北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第6章 空间解析几何 第2节 向量的向量积

第2节 第六章 句量的向量积 一 向量的向量积 二、混合积 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、混合积 第2节 一、向量的向量积 向量的向量积 第六章

一、向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为O 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=0F=sin0 OP三F三M符合右手规则 M⊥OP M⊥F 00=OP sine BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ  O P L   Q 符合右手规则  OQ F  OP F sin OP sin OP  F  M M  OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M  F

定义1 设a,b的夹角为0，定义 方向：cLa,cLb且符合右手规则 向量c 模：c=a bsin0 称c为向量ā与b的向量积，记作 c-axb (外积、叉积) 引例中的力矩M=OPxF c-axb 思考：右图三角形面积 S=2axb BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义1 定义 向量 方向 : (外积、叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c  a, c  b c  a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c  ab  ab 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝

性质 axb a b sine (1)axa=0 (2)a,b为非零向量，则axb=0二a/b 证明：当a≠0，b≠可时 axb=0 a b sin0=0 sin0=0,即0=0或π三a∥b 运算规律 ①)axb=-bxd (2)分配律(a+b)xc=axc+bxC (证明略) (3)结合律(2a)×b=a×(2b)=2(a×b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质 为非零向量, 则 sin  0，即  0 或π (1) a a  0 (2) a, b ab  0 a ∥ b 当a  0, b  0时, a ∥ b ab  0 a b sin  0 运算规律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略)  b a (a  b)c ac  bc ( a)b a( b)   (ab) (1) ab 证明: ab  a b sin

向量积的坐标表示式 设a=a,i+a,j+a.k,b=b,i+b,j+b.k,则 a×b=(a,i+a,+a,)x(bi+b,j+b无) =ab(ixi)+ab,(i×j)+a,b.(ix元) ta,b.(jxi)+aby(jxJ)+a,b:(JxR) +a.b.(k×i)+a.b,(×j)+ab(kxK) =(ayb:-a-by)i+(a-bx -axb-)j +(axby-aybs)k BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 (ax i  ay j  az k ) (b i b j b k ) x  y  z 向量积的坐标表示式 设 a  ax i  ay j  az k , b  bx i  by j  bz k , 则 a b ( i i )  x x  a b a b i y z z y  (  ) a b a b j z x x z  (  ) a b a b k x y y x  (  ) a b ( j j )  y y  a b ( k k )  z z  i j k

向量积的行列式计算法 axb=(ayb--aby)i+(abx-ajb-)j +(axby -aybx)k a=axi+ay J+ak a. b=bi+b,j+b.元 bx a b, b b BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法 i j k  ax ay az bx by bz , x z x z b b a a  a b a b i y z z y (  ) a b a b j z x x z  (  ) a b a b k x y y x  (  ) a a i a j a k  x  y  z b b i b j b k  x  y  z

例6.2.2已知三点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求三 角形ABC的面积 解：如图所示 =2 ABAC sin0 1-2 ABx AC 2 2 2 2 5(4。-6,2) 4 =4+(-6+2=☑ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例6.2.2 已知三点 A(1,2,3), B(3,4,5),C(2,4 ,7), 角形 ABC 的面积 . 解: 如图所示, SABC  A B C  2 1  i j k 2 2 2 1 2 4 ( ) 2 1  4,  6, 2 2 2 2 4 ( 6) 2 2 1      14 sin 2 1 AB AC 2 1  AB AC 求三

二、混合积 定义2已知三向量a,b,c,称运算 (axb)-c 记作 [abe] ↑axb 为a,b,c的混合积 几何意义 以a,b,c为棱作平行六面体，则其 底面积A=axi,高h=cos a 故平行六面体体积为 V=Ah=axb cosa (axb).c [abc] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、混合积 定义2 已知三向量 称运算 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高  h  故平行六面体体积为 V  Ah   ( a  b ) c  a b c  a , b , c, 为a , b , c的 A  ab , c 以a , b , c 则其 ( a  b ) c  a b c  ab c b a

混合积的坐标表示式 a=(ax,ay,a=),b=(bs by,b=),c=(Cx:cy,c=) axb=as ay a: bx by b 0 ax [abc]=(axB)c- b. Cx bx /9 bx by bx Cx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y z x y z b b b a a a  x c y c z c i j k    混合积的坐标表示式 设 ax ay az bx by bz     x z x z b b a a  x y x y b b a a  ( ab ) c  ab  ( , , ), a  ax ay az  a b c  y z y z b b a a  ( , , ), b  bx by bz ( , , ) x y z c  c c c , y z y z b b a a , x z x z b b a a  x y x y b b a a x c y c z c

性质 (1)三个非零向量ā，b,c共面的充要条件是 [abc]-0 (2)轮换对称性 [a bol-[bcal-[c a bl (可用三阶行列式推出) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是  0 (2) 轮换对称性 : [ ] (可用三阶行列式推出)  a b c  a , b , c a b c  [ b c a ]  [ c a b ] a b c