银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第六章空间解析几何与向量代数.pdf_大学文库

银川能源学院《高签数学》救朱第六童空间解析几何章节名称：第六章空间解析几何教学内容与学时分配：(10学时) 1、预备知识；2、向量的向量积(2学时)： 3、平面及其方程(2学时)： 4、空间直线及其方程(2学时)： 5、曲面及其方程(2学时)： 6、空间曲线及其方程(2学时)。教学目的和要求： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系 (平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6、点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算： 2、两个向量垂直和平行的条件： 3、平面方程和直线方程： 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件： 5、点到直线以及点到平面的距离： 6、常用二次曲面的方程及其图形： 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程： 8、空间曲线的参数方程和一般方程。难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算： 2、平面方程和直线方程及其求法： 3、点到直线的距离： 4、二次曲面图形： 5、旋转曲面的方程：教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入： 2、内容讲解： 3、学生练习： 4、小结教学手段：启发式教学，讲练结合作业：课后部分习题第1页

银川能源学院《高等数学》教案第六章空间解析几何第 1 页章节名称：第六章空间解析几何教学内容与学时分配：（10 学时） 1、预备知识；2、向量的向量积（2 学时）； 3、平面及其方程（2 学时）； 4、空间直线及其方程（2 学时）； 5、曲面及其方程（2 学时）； 6、空间曲线及其方程（2 学时）。教学目的和要求： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、点到直线的距离； 4、二次曲面图形； 5、旋转曲面的方程；教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、内容讲解； 3、学生练习； 4、小结教学手段：启发式教学，讲练结合作业：课后部分习题

银川能源学院《高签激学》救案第六章空间解析几何第一节预备知识一、向量的概念及表示 1、向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向向量的符号：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB, 向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，例如，、r、y、F 或a、、市、户向量的模：向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB的模分别记为d、材、MB: 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量零向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0或0.零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的 2、向量相等如果两个向量α与b的模相等，且方向相同，称这两个向量是相等的，记作α=b。相等的向量经过平移后可以完全重合. 自由向量：由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量， 3、向量平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行.向量与b平行，记作a∥b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此，两向量平行又称两向量共线。类似还有共面的概念.设有23)个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面， 4、向量的坐标表示设向量a的起点为A(x,y1,z),终点为B(x2,y2,z2),则向量a可表示为 =AB=(3-xi+03-j+(52-2)k≌{：-x,为-为，52-}{a,a,a} a,a,a称为向量a的坐标，分别是向量a在三个坐标轴上的投影，而向量的模|aa+a+a。特别地，起点在原点O,终点为M(xy,z)的向量r表示为第2页

银川能源学院《高等数学》教案第六章空间解析几何第 2 页第一节预备知识一、向量的概念及表示 1、向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时 常会遇到这样一类量 它们既有大小 又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等 这一类量叫做向量 在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号 以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作  AB  向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F 或  a 、  r 、  v 、  F  向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量 a、  a 、  AB 的模分别记为|a|、| |  a 、| |  AB  单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量 零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或  0  零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的 2、向量相等如果两个向量 a 与 b 的模相等，且方向相同，称这两个向量是相等的，记作 a = b。相等的向量经过平移后可以完全重合 自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 3、向量平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与 b 平行 记作 a // b 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 类似还有共面的概念 设有 k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果 k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面 4、向量的坐标表示设向量 a 的起点为 A(x1,y1,z1)，终点为 B(x2,y2,z2)，则向量 a 可表示为 a= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) { , , } { , , } AB x x i y y j z z k x x y y z z a a a          x y z , , x y z a a a 称为向量 a 的坐标，分别是向量 a 在三个坐标轴上的投影，而向量的模 222 | | x y z a a a a     。特别地，起点在原点 O，终点为 M(x,y,z)的向量 r 表示为

银川能源学院《高等数学》教案第六章空间解析几何第 5 页向量 a 与实数  的乘积记作 a 规定 a 是一个向量 它的模|a||||a| 它的方向当 >0 时与 a 相同 当 <0 时与 a 相反 当 0 时 |a|0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的 特别地 当 1 时 有 1aa (1)aa 运算规律 (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa； (ab)ab 向量的单位化  设 a0 则向量 |a| a 是与 a 同方向的单位向量 记为 ea 于是 a  | a | ea 定理 1 设向量 a  0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数  使 b  a 证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设 b // a 取 |a| |b| ||  当 b 与 a 同向时取正值 当 b 与 a 反向时取负值 即 ba 这是因为此时 b 与a 同向 且 |a||||a| a| |b| a b  |  | | | |  再证明数的唯一性 设 ba 又设 ba 两式相减 便得 ()a0 即|||a|0 因|a|0 故||0 即 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点 O 及单位向量 i 确定了数轴 Ox 对于轴上任一点 P 对应一个向量  OP  由  OP //i 根据定理 1 必有唯一的实数 x 使  OP xi(实数 x 叫做轴上有向线段  OP 的值) 并知  OP 与实数 x 一一对应 于是点 P向量  OP  xi实数 x  从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系 据此 定义实数 x 为轴上点 P 的坐标 由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是  OP  xi  4．向量的数量积两个向量 a 和 b 的模与它们的夹角  （ 0    ）的余弦的乘积叫做两个向量 a 与 b 的数量积（或内积、点积），记作 ab ，即 a b  a b cos 。当 a  0 时， cos cos( , )  b   b a b 称为向量 b 在向量 a 的方向上的投影，记为 a b ，所以   a b  a b a  。同理，当 b  0 时，   a b  b a b 

银川能源学院《高等数学》教案第六章空间解析几何第 8 页因此     OMOA(OBOM)  从而    ( ) 1 1 OM OA OB     ) 1 , 1 , 1 ( 1 2 1 2 1 2              x x x x x x  这就是点 M 的坐标 另解设所求点为 M (x y z) 则  ( , , ) 1 1 1 AM  xx y y zz   ( , , ) 2 2 2 MB x x y  y z z  依题意有   AM  MB  即 (xx1 yy1 zz1)(x2x y2y z2z) (x y z)(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)(x y z) ( , , ) 1 1 ( , , ) 1 2 1 2 1 2 x y z x x y y z z             1 1 2 x x x       1 1 2 y y y       1 1 2 z z z  点 M 叫做有向线段  AB 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段  AB 的中点 其坐标为 2 1 2 x x x    2 1 2 y y y    2 1 2 z z z    例 5 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解因为 | M1M2| 2 (74)2 (13)2 (21)2 14 | M2M3| 2 (57)2 (21)2 (32)2 6 | M1M3| 2 (54)2 (23)2 (31)2 6 所以|M2 M3||M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形 例 6 在 z 轴上求与两点 A(4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点 解设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有|MA| 2 |MB| 2  即 (04)2 (01)2 (z7)2 (30)2 (50)2 (2z)2  解之得 9 14 z  所以 所求的点为 ) 9 14 M(0, 0,  例 7 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求 AMB  解从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向量 a 与 b 的夹角 a{1 1 0} b{1 0 1} 因为 ab1110011 | | 1 1 0 2 2 2 2 a      | | 1 0 1 2 2 2 2 b      所以 2 1 2 2 1 | || | cos       a b a b AMB 

银川能源学院《高等数学》教案第六章空间解析几何第 10 页第二节向量的向量积一、两向量的向量积在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所产生的力矩 引例：设 O 为一根杠杆 L 的支点有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 F 与  OP 的夹角为   由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模  | | | || |sin M  OP F  而 M 的方向垂直于  OP 与 F 所决定的平面 M 的指向是的按右手规则从  OP 以不超过  的角转向 F 来确定的 向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 （1） c 的模 |c||a||b|sin   其中  为 a 与 b 间的夹角; （2）c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 ab 即 c ab 根据向量积的定义 力矩 M 等于  OP 与 F 的向量积即  M OPF  向量积的性质 (1) aa 0  (2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab 0 则 a//b反之 如果 a//b 则 ab 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则 a//b ab 0 数量积的运算律 (1) 反交换律：ab ba (2) 分配律 (ab)c ac bc (3) 结合律：(a)b a(b)  (ab) ( 为数) 数量积的坐标表示 设 a ax i  ay j  az kb bx i  by j  bz k 按向量积的运算规律可得 ab ( ax i  ay j  az k)  ( bx i  by j  bz k)  ax bx ii  ax by ij  ax bz ik ay bx ji  ay by jj  ay bz jk az bx ki  az by kj  az bz kk 由于 ii jj kk 0ij kjk iki j 所以 ab ( ay bz  az by) i  ( az bx  ax bz) j  ( ax by  ay bx) k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第六章 空间解析几何与向量代数

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