2 =im二er(-sn） x→0 2x 2e BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例5.3.8 计算 解:
内容小结 1.微积分基本公式 设f(x)∈C[a,b],且F'(x)=f(x),则有 ∫fx)dx=f5b-a）=F'(5b-a)=Fb),F(a 积分中值定理 微分中值定理 牛顿-莱布尼茨公式 2.变限积分求导公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 设 f (x)C[a,b], 且F(x) f (x), 则有 1. 微积分基本公式 f x x b a ( )d 积分中值定理 F()(b a) F(b) F(a) 微分中值定理 f ()(b a) 牛顿 – 莱布尼茨公式 2. 变限积分求导公式
作业 P1701(1),(3),(5),(7); 2(2)； 3(2),(4),(6),(8),(10)； 5(1),(4), 6(2)； 7; BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ©-e-0C①8 第4节目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 作业 第4节 P170 1 (1) , (3) , (5) , (7) ; 2 (2) ; 3 (2) , (4) , (6) , (8) ,(10) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) ; 7;
备用例题 1.设=2-f)ax+26fdx,求 解：定积分为常数，故应用积分法定此常数. 设 j0f)dx=a,f)dx=b,则 f(x)=x2-bx+2a -aa-f-g20 +2a b=67wdr-f-空2axg =0- 2b+4a 4 →f(x)=x2 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 备用例题 解： 1. 设 求 定积分为常数 , ( )d , 1 0 f x x a 设 f x x b 2 0 ( )d , 则 故应用积分法定此常数