银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十一章 无穷级数

银川科技职业学院《高签数学》救集 第十一童无游级邀 章节名称： 第十一章 无穷级数 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件。 2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法。 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项 积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10.掌握e,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+a)的麦克劳林展开式，会用它们将一些 简单函数间接展开成幂级数。 11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [H,]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，上的函数展开为正弦级数与余弦级数， 会写出傅里叶级数的和的表达式。 重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别： 3、交错级数的莱布尼茨判别法： 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域： 5、e,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+a)“的麦克劳林展开式：6、傅里叶级数。 难点： 1、比较判别法的极限形式：莱布尼茨判别法： 2、任意项级数的绝对收敛与条件收敛：函数项级数的收敛域及和函数： 3、泰勒级数；傅里叶级数的狄利克雷定理。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 1 页 章节名称： 第十一章 无穷级数 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件。 2．掌握几何级数与 P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项 积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握 ,sin ,cos x e x x ，ln(1 )  x 和 (1 ) a   的麦克劳林展开式，会用它们将一些 简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数， 会写出傅里叶级数的和的表达式。 重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、 ,sin ,cos x e x x ，ln(1 )  x 和 (1 ) a   的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 难点： 1、比较判别法的极限形式；莱布尼茨判别法； 2、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域及和函数； 3、泰勒级数；傅里叶级数的狄利克雷定理。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银科技职业学院《高签数学》救妹 第土一章无穷级数 S11.1常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数：给定一个数列 1,2,3,··3m··y 则由这数列构成的表达式 1+2+⅓+··+m+·· 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为2， 即 乞，=++5+…++…，其中第n项un叫做级数的一般项。 级数的部分和：作级数2，的前n项和s,=立4=4+山+++4。 =l i=l 称为级数∑4n的部分和. n=l 级数敛散性定义：如果级数24，的部分和数列，有极限3，即m5,=5, n=l 1→0 00 则称无穷级数∑收敛，这时极限s叫做这级数的和， n=l 并写成 5=2,=4++++,+…； n=1 如果s}没有极限，则称无穷级数∑4n发散. n=1 余项：当级数，收敛时，其部分和5n是级数2，的和s的近似值，它们 n=l =1 之间的差值 7=5-S=41+w2+叫做级数足山，的余项 刀三 例1讨论等比级数（几何级数） 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 2 页 §11 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数 给定一个数列 u1 u2 u3    un    则由这数列构成的表达式 u1  u2  u3     un     叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为   n1 n u  即 1 2 3 1            n n un u u u u  其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项 级数的部分和 作级数   n1 n u 的前 n 项和 n n i sn ui u u u   u  1 2 3 1 称为级数   n1 n u 的部分和 级数敛散性定义 如果级数   n1 n u 的部分和数列 { }n s 有极限 s 即 s s n n   lim  则称无穷级数   n1 n u 收敛 这时极限 s 叫做这级数的和 并写成 1 2 3 1             n n s un u u u u  如果 { }n s 没有极限 则称无穷级数   n1 n u 发散 余项 当级数   n1 n u 收敛时 其部分和 s n是级数   n1 n u 的和 s 的近似值 它们 之间的差值 rnssnun1un2   叫做级数   n1 n u 的余项 例 1 讨论等比级数(几何级数)

银川科技职业学院《高签数学》教未 第十一童无穷级邀 .aq=ataq+aq+..+ap+. n=0 的敛散性，其中a≠0，q叫做级数的公比. 解如果q≠1，则部分和 Sn=atagtag?+...+agm-1=a-ag"a ag" 1-q1-q1-q 当水1时，因为一=已，所以此时级数三a叫收敛其和为号司 刀→00 n=0 当g1时，因为m,=0,所以此时级数2ag”发散。 n=0 如果ql,则当g=1时，S=na→o,因此级数∑ag发散； 开三0 当g=-1时，级数2ag成为 n=0 a-a+a-a+··, 时lq仁1时，因为sm随着n为奇数或偶数而等于a或零， 所以sn的极限不存在，从而这时级数∑ag”也发散. 7=0 综上所述，如果冰k1,则级数g收敛其和为台g:如果P1,则级数 1=0 2ag”发散. =0 仅当水1时，几何级数aga0收敛，其和为台g n=0 例2证明级数1+2+3+.+n+.. 是发散的. 证此级数的部分和为 n-l+2+3+…+n=n+ 2 显然，nmSn=o,因此所给级数是发散的. n-00 例3判别无穷级数名4+ 1 的收敛性」 nn+1) 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 3 页 2 0            n n n aq a aq aq aq 的敛散性 其中 a0 q 叫做级数的公比 解 如果 q1 则部分和 q aq q a q a aq s a aq aq aq n n n n               1 1 1 2 1  当|q|1 时 因为 q a sn n    1 lim  所以此时级数 n n aq  0 收敛 其和为 q a 1  当|q|>1 时 因为   n n lim s  所以此时级数 n n aq  0 发散 如果|q|1 则当 q1 时 sn na 因此级数 n n aq  0 发散 当 q1 时 级数 n n aq  0 成为 aaaa    时|q|1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于 a 或零 所以 sn 的极限不存在 从而这时级数 n n aq  0 也发散 综上所述 如果|q|1 则级数 n n aq  0 收敛 其和为 q a 1  如果|q|1 则级数 n n aq  0 发散 仅当|q|1 时 几何级数 n n aq  0 a0)收敛 其和为 q a 1  例 2 证明级数 123  n   是发散的 证 此级数的部分和为 2 ( 1) 1 2 3         n n sn n  显然   n n lim s  因此所给级数是发散的 例 3 判别无穷级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1            n n 的收敛性

银川科技职业学院《高签数学》教未 第十一童无穷级邀 解由于 ☆ 因此 1 +1+1 n2+23+34+…+ 1 n+) nn+l' 从而 m-1, 1-→00 所以这级数收敛，它的和是1. 二、收敛级数的基本性质 性质1如果级数，收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级 1=1 数2k,也收敛，且其和为ks.(如果级数24，收敛于和s,则级数∑k,也收敛， n=1 n=】 n= 且其和为ks.) 这是因为，设24，与2k知，的部分和分别为5与0，则 00 n=1 lim on lim (ku+ku+...ku)=k lim (u+u+...u)=k lim s=ks. 110 这表明级数∑k4收敛，且和为ks. n=l 性质2如果级数2，、分别收敛于和s、。则级数，士，)也收敛， n=1 n=l n=l 且其和为s±o 这是因为，如果立4，、】 ，、立u,,)的部分和分别为、、则 n=1 =1 m= imtn=lim[(4±)+(w±2)+…+(u,±vn】 =lm[(4+山2+…+n)±(+2+…+vn】 =lm(sn±on)=s±o. 7→00 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 4 页 解 由于 1 1 1 ( 1) 1      n n n n un  因此 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1           n n sn 1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1             n n n 从而 ) 1 1 1 lim lim (1       n s n n n  所以这级数收敛 它的和是 1 二、收敛级数的基本性质 性质 1 如果级数   n1 n u 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级 数   n1 n ku 也收敛 且其和为ks (如果级数   n1 n u 收敛于和s 则级数   n1 n ku 也收敛 且其和为 ks ) 这是因为 设   n1 n u 与   n1 n ku 的部分和分别为 sn 与n 则 lim lim ( ) 1 2 n n n n  ku ku  ku    k u u u k s ks n n n n        lim ( 1 2 ) lim  这表明级数   n1 n ku 收敛 且和为 ks 性质 2 如果级数   n1 n u 、  n1 n v 分别收敛于和 s、 则级数 ( ) 1 n n n  u v   也收敛 且其和为 s 这是因为 如果   n1 n u 、   n1 n v 、 ( ) 1 n n n  u v   的部分和分别为 sn、n、n 则 lim lim [( ) ( ) ( )] 1 1 2 2 n n n n n  u v  u v  u v    lim [( ) ( )] 1 2 n 1 2 n n  u u u  v v v       s s n n n lim ( )  性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

银川科技职业学院《高签数学》教未 第土一童无穷级邀 比如，级数站4中 11 1 +…是收敛的， n+1) 级数10000+，1+1+1 2*2334*…+ +…也是收敛的， n(n+1) 级数、 1 3445+…+ 1 +…也是收敛的。 n(n+) 性质4如果级数立山，收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍 n=l 收敛，且其和不变 应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来 的级数也收敛.例如，级数 (1-1)+(1-1)+.收敛于零，但级数1-1+1-1+·却是发散的. 推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散 级数收敛的必要条件： 性质5如果∑4n收敛，则它的一般项，趋于零，即m4,=0. 1=l >0 (性质5的等价命题：若limn≠0，则级数∑n发散) →0 n=I 证 设级数∑4n的部分和为s,且imSn=s,则 n=1 1-→00 lim un=lim (Sn-Sn-1)=lim Sn-lim Sn-1=s-s=0. n-0 1-00 7→00 应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例4证明调和级数 +1L++1+…是发散的。 =1+与t3++ n 证假若级数l收敛且其和为5，n是它的部分和， nin 显然有imSn=s及1m52m=S.于是m(2m-Sn)=0. 1-→00 -→00 1-0 但另一方面， s2m-5n=月 1+1 2n2, 故m心-S,)≠0，矛盾。这矛盾说明级数l必定发散 nin 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 5 页 比如 级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1            n n 是收敛的 级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 10000             n n 也是收敛的 级数 ( 1) 1 4 5 1 3 4 1          n n 也是收敛的 性质 4 如果级数   n1 n u 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍 收敛 且其和不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来 的级数也收敛 例如 级数 (11)+(11) +  收敛于零 但级数 1111  却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 性质 5 如果   n1 n u 收敛 则它的一般项 un 趋于零 即 lim 0 0   n n u  （性质 5 的等价命题：若 0 lim 0 n n u   ，则级数   n1 n u 发散 ） 证 设级数   n1 n u 的部分和为 sn 且 s s n n   lim  则 lim lim ( 1 ) lim lim 1 0 0              u s s s s s s n n n n n n n n n  应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例 4 证明调和级数 1 3 1 2 1 1 1 1            n n n 是发散的 证 假若级数   1 1 n n 收敛且其和为 s sn 是它的部分和 显然有 s s n n   lim 及 s s n n   2 lim  于是 lim ( 2  )0  n n n s s  但另一方面 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2               n n n n n n s s n n  故 lim ( 2  )0  n n n s s  矛盾 这矛盾说明级数   1 1 n n 必定发散

银川科技职业学院《高慈数学》教宋 第土一童无穷级邀 §11.2常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数， 定理1正项级数∑4n收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界. n=1 定理2比较审敛法)设元4，和公，都是正项级数，且私≤.(=l,2,·人 n=1 n=1 若级数∑yn收敛，则级数∑4n收敛；反之，若级数∑4n发散，则级数∑n发 =1 =】 n=】 n=1 散。 证 设级数∑yn收敛于和o,则级数∑山n的部分和 n=1 n=1 Sm=41+l2+··+4m≤y1+y2+··+yn≤o(=1,2,·), 即部分和数列{5}有界，由定理1知级数24，收敛. 反之， 设级数山，发散，则级数2，必发散。因为若级数 n=l ，收敛，由上已证明的结论，将有级数足弘，也收敛，与假设矛盾。 =1 n=1 推论设4，和.都是正项级数，如果级数，收敛，且存在自然数 n=l n=1 n=l N,使当≥N时有n≤k0)成立，则级数∑4n收敛；如果级数∑n发散，且 n= n=l 当2N时有≥k,60)成立，则级数24，发散。 例1讨论p-级数 n= 2+3+4+…+ .. 的收敛性，其中常数p>0. 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 6 页 §11 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 定理 1 正项级数   n1 n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界 定理 2(比较审敛法)设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 且 unvn (n1 2    ) 若级数   n1 n v 收敛 则级数   n1 n u 收敛 反之 若级数   n1 n u 发散 则级数   n1 n v 发 散 证 设级数   n1 n v 收敛于和  则级数   n1 n u 的部分和 snu1u2    unv1 v2    vn (n1, 2,   ) 即部分和数列{sn}有界 由定理 1 知级数   n1 n u 收敛 反之 设级数   n1 n u 发散 则级数   n1 n v 必发散 因为若级数   n1 n v 收敛 由上已证明的结论 将有级数   n1 n u 也收敛 与假设矛盾 推论 设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 如果级数   n1 n v 收敛 且存在自然数 N 使当 nN 时有 unkvn(k0)成立 则级数   n1 n u 收敛 如果级数   n1 n v 发散 且 当 nN 时有 unkvn(k0)成立 则级数   n1 n u 发散 例 1 讨论 p级数 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1             p p p p p n n n 的收敛性 其中常数 p0

银川科技职业学院《高签数学》救未 第土一童无穷级邀 解设1.这时≥，而调和级数1发散，由比较审敛法知，当p1时 np n 级数乞1发散. nsi np 设p>1.此时有 -≤0h=p-10=23 对于级轻套共分和 Gr 因为愈5-aH 700 所以级数2]收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知，级数 m32(0n-l0p- 三吉当1收效 综上所述，P一级数2当心1时收敛，当ps1时发散 例2证明级数 1 是发散的. =iVn(n+1) 证因为 1 1 1 n(n+1)(n+1)2 n+1' 而级数2山=号++…+1+…是发散的， mn+123 n+1 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的， 定理3（比较审敛法的极限形式） 设足，和都是正项级数， n=1 =1 (1)如果1m=1(0≤1k0或m=+0,且级数2n发散，则级数24，发散 m-→oVn n=l n=1 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 7 页 解 设 p1 这时 n n p 1 1   而调和级数   1 1 n n 发散 由比较审敛法知 当 p1 时 级数 p n n 1 1    发散 设 p1 此时有 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1       p p n n p n p n p p n n dx x dx n n (n2, 3,   ) 对于级数 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 2        p p n n n  其部分和 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ] 1 ( 1) 1 1 ] [ 3 1 2 1 ] [ 2 1 [1                   n p p p p p p n n n s  因为 ] 1 ( 1) 1 lim lim [1 1        p n n n n s  所以级数 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 2        p p n n n 收敛 从而根据比较审敛法的推论 1 可知 级数 p n n 1 1    当 p1 时收敛 综上所述 p级数 p n n 1 1    当 p1 时收敛 当 p1 时发散 例 2 证明级数   1 ( 1) 1 n n n 是发散的 证 因为 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2     n n n n  而级数 1 1 3 1 2 1 1 1 1             n n n 是发散的 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的 定理 3 (比较审敛法的极限形式) 设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 (1)如果 l v u n n n   lim (0l) 且级数   n1 n v 收敛 则级数   n1 n u 收敛 (2)如果      n n n n n n v u l v u lim 0或lim  且级数   n1 n v 发散 则级数   n1 n u 发散

银川科技职业学院《高签数学》教集 第土一童无穷级邀 例3判别级数sm上的收敛性 n=1 n 解因为lim 防J =1，而级数l发散， n-→∞1 in n 根据比较审敛法的极限形式，级数∑sn1发散. n=l n 例4判别级数2(1+)的收敛性. =1 n 解因为im 二空山面级数三是收敛 1 根据比较审敛法的极限形式，级数∑n(I+)收敛. n=l 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设∑4为正项级数，如果 =1 lim nl=p, n-→o4n 则当px1时级数收敛；当D1(或m=o)时级数发散；当p=1时级数可能 n-→004n 收敛也可能发散， 例5证明级数1++，1+ 1 1 +t2+123+…+23…m-… 是收敛的 解因为lm=lim 2,3n-=m1=0<1, n→4nno12-3…nn0n 根据比值审敛法可知所给级数收敛 例6判别级数是+器 +…++…的收敛性。 10n ”典器 解因为im=lm 根据比值审敛法可知所给级数发散， 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 8 页 例 3 判别级数   1 1 sin n n 的收敛性 解 因为 1 1 1 sin lim   n n n  而级数   1 1 n n 发散 根据比较审敛法的极限形式 级数   1 1 sin n n 发散 例 4 判别级数     1 2 ) 1 ln(1 n n 的收敛性 解 因为 1 1 ) 1 ln(1 lim 2 2    n n n  而级数 2 1 1 n n    收敛 根据比较审敛法的极限形式 级数     1 2 ) 1 ln(1 n n 收敛 定理 4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设   n1 n u 为正项级数 如果    n n n u u 1 lim  则当 1 时级数收敛 当 1(或    n n n u u 1 lim )时级数发散 当  1 时级数可能 收敛也可能发散 例 5 证明级数 1 2 3 ( 1) 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1                n 是收敛的 解 因为 0 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim                n n n u u n n n n n  根据比值审敛法可知所给级数收敛 例 6 判别级数 10 ! 10 1 2 3 10 1 2 10 1 2 3           n n 的收敛性 解 因为            10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n  根据比值审敛法可知所给级数发散

银川科技职业学院《高整数学》救集 第十一童无穷级邀 例7判别级数】 1 2n-10-2n 的收敛性 -2g1 解ma=lim 这时p=1,比值审敛法失效，必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为 1 2m)21(或m,=+o)时级数发散；当p=1时级数 →0 可能收敛也可能发散， 例8证明级数1+受+宁+…+力+…是收敛的， 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差， 解因为m,=mC=m上-0 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛， 以这级数的部分和Sm近似代替和s所产生的误差为 1 1 ((+2(3 1 1 n+网tn+l*+a+iym+.+ n(n+l)" 例6判定级数2+仁1少的收敛性 解因为 m6,=m22+(-y=, 所以，根据根值审敛法知所给级数收敛！ 定理6 (极限审敛法) 设4，为正项级数， n=l 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 9 页 例 7 判别级数      n (2n 1) 2n 1 的收敛性 解 1 (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim           n n n n u u n n n n  这时 1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性 因为 2 1 (2 1) 2 1 n n n     而级数 2 1 1 n n    收敛 因此由比较审敛法可知所给级数 收敛 定理 5 (根值审敛法 柯西判别法) 设   n1 n u 是正项级数 如果它的一般项 un 的 n 次根的极限等于     n n n lim u  则当 1 时级数收敛 当 1(或   n n n lim u )时级数发散 当 1 时级数 可能收敛也可能发散 例 8 证明级数 1 3 1 2 1 1 2 3        n n 是收敛的 并估计以级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差 解 因为 0 1 lim 1 lim  lim     n  n u n n n n n n n  所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差为 ( 3) 1 ( 2) 1 ( 1) 1 | | 1 2 3         n n n n n n n r ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 3         n n n n n n  n n(n 1) 1    例 6 判定级数      1 2 2 ( 1) n n n 的收敛性 解 因为 2 1 2 ( 1) 2 1 lim  lim      n n n n n n u  所以 根据根值审敛法知所给级数收敛 定理 6 (极限审敛法) 设   n1 un 为正项级数

银川科技职业学院《高签数学》救集 第十一童无穷级邀 (1)如果m,=1>0或mm,=+∞）)，则级数24，发散： = (2)如果p>l,而mnP4,=10≤10. n=l 例如， 立(-是交错级数，但(-)l-cosm江不是交错级数. =1 n 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数2(-1y-4,满足条件： (1)4m2u+1(n=1,2,3,··5(2)lm4n=0, 则级数收敛，且其和s≤，其余项rn的绝对值rm+1. 简要证明：设前n项部分和为sm 由s2=(4-H(ug-14H·+(2n1-2n),及 S2m=-(2-3)H(4-45+··+(2m-2-2m-1）-2m 看出数列{s2m}单调增加且有界(2m<),所以收敛. 设s2m→s(n→0)，则也有S2+1=S2m+2m+1→s(n-→0)，所以Sm→s(n-→o).从而 级数是收敛的，且Sm<1. 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 10 页 (1)如果 lim  0( lim )   n n n n nu l 或 nu  则级数   n1 un 发散 (2)如果 p1 而 lim  (0 )  n u l l n p n  则级数   n1 un 收敛 例 7 判定级数     1 2 ) 1 ln(1 n n 的收敛性 解 因为 ( ) 1 )~ 1 ln(1 2 2  n n n  故 1 1 ) lim 1 lim lim ln(1 2 2 2 2 2         n n n n u n n n n n  根据极限审敛法 知所给级数收敛 例 8 判定级数 1(1 cos ) 1 n n n       的收敛性 解 因为 2 2 2 2 3 2 3 2 1 ( ) 2 1 1 lim lim 1(1 cos ) lim              n n n n n n u n n n n n n  根据极限审敛法 知所给级数收敛 二、交错级数及其审敛法 交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为      1 1 ( 1) n n n u  其中 0 n u  例如 1 ( 1) 1 1      n n n 是交错级数 但 1 cos ( 1) 1 1       n n n n 不是交错级数 定理 6（莱布尼茨定理） 如果交错级数      1 1 ( 1) n n n u 满足条件 (1)unun1 (n1 2 3   ) (2) lim 0  n n u  则级数收敛 且其和 su1 其余项 rn 的绝对值|rn|un1 简要证明 设前 n 项部分和为 sn 由 s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n) 及 s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n 看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛 设 s2ns(n) 则也有 s2n1s2nu2n1s(n) 所以 sns(n) 从而 级数是收敛的 且 snu1