银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第六章 空间解析几何与向量代数

银川能源学院《高签数学》救朱 第六童空间解析几何 章节名称： 第六章 空间解析几何 教学内容与学时分配：(10学时) 1、预备知识；2、向量的向量积(2学时)： 3、平面及其方程(2学时)： 4、空间直线及其方程(2学时)： 5、曲面及其方程(2学时)： 6、空间曲线及其方程(2学时)。 教学目的和要求： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条 件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量 运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系 (平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6、点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算： 2、两个向量垂直和平行的条件： 3、平面方程和直线方程： 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件： 5、点到直线以及点到平面的距离： 6、常用二次曲面的方程及其图形： 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程： 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算： 2、平面方程和直线方程及其求法： 3、点到直线的距离： 4、二次曲面图形： 5、旋转曲面的方程： 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入： 2、内容讲解： 3、学生练习： 4、小结 教学手段： 启发式教学，讲练结合 作业： 课后部分习题 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 1 页 章节名称： 第六章 空间解析几何 教学内容与学时分配：（10 学时） 1、预备知识；2、向量的向量积（2 学时）； 3、平面及其方程（2 学时）； 4、空间直线及其方程（2 学时）； 5、曲面及其方程（2 学时）； 6、空间曲线及其方程（2 学时）。 教学目的和要求： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条 件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量 运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系 （平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、点到直线的距离； 4、二次曲面图形； 5、旋转曲面的方程； 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、内容讲解； 3、学生练习； 4、小结 教学手段： 启发式教学，讲练结合 作业： 课后部分习题

银川能源学院《高签激学》救案 第六章空间解析几何 第一节预备知识 一、向量的概念及表示 1、向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既 有大小，又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向 量 在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的 长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 向量的符号：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB, 向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，例如，、r、y、F 或a、、市、户 向量的模：向量的大小叫做向量的模 向量a、a、AB的模分别记为d、材、MB: 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量 零向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0或0.零向量的起点与终 点重合，它的方向可以看作是任意的 2、向量相等 如果两个向量α与b的模相等，且方向相同，称这两个向量是相等的，记 作α=b。相等的向量经过平移后可以完全重合. 自由向量：由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我 们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量， 3、向量平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行.向量 与b平行，记作a∥b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条 直线上.因此，两向量平行又称两向量共线。 类似还有共面的概念.设有23)个向量，当把它们的起点放在同一点时， 如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面， 4、向量的坐标表示 设向量a的起点为A(x,y1,z),终点为B(x2,y2,z2),则向量a可表示为 =AB=(3-xi+03-j+(52-2)k≌{：-x,为-为，52-}{a,a,a} a,a,a称为向量a的坐标，分别是向量a在三个坐标轴上的投影，而向量的 模|aa+a+a。 特别地，起点在原点O,终点为M(xy,z)的向量r表示为 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 2 页 第一节 预备知识 一、向量的概念及表示 1、向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时 常会遇到这样一类量 它们既 有大小 又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等 这一类量叫做向 量 在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的 长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号 以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作  AB  向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F 或  a 、  r 、  v 、  F  向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量 a、  a 、  AB 的模分别记为|a|、| |  a 、| |  AB  单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量 零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或  0  零向量的起点与终 点重合 它的方向可以看作是任意的 2、向量相等 如果两个向量 a 与 b 的模相等，且方向相同，称这两个向量是相等的，记 作 a = b。相等的向量经过平移后可以完全重合 自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我 们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 3、向量平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与 b 平行 记作 a // b 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条 直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 类似还有共面的概念 设有 k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果 k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面 4、向量的坐标表示 设向量 a 的起点为 A(x1,y1,z1)，终点为 B(x2,y2,z2)，则向量 a 可表示为 a= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) { , , } { , , } AB x x i y y j z z k x x y y z z a a a          x y z , , x y z a a a 称为向量 a 的坐标，分别是向量 a 在三个坐标轴上的投影，而向量的 模 222 | | x y z a a a a     。 特别地，起点在原点 O，终点为 M(x,y,z)的向量 r 表示为

银川能源学院《高签激学》救案 第六章空间解析几何 7=OM=xi+y+k={x,y,,通常称为向径。 5、两个向量的夹角 向量a与b所形成的不超过的角成为向量a与b的夹角，记作(a,b) 或（b,a)。当（a,b)=时，称这两个向量垂直，记作ab。 6、向量的方向角、方向余弦 向量a与三条坐标轴的夹角a、B、y(并规定0≤α≤π，0≤B≤π， 0≤y≤π)称为向量a的方向角：方向角的余弦cosa、cosB、cosy称为向量a 的方向余弦。 设F{ar,ay,a},则a的方向余弦分别为 ax cosa = Va;+a+a? cos B=- 低+a+a COSY= a vataita' 由于cos2a+cos2B+cos2y=1, 则a-日可aQ,a}=osa.co.co7乃是与向量a同方向的单位向量. a 1 二、向量的线性运算 1.向量的加法 向量的加法：设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重 合，此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和，记作a+b,即 c=a+b. 三角形法则： 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则， 平行四边形法则： 当向量a与b不平行时，平移向量使a与b的起点重合，以a、b为邻边作 D C c A a 一平行四边形，从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 3 页 r OM xi yj zk x y z { , , }       ，通常称为向径。 5、两个向量的夹角 向量 a 与 b 所形成的不超过 的角 成为向量 a 与 b 的夹角，记作（a，b） 或（b，a）。当（a，b）=时，称这两个向量垂直，记作 a b。 6、向量的方向角、方向余弦 向量 a 与三条坐标轴的夹角 、、 （并规定 0   ， 0     ， 0     ）称为向量 a 的方向角；方向角的余弦 cos、cos 、cos 称为向量 a 的方向余弦。 设 a={ax，ay，az}，则 a 的方向余弦分别为 2 2 2 cos x y z x a a a a     ， 222 cos y x y z a aaa     ， 2 2 2 cos x y z z a a a a     。 由于 cos cos cos 1 2 2 2       ， 则 { , , } {cos ,cos ,cos } 0 1       ax ay az a a a a 是与向量 a 同方向的单位向量。 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重 合 此时从 a 的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 ca+b . 三角形法则 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则 当向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作 一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 ab b  a  c  A B C A B C b  a  D c 

银川能源学院《高签激学》救案 第六童空间解析几何 向量的坐标运算： 设e{a,a,a},b={h,b,b.},则 atb=fax+bx,ay+by,a:+b= 向量的加法的运算规律： (1)交换律a+b=b+G (2)结合律(a+b)+c=aH(b+c. (3)不等式性la+blsa+bl及a-blla+bl 由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量1,2，·，4(n≥3)相加 可写成 a1+l2+··+n, 并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终 点作为次一向量的起点，相继作向量，2，·，，再以第一向量的起点为起 点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和. 负向量： 设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记为-a 2.向量的减法 我们规定两个向量b与a的差为 b-=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上，便得b与a的差b-4 特别地，当b=a时，有 a-=at(-a)=0. -a b-a 显然，任给向量AB及点O,有 AB=A0+0B=0B-04, 因此，若把向量a与b移到同一起点O,则从a的终点A向b的终点B所引向 量AB便是向量b与a的差b-M. 坐标运算： 设={a,ay,a},b={b,bb},则 a-b=ax-bx,ay-by,a--b= 三角不等式： 由三角形两边之和大于第三边的原理，有 a+bl a+bla-blsla+bl, 其中等号在b与a同向或反向时成立. 3.向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义： 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 4 页 向量的坐标运算： 设 a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}，则 a+b={ax+ bx，ay+ by，az+ bz } 向量的加法的运算规律 (1)交换律 abba (2)结合律(ab)ca(bc) (3)不等式性 |a+b|≤|a|+|b|及|a-b|≤|a|+|b| 由于向量的加法符合交换律与结合律 故 n 个向量 a1 a2    an(n 3)相加 可写成 a1a2   an 并按向量相加的三角形法则 可得 n 个向量相加的法则如下 使前一向量的终 点作为次一向量的起点 相继作向量 a1 a2    an 再以第一向量的起点为起 点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量 设 a 为一向量 与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量 记为a 2．向量的减法 我们规定两个向量 b 与 a 的差为 bab(a) 即把向量a 加到向量 b 上 便得 b 与 a 的差 ba 特别地 当 ba 时 有 aaa(a)0 显然 任给向量  AB 及点 O 有      AB AOOBOBOA  因此 若把向量 a 与 b 移到同一起点 O 则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向 量  AB 便是向量 b 与 a 的差 ba  坐标运算： 设 a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}，则 a-b={ax-bx，ay- by，az- bz } 三角不等式 由三角形两边之和大于第三边的原理 有 |ab||a||b|及|ab||a||b| 其中等号在 b 与 a 同向或反向时成立 3．向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义 b  a b a  b  a  b a 

银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 向量a与实数入的乘积记作a,规定a是一个向量，它的模a=lal,它 的方向当>0时与a相同，当1<0时与a相反. 当=0时，2=0，即2a为零向量，这时它的方向可以是任意的. 特别地，当=±1时，有 1a=a,(-1)a=-a. 运算规律： (1)结合律2(ua)=2a)=(0a: (2)分配律(+)a=a+a: (a+b)=+b. 向量的单位化： 设a≠0，则向量“是与a同方向的单位向量，记为ea lal 于是a=|alea 定理1设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是： 存在唯一的实数元，使b=1a. 证明：条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性， 设6∥a取岛，当6与a同向时诹正值，当6与a反向时诹负值，即 b=入a.这是因为此时b与2a同向，且 ha-laIa-合aHol, 再证明数的唯一性.设b-a,又设b=ua,两式相减，便得 (2-4)a=0,即la-4al=0. 因1a≠0，故2-=0，即=4. 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定 了数轴Ox,对于轴上任一点P,对应一个向量OP,由OP优，根据定理1，必有 唯一的实数x,使OP=xi(实数x叫做轴上有向线段OP的值)，并知OP与实数x 一一对应.于是 点P<→向量OP=xik→实数x, 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此，定义实数x为轴上点P的 坐标 由此可知，轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP=xi. 4.向量的数量积 两个向量a和b的模与它们的夹角0(0≤0≤π)的余弦的乘积叫做两个 向量a与b的数量积（或内积、点积），记作a-b,即a-b=labcos0。 当a≠0时，bcos0=lcos(a,b)称为向量b在向量a的方向上的投影，记 为(b)a,所以ab=lab)。同理，当b≠0时，a-b=b(a。 第5页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 5 页 向量 a 与实数  的乘积记作 a 规定 a 是一个向量 它的模|a||||a| 它 的方向当 >0 时与 a 相同 当 <0 时与 a 相反 当 0 时 |a|0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的 特别地 当 1 时 有 1aa (1)aa 运算规律 (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa； (ab)ab 向量的单位化  设 a0 则向量 |a| a 是与 a 同方向的单位向量 记为 ea 于是 a  | a | ea 定理 1 设向量 a  0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数  使 b  a 证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设 b // a 取 |a| |b| ||  当 b 与 a 同向时取正值 当 b 与 a 反向时取负值 即 ba 这是因为此时 b 与a 同向 且 |a||||a| a| |b| a b  |  | | | |  再证明数的唯一性 设 ba 又设 ba 两式相减 便得 ()a0 即|||a|0 因|a|0 故||0 即 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点 O 及单位向量 i 确定 了数轴 Ox 对于轴上任一点 P 对应一个向量  OP  由  OP //i 根据定理 1 必有 唯一的实数 x 使  OP xi(实数 x 叫做轴上有向线段  OP 的值) 并知  OP 与实数 x 一一对应 于是 点 P向量  OP  xi实数 x  从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系 据此 定义实数 x 为轴上点 P 的 坐标 由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是  OP  xi  4．向量的数量积 两个向量 a 和 b 的模与它们的夹角  （ 0    ）的余弦的乘积叫做两个 向量 a 与 b 的数量积（或内积、点积），记作 ab ，即 a b  a b cos 。 当 a  0 时， cos cos( , )  b   b a b 称为向量 b 在向量 a 的方向上的投影，记 为 a b ，所以   a b  a b a  。同理，当 b  0 时，   a b  b a b 

银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 由向量的数量积的定义可推得： (1)a.a=la (2)对于两个非零向量a,b,如果ab=0,那么a⊥b,反之如果a⊥b, 那么a·b=0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可认为零向量与任何向量都垂 直，因此上述结论可叙述为：向量a⊥b的充分必要条件为ab=0。 (3)la.blalbl 向量的数量积满足下列运算规律： (1)交换律ab=ba; (2)结合律(1a)·b=(a·b): (3)分配律a(b+c)=ab+a·c。 三、常用结论 (1)设=(a,a,a)0,b=(b,b,b),向量b1la→b=a,即bl/a-(b,b, b:上(a,a,a,于是点-_点 ax ay a. (2)向量a与b垂直(aLb)一ab=0一ab.+a,b,+a.b.=0 (3)两个非零向量a和b,它们之间夹角余弦的计算公式为 a b,+a,b,+a.b. cos= a.b abVg+a+aVb:+b+b好 (4)向量a,b,c共面台存在实数u和1，使c=a+b (5)空间中两点A(x,1,2)和B2,2,2),则 AB=0B-0A=(x2,2,22-(x1,1,21）=(x2-x1,2-y1,22-2 于是点A与点B间的距离公式为 14BHAB昨6s2-x2+02-h2+(-2. 四、举例 例1.在平行四边形ABCD中，设AB=4,AD=b. 试用a和b表示向量M、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的 交点 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 6 页 由向量的数量积的定义可推得： （1） 2 a  a  a （2）对于两个非零向量 a，b ，如果 a b  0 ，那么 a  b ，反之如果 a  b， 那么 a b  0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可认为零向量与任何向量都垂 直，因此上述结论可叙述为：向量 a  b 的充分必要条件为 a b  0。 （3） | | | | a b a b   向量的数量积满足下列运算规律： （1）交换律 a b  b a ； （2）结合律 (a)b  (a b) ； （3）分配律 a (b  c)  a b  a  c 。 三、常用结论 （1）设 a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量 b//aba  即 b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是 z z y y x x a b a b a b   （2）向量 a 与 b 垂直（a⊥b） a b  0  0 x x y y z z a b a b a b    （3）两个非零向量 a 和 b ，它们之间夹角余弦的计算公式为 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b a b a b           （4）向量 a，b，c 共面  存在实数  和  ，使 c a b     （5）空间中两点 A (x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2) 则    ABOBOA(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1) 于是点 A 与点 B 间的距离公式为  2 2 1 2 2 1 2 2 1 |AB||AB| (x x ) (y  y ) (z z )  四、举例 例 1 在平行四边形 ABCD 中 设  AB a  AD b 试用 a 和 b 表示向量  MA 、  MB 、  MC 、  MD  其中 M 是平行四边形对角线的 交点

银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 解由于平行四边形的对角线互相平分，所以 a+b=AC=2AM,-(a+b)=2 MA, 于是M=-(a+b, 因为MC=-M,所以MC=(a+b). 又因-+b=BD=2MD,所以MD=}(b-. 由于MB=-MD,所以MB=)(a-b), 例2设已知两点A(2,2,√2)和B(1,3,0),计算向量AB的模、方向余弦、 方向角以及与AB方向相同的单位向量e 解AB=1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-V2); |AV-12+1P+-2P=2; caa=，cosB=,cowy=-9 2 a=,=号，y=平 4 e=4B=-l,1-2 2 IABI 例3求解以向量为未知元的线性方程组5x-3y=a 3x-2y=b' 其中=(2,1,2)，b=(-1,1,-2) 解如同解二元一次线性方程组，可得 =2a-3b,y=30-5b 以a、b的坐标表示式代入，即得 =2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10), y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16) 例4己知两点A(x1,1,)和Bx2,2,2)以及实数本-1， 在直线AB上求一点M,使AM=MB 解由于AM=OM-OA,MB=OB-OM, 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 7 页 解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以 ab    AC  2 AM  即 (ab)   2 MA  于是 2 1    MA (ab) 因为   MC   MA  所以 2 1   MC (ab) 又因ab    BD  2 MD  所以 2 1   MD (ba) 由于   MB   MD  所以 2 1   MB (ab) 例 2 设已知两点 A(2, 2, 2) )和 B (1, 3, 0) 计算向量  AB 的模、方向余弦、 方向角以及与  AB 方向相同的单位向量 e 解  AB(12, 32, 0 2)(1,1,  2)   | | ( 1) 1 ( 2) 2 2 2 2 AB       2 1 cos   2 1 cos   2 2 cos   3 2    3     4 3    1 ( 1, 1, 2) 2 | | AB AB   e      例 3 求解以向量为未知元的线性方程组        x y b x y a 3 2 5 3  其中 a(2 1 2) b(1 1 2). 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x2a3b y3a5b  以 a、b 的坐标表示式代入 即得 x2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y3(2 1 2)5(1 1 2)(11 2 16) 例 4 已知两点 A(x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2)以及实数 1 在直线 AB 上求一点 M 使   AM MB  解 由于    AM OMOA     MBOBOM 

银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 因此 OM-OA=X(OB-OM), 从而 0i200丽=（投授2）. 这就是点M的坐标. 另解 设所求点为Mx,y,),则AM=(x-,y--), MB=(k,-x为-y2-).依题意有AM=元MB,即 (x-x1,-y1,-31=2(x2-x,2-y,22-z) (x,y,-(x1,y1,=(2,2,222x,,), 化男归克6+++。 种授，授 1+元 点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1，点M的有向线段AB的中点， 其坐标为 x”,势， 2 例5求证以M(4,3,1)M(7,1,2)八、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解因为1MM=(7-4)2+1-3)2+(2-1)2=14, 1M4=-(5-7)2+2-1)2+(3-22=6, 1M1M=(5-4)2+2-3)2+(3-1)2=6, 所以MMMM,即△MMM为等腰三角形. 例6在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解设所求的点为M0,O,),依题意有MA=MB, 即 (0+4)2+(0-1)2+-7)}2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2 解之得：=号，所以，所求的点为M0,0当. 例7己知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB就是向 量a与b的夹角. ={1,1,0},b={1,0,1}: 因为 a-b=1×1+1×0+0x1=1, la2+12+02=√2， 1b作√12+02+12=√2」 所以 e∠4wB=放万万F号 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 8 页 因此     OMOA(OBOM)  从而    ( ) 1 1 OM OA OB     ) 1 , 1 , 1 ( 1 2 1 2 1 2              x x x x x x  这就是点 M 的坐标 另 解 设 所 求 点 为 M (x y z) 则  ( , , ) 1 1 1 AM  xx y y zz   ( , , ) 2 2 2 MB x x y  y z z  依题意有   AM  MB  即 (xx1 yy1 zz1)(x2x y2y z2z) (x y z)(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)(x y z) ( , , ) 1 1 ( , , ) 1 2 1 2 1 2 x y z x x y y z z             1 1 2 x x x       1 1 2 y y y       1 1 2 z z z  点 M 叫做有向线段  AB 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段  AB 的中点 其坐标为 2 1 2 x x x    2 1 2 y y y    2 1 2 z z z    例 5 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解 因为 | M1M2| 2 (74)2 (13)2 (21)2 14 | M2M3| 2 (57)2 (21)2 (32)2 6 | M1M3| 2 (54)2 (23)2 (31)2 6 所以|M2 M3||M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形 例 6 在 z 轴上求与两点 A(4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点 解 设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有|MA| 2 |MB| 2  即 (04)2 (01)2 (z7)2 (30)2 (50)2 (2z)2  解之得 9 14 z  所以 所求的点为 ) 9 14 M(0, 0,  例 7 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求 AMB  解 从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向 量 a 与 b 的夹角 a{1 1 0} b{1 0 1} 因为 ab1110011 | | 1 1 0 2 2 2 2 a      | | 1 0 1 2 2 2 2 b      所以 2 1 2 2 1 | || | cos       a b a b AMB 

银川能源学院《高签数学》救朱 第六童空间解析几何 从而 ∠AMB= 31 例8.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处 的流速均为（常 向量)加.设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a))，计算单位时间内经过这区 域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为p). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为ⅴ的斜 柱体（图7-25(b). 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与的夹角O,所以这柱体的高为刿v cos6,体积为 Alv cos 0=A v'n. 从而，单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为 P=pAv 'n. 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 9 页 从而 3  AMB  例 8．设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处 的流速均为（常 向量v 设 n 为垂直于 S 的单位向量（图 7-25(a)） 计算单位时间内经过这区 域流向 n 所指一方的液体的质量 P(液体的密度为ρ ) 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、斜高为| v |的斜 柱体(图 7-25(b)) 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角 所以这柱体的高为| v | cos 体积为 A| v | cos   A v ·n 从而 单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量为 PAv ·n

银川能源学院《高签激学》救未 第六章空间解析几何 第二节向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所 产生的力矩 引例：设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处.F 与oP的夹角为8 由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M,它的模 IMHOPIIFIsin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从OP以 不超过π的角转向F来确定的 向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出： (1)c的模lc=ablsin0,其中0为a与b间的夹角； (2)c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向 b来确定， 那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作xb,即 c=axb 根据向量积的定义，力矩M等于OP与F的向量积，即 M=OPxF. 向量积的性质： (1)axa=0; (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则al/b;反之，如果a/b,则xb= 0. 如果认为零向量与任何向量都平行，则alb一xb=0. 数量积的运算律 (I)反交换律：axb=-b×c (2)分配律：(a+b)xc=axc+bxc. (3)结合律：(a)xb=ax0.b)=(axb)(为数). 数量积的坐标表示：设a-axi+aj+ak,b-bri+bj+bk.按向量积的 运算规律可得 axb=(axi+ayj+a:k)x (bxi+byj+bzk) ax bx ixi+ax by ixj ax b=ixk +ay bx jxi+ay by jxj+ay b-jxk +a:bx kxi+a:by kxj+a:b:kxk 由于ixi=ji=kxk=0,ix对i=k,jxk=i,kxi=j,所以 axb=(ay b:-a=by)i+(a:bx-ax b=)j+ax by-ay bx)k. 为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 10 页 第二节 向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所 产生的力矩 引例：设 O 为一根杠杆 L 的支点有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 F 与  OP 的夹角为   由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模  | | | || |sin M  OP F  而 M 的方向垂直于  OP 与 F 所决定的平面 M 的指向是的按右手规则从  OP 以 不超过  的角转向 F 来确定的 向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 （1） c 的模 |c||a||b|sin   其中  为 a 与 b 间的夹角; （2）c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 ab 即 c ab 根据向量积的定义 力矩 M 等于  OP 与 F 的向量积即  M OPF  向量积的性质 (1) aa 0  (2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab 0 则 a//b反之 如果 a//b 则 ab 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则 a//b ab 0 数量积的运算律 (1) 反交换律：ab ba (2) 分配律 (ab)c ac bc (3) 结合律：(a)b a(b)  (ab) ( 为数) 数量积的坐标表示 设 a ax i  ay j  az kb bx i  by j  bz k 按向量积的 运算规律可得 ab ( ax i  ay j  az k)  ( bx i  by j  bz k)  ax bx ii  ax by ij  ax bz ik ay bx ji  ay by jj  ay bz jk az bx ki  az by kj  az bz kk 由于 ii jj kk 0ij kjk iki j 所以 ab ( ay bz  az by) i  ( az bx  ax bz) j  ( ax by  ay bx) k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成