北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数的应用 第2节 洛必达法则

第2为 第三章 洛必达法则 型和”型未定式 二、其他类型的未定式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、其他类型的未定式 一、 型和 型未定式 0 0 第2节 洛必达法则 第三章

函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限1im ) 或”型) 转化 洛必达法则 导数之商的极限1i f'(x) g'(x) 格必达，G.下，Ade BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 洛必达 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达

0-0 型和” 型未定式 定理1. 1)lim f(x)=limg(x)=0 x→a x→d 2)f(x)与g(x)在U(a)内可导，且g'(x)≠0 lim) 3) 存在（或为o)》 x-→a g'(x) lim)=lim /(x) (或为无穷大) a g(x)xa g'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、 '( ) ( ) 3) lim g x f x x a   存在 (或为 ) '( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a     2) f (x)与g(x) 在U(a)内可导,  定理 1. 型和 0 0 (或为无穷大) .   型未定式

定理条件：1)limf(x)=limg(x)=0 x->a x→a 2)f(x)与g(x)在U(a)内可导，且g'(x)≠0 3)im f'(x) 存在（或为o) x→ 8'(x) 证：无妨假设f(a)=g(a)=0,在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),g(x)在以a,x为端点的区间上满足柯 西中值定理条件，故 f(x)_f(x)-f(a）f'(5) (5在a,x之间) g(x) g(x)-g(a) g(5) lim f(x) f'(5)3) lim f'(x) x→a 8(x) x→a8'(5) x->a 8'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (  在 a, x 之间) 证: 无妨假设 f (a)  g(a)  0, 在指出的邻域内任取 则 在以a, x 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a f x f a g x f x    '( ) ( )   g f   '( ) ( ) lim   g f x a    3) 定理条件: 西中值定理条件, '( ) ( ) 3) lim g x f x x a   存在 (或为 ) 2) f (x)与g(x) 在U(a)内可导, 

'(x) 洛必达法则 lim (x) =lim x→ g(x) x→a (x 推论1.定理1中x>a换为下列过程之一： x→a，x>a，x>0,x-→+0，X>-00 条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1im ') x->a g"(x) 仍属9型，且∫x),g)满足定 理1条件，则 lim f=iim'(o-=1im/"(） x->a g(x)→ag'(x)ag'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 定理1 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论1. 定理 1 中 x  a 换为下列过程之一: ,   x a 推论2. 若 '( ) ( ) lim g x f x x a   理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x  , 洛必达法则 定理1

1+x2-1 例3.2.1求1im 型 x>0 sinx2 2 解：原t道m30+).2x 洛 x->0 2xcosx2 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.2.1 求 型 0 0 . 3 1  解: 原式 2 3 2 2 0 2 cos (1 ) 2 3 1 lim x x x x x      洛

ex-e x-2x 例3.2.2求1im x→0 x-sinx 解：lim e*-e *-2x lim e*+e *-2 lim ex-ex x-→0 x-sinx x→>0 1-cosx x→0 sin x =lime te =2. x→0 cosx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.2.2 求 解:

定理2. 1)limf(x)=limg(x)=0; x00 2)f(x)与g(x)在x>N可导，且8'(x)≠0 3)1im f"(x) 存在（或为∞） X→∞ '(x) lim f(x) f'(x) (洛必达法则 8(x) x->a g'(x) 证明与定理1相类似， 注：对于xa或xo时 fw为9 型未定式 8(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 '( ) ( ) 3) lim g x f x x   存在 (或为∞) . '( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x x a     定理 2. 证明与定理1相类似. (洛必达法则) 2) f (x)与g(x) 在x  N可导, 注：对于x→a或x→∞时 型未定式.   为 ( ) ( ) g x f x

例3.2.6求1im x” 2x (>0,2>0) 型 x→+0e 解：(1)n为正整数的情形 nxh-l 原式=lim 渣 n(n-1）xn-2 X>+00 Aeix X>+0 22e2x 洛洛 lim n! A"eir =0 x>+0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.2.6 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式  0 x n x nx   e lim 1   x n x n n x   e ( 1) lim 2 2    ( 0). e lim      n 0 , x x n x 型   洛 n x x n   e ! lim   洛 洛

例3.2.6求1im x” (n>0,>0) x→十00 (2)n不为正整数的情形 存在正整数k,使当x>1时， xk十0 e lim lim x” 二( X>+0 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.2.6 求 ( 0). e lim      n 0 , x x n x (2) n 不为正整数的情形. n x 从而 x n x  e  x k x  e x k x  e 1  由(1) 0 e lim e lim 1      x k x x k x x x   0 e  lim   x n x x  用夹逼准则  k x 1  k x 存在正整数 k , 使当 x > 1 时