银川能源学院《高签数学》救朱 第六童空间解析几何 章节名称: 第六章 空间解析几何 教学内容与学时分配:(10学时) 1、预备知识;2、向量的向量积(2学时): 3、平面及其方程(2学时): 4、空间直线及其方程(2学时): 5、曲面及其方程(2学时): 6、空间曲线及其方程(2学时)。 教学目的和要求: 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的条 件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进行向量 运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系 (平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6、点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。 重点: 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算: 2、两个向量垂直和平行的条件: 3、平面方程和直线方程: 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件: 5、点到直线以及点到平面的距离: 6、常用二次曲面的方程及其图形: 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程: 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 难点: 1、向量积的向量运算及坐标运算: 2、平面方程和直线方程及其求法: 3、点到直线的距离: 4、二次曲面图形: 5、旋转曲面的方程: 教学过程(教学环节设计与方法): 1、引入: 2、内容讲解: 3、学生练习: 4、小结 教学手段: 启发式教学,讲练结合 作业: 课后部分习题 第1页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 1 页 章节名称: 第六章 空间解析几何 教学内容与学时分配:(10 学时) 1、预备知识;2、向量的向量积(2 学时); 3、平面及其方程(2 学时); 4、空间直线及其方程(2 学时); 5、曲面及其方程(2 学时); 6、空间曲线及其方程(2 学时)。 教学目的和要求: 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的条 件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进行向量 运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系 (平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6、点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。 重点: 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算; 2、两个向量垂直和平行的条件; 3、平面方程和直线方程; 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件; 5、点到直线以及点到平面的距离; 6、常用二次曲面的方程及其图形; 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程; 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 难点: 1、向量积的向量运算及坐标运算; 2、平面方程和直线方程及其求法; 3、点到直线的距离; 4、二次曲面图形; 5、旋转曲面的方程; 教学过程(教学环节设计与方法): 1、引入; 2、内容讲解; 3、学生练习; 4、小结 教学手段: 启发式教学,讲练结合 作业: 课后部分习题
银川能源学院《高签激学》救案 第六章空间解析几何 第一节预备知识 一、向量的概念及表示 1、向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既 有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向 量 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的 长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向 向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB, 向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,、r、y、F 或a、、市、户 向量的模:向量的大小叫做向量的模 向量a、a、AB的模分别记为d、材、MB: 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或0.零向量的起点与终 点重合,它的方向可以看作是任意的 2、向量相等 如果两个向量α与b的模相等,且方向相同,称这两个向量是相等的,记 作α=b。相等的向量经过平移后可以完全重合. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我 们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量, 3、向量平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量 与b平行,记作a∥b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条 直线上.因此,两向量平行又称两向量共线。 类似还有共面的概念.设有23)个向量,当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面, 4、向量的坐标表示 设向量a的起点为A(x,y1,z),终点为B(x2,y2,z2),则向量a可表示为 =AB=(3-xi+03-j+(52-2)k≌{:-x,为-为,52-}{a,a,a} a,a,a称为向量a的坐标,分别是向量a在三个坐标轴上的投影,而向量的 模|aa+a+a。 特别地,起点在原点O,终点为M(xy,z)的向量r表示为 第2页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 2 页 第一节 预备知识 一、向量的概念及表示 1、向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时 常会遇到这样一类量 它们既 有大小 又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等 这一类量叫做向 量 在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的 长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号 以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作 AB 向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F 向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、| | a 、| | AB 单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量 零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或 0 零向量的起点与终 点重合 它的方向可以看作是任意的 2、向量相等 如果两个向量 a 与 b 的模相等,且方向相同,称这两个向量是相等的,记 作 a = b。相等的向量经过平移后可以完全重合 自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我 们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 3、向量平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与 b 平行 记作 a // b 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条 直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 类似还有共面的概念 设有 k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果 k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面 4、向量的坐标表示 设向量 a 的起点为 A(x1,y1,z1),终点为 B(x2,y2,z2),则向量 a 可表示为 a= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) { , , } { , , } AB x x i y y j z z k x x y y z z a a a x y z , , x y z a a a 称为向量 a 的坐标,分别是向量 a 在三个坐标轴上的投影,而向量的 模 222 | | x y z a a a a 。 特别地,起点在原点 O,终点为 M(x,y,z)的向量 r 表示为
银川能源学院《高签激学》救案 第六章空间解析几何 7=OM=xi+y+k={x,y,,通常称为向径。 5、两个向量的夹角 向量a与b所形成的不超过的角成为向量a与b的夹角,记作(a,b) 或(b,a)。当(a,b)=时,称这两个向量垂直,记作ab。 6、向量的方向角、方向余弦 向量a与三条坐标轴的夹角a、B、y(并规定0≤α≤π,0≤B≤π, 0≤y≤π)称为向量a的方向角:方向角的余弦cosa、cosB、cosy称为向量a 的方向余弦。 设F{ar,ay,a},则a的方向余弦分别为 ax cosa = Va;+a+a? cos B=- 低+a+a COSY= a vataita' 由于cos2a+cos2B+cos2y=1, 则a-日可aQ,a}=osa.co.co7乃是与向量a同方向的单位向量. a 1 二、向量的线性运算 1.向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重 合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即 c=a+b. 三角形法则: 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则, 平行四边形法则: 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作 D C c A a 一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 第3页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 3 页 r OM xi yj zk x y z { , , } ,通常称为向径。 5、两个向量的夹角 向量 a 与 b 所形成的不超过 的角 成为向量 a 与 b 的夹角,记作(a,b) 或(b,a)。当(a,b)=时,称这两个向量垂直,记作 a b。 6、向量的方向角、方向余弦 向量 a 与三条坐标轴的夹角 、、 (并规定 0 , 0 , 0 )称为向量 a 的方向角;方向角的余弦 cos、cos 、cos 称为向量 a 的方向余弦。 设 a={ax,ay,az},则 a 的方向余弦分别为 2 2 2 cos x y z x a a a a , 222 cos y x y z a aaa , 2 2 2 cos x y z z a a a a 。 由于 cos cos cos 1 2 2 2 , 则 { , , } {cos ,cos ,cos } 0 1 ax ay az a a a a 是与向量 a 同方向的单位向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法 向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重 合 此时从 a 的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 ca+b . 三角形法则 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则 当向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作 一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 ab b a c A B C A B C b a D c
银川能源学院《高签激学》救案 第六童空间解析几何 向量的坐标运算: 设e{a,a,a},b={h,b,b.},则 atb=fax+bx,ay+by,a:+b= 向量的加法的运算规律: (1)交换律a+b=b+G (2)结合律(a+b)+c=aH(b+c. (3)不等式性la+blsa+bl及a-blla+bl 由于向量的加法符合交换律与结合律,故n个向量1,2,·,4(n≥3)相加 可写成 a1+l2+··+n, 并按向量相加的三角形法则,可得n个向量相加的法则如下:使前一向量的终 点作为次一向量的起点,相继作向量,2,·,,再以第一向量的起点为起 点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和. 负向量: 设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a 2.向量的减法 我们规定两个向量b与a的差为 b-=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-4 特别地,当b=a时,有 a-=at(-a)=0. -a b-a 显然,任给向量AB及点O,有 AB=A0+0B=0B-04, 因此,若把向量a与b移到同一起点O,则从a的终点A向b的终点B所引向 量AB便是向量b与a的差b-M. 坐标运算: 设={a,ay,a},b={b,bb},则 a-b=ax-bx,ay-by,a--b= 三角不等式: 由三角形两边之和大于第三边的原理,有 a+bl a+bla-blsla+bl, 其中等号在b与a同向或反向时成立. 3.向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 第4页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 4 页 向量的坐标运算: 设 a={ax,ay,az},b={bx,by,bz},则 a+b={ax+ bx,ay+ by,az+ bz } 向量的加法的运算规律 (1)交换律 abba (2)结合律(ab)ca(bc) (3)不等式性 |a+b|≤|a|+|b|及|a-b|≤|a|+|b| 由于向量的加法符合交换律与结合律 故 n 个向量 a1 a2 an(n 3)相加 可写成 a1a2 an 并按向量相加的三角形法则 可得 n 个向量相加的法则如下 使前一向量的终 点作为次一向量的起点 相继作向量 a1 a2 an 再以第一向量的起点为起 点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量 设 a 为一向量 与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量 记为a 2.向量的减法 我们规定两个向量 b 与 a 的差为 bab(a) 即把向量a 加到向量 b 上 便得 b 与 a 的差 ba 特别地 当 ba 时 有 aaa(a)0 显然 任给向量 AB 及点 O 有 AB AOOBOBOA 因此 若把向量 a 与 b 移到同一起点 O 则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向 量 AB 便是向量 b 与 a 的差 ba 坐标运算: 设 a={ax,ay,az},b={bx,by,bz},则 a-b={ax-bx,ay- by,az- bz } 三角不等式 由三角形两边之和大于第三边的原理 有 |ab||a||b|及|ab||a||b| 其中等号在 b 与 a 同向或反向时成立 3.向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义 b a b a b a b a
银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 向量a与实数入的乘积记作a,规定a是一个向量,它的模a=lal,它 的方向当>0时与a相同,当1<0时与a相反. 当=0时,2=0,即2a为零向量,这时它的方向可以是任意的. 特别地,当=±1时,有 1a=a,(-1)a=-a. 运算规律: (1)结合律2(ua)=2a)=(0a: (2)分配律(+)a=a+a: (a+b)=+b. 向量的单位化: 设a≠0,则向量“是与a同方向的单位向量,记为ea lal 于是a=|alea 定理1设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数元,使b=1a. 证明:条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性, 设6∥a取岛,当6与a同向时诹正值,当6与a反向时诹负值,即 b=入a.这是因为此时b与2a同向,且 ha-laIa-合aHol, 再证明数的唯一性.设b-a,又设b=ua,两式相减,便得 (2-4)a=0,即la-4al=0. 因1a≠0,故2-=0,即=4. 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定 了数轴Ox,对于轴上任一点P,对应一个向量OP,由OP优,根据定理1,必有 唯一的实数x,使OP=xi(实数x叫做轴上有向线段OP的值),并知OP与实数x 一一对应.于是 点P<→向量OP=xik→实数x, 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此,定义实数x为轴上点P的 坐标 由此可知,轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP=xi. 4.向量的数量积 两个向量a和b的模与它们的夹角0(0≤0≤π)的余弦的乘积叫做两个 向量a与b的数量积(或内积、点积),记作a-b,即a-b=labcos0。 当a≠0时,bcos0=lcos(a,b)称为向量b在向量a的方向上的投影,记 为(b)a,所以ab=lab)。同理,当b≠0时,a-b=b(a。 第5页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 5 页 向量 a 与实数 的乘积记作 a 规定 a 是一个向量 它的模|a||||a| 它 的方向当 >0 时与 a 相同 当 <0 时与 a 相反 当 0 时 |a|0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的 特别地 当 1 时 有 1aa (1)aa 运算规律 (1)结合律 (a)(a)()a; (2)分配律 ()aaa; (ab)ab 向量的单位化 设 a0 则向量 |a| a 是与 a 同方向的单位向量 记为 ea 于是 a | a | ea 定理 1 设向量 a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a 证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设 b // a 取 |a| |b| || 当 b 与 a 同向时取正值 当 b 与 a 反向时取负值 即 ba 这是因为此时 b 与a 同向 且 |a||||a| a| |b| a b | | | | | 再证明数的唯一性 设 ba 又设 ba 两式相减 便得 ()a0 即|||a|0 因|a|0 故||0 即 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点 O 及单位向量 i 确定 了数轴 Ox 对于轴上任一点 P 对应一个向量 OP 由 OP //i 根据定理 1 必有 唯一的实数 x 使 OP xi(实数 x 叫做轴上有向线段 OP 的值) 并知 OP 与实数 x 一一对应 于是 点 P向量 OP xi实数 x 从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系 据此 定义实数 x 为轴上点 P 的 坐标 由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是 OP xi 4.向量的数量积 两个向量 a 和 b 的模与它们的夹角 ( 0 )的余弦的乘积叫做两个 向量 a 与 b 的数量积(或内积、点积),记作 ab ,即 a b a b cos 。 当 a 0 时, cos cos( , ) b b a b 称为向量 b 在向量 a 的方向上的投影,记 为 a b ,所以 a b a b a 。同理,当 b 0 时, a b b a b
银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 由向量的数量积的定义可推得: (1)a.a=la (2)对于两个非零向量a,b,如果ab=0,那么a⊥b,反之如果a⊥b, 那么a·b=0。 由于零向量的方向可以看作是任意的,故可认为零向量与任何向量都垂 直,因此上述结论可叙述为:向量a⊥b的充分必要条件为ab=0。 (3)la.blalbl 向量的数量积满足下列运算规律: (1)交换律ab=ba; (2)结合律(1a)·b=(a·b): (3)分配律a(b+c)=ab+a·c。 三、常用结论 (1)设=(a,a,a)0,b=(b,b,b),向量b1la→b=a,即bl/a-(b,b, b:上(a,a,a,于是点-_点 ax ay a. (2)向量a与b垂直(aLb)一ab=0一ab.+a,b,+a.b.=0 (3)两个非零向量a和b,它们之间夹角余弦的计算公式为 a b,+a,b,+a.b. cos= a.b abVg+a+aVb:+b+b好 (4)向量a,b,c共面台存在实数u和1,使c=a+b (5)空间中两点A(x,1,2)和B2,2,2),则 AB=0B-0A=(x2,2,22-(x1,1,21)=(x2-x1,2-y1,22-2 于是点A与点B间的距离公式为 14BHAB昨6s2-x2+02-h2+(-2. 四、举例 例1.在平行四边形ABCD中,设AB=4,AD=b. 试用a和b表示向量M、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的 交点 第6页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 6 页 由向量的数量积的定义可推得: (1) 2 a a a (2)对于两个非零向量 a,b ,如果 a b 0 ,那么 a b ,反之如果 a b, 那么 a b 0。 由于零向量的方向可以看作是任意的,故可认为零向量与任何向量都垂 直,因此上述结论可叙述为:向量 a b 的充分必要条件为 a b 0。 (3) | | | | a b a b 向量的数量积满足下列运算规律: (1)交换律 a b b a ; (2)结合律 (a)b (a b) ; (3)分配律 a (b c) a b a c 。 三、常用结论 (1)设 a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量 b//aba 即 b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是 z z y y x x a b a b a b (2)向量 a 与 b 垂直(a⊥b) a b 0 0 x x y y z z a b a b a b (3)两个非零向量 a 和 b ,它们之间夹角余弦的计算公式为 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b a b a b (4)向量 a,b,c 共面 存在实数 和 ,使 c a b (5)空间中两点 A (x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2) 则 ABOBOA(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1) 于是点 A 与点 B 间的距离公式为 2 2 1 2 2 1 2 2 1 |AB||AB| (x x ) (y y ) (z z ) 四、举例 例 1 在平行四边形 ABCD 中 设 AB a AD b 试用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD 其中 M 是平行四边形对角线的 交点
银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 解由于平行四边形的对角线互相平分,所以 a+b=AC=2AM,-(a+b)=2 MA, 于是M=-(a+b, 因为MC=-M,所以MC=(a+b). 又因-+b=BD=2MD,所以MD=}(b-. 由于MB=-MD,所以MB=)(a-b), 例2设已知两点A(2,2,√2)和B(1,3,0),计算向量AB的模、方向余弦、 方向角以及与AB方向相同的单位向量e 解AB=1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-V2); |AV-12+1P+-2P=2; caa=,cosB=,cowy=-9 2 a=,=号,y=平 4 e=4B=-l,1-2 2 IABI 例3求解以向量为未知元的线性方程组5x-3y=a 3x-2y=b' 其中=(2,1,2),b=(-1,1,-2) 解如同解二元一次线性方程组,可得 =2a-3b,y=30-5b 以a、b的坐标表示式代入,即得 =2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10), y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16) 例4己知两点A(x1,1,)和Bx2,2,2)以及实数本-1, 在直线AB上求一点M,使AM=MB 解由于AM=OM-OA,MB=OB-OM, 第7页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 7 页 解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以 ab AC 2 AM 即 (ab) 2 MA 于是 2 1 MA (ab) 因为 MC MA 所以 2 1 MC (ab) 又因ab BD 2 MD 所以 2 1 MD (ba) 由于 MB MD 所以 2 1 MB (ab) 例 2 设已知两点 A(2, 2, 2) )和 B (1, 3, 0) 计算向量 AB 的模、方向余弦、 方向角以及与 AB 方向相同的单位向量 e 解 AB(12, 32, 0 2)(1,1, 2) | | ( 1) 1 ( 2) 2 2 2 2 AB 2 1 cos 2 1 cos 2 2 cos 3 2 3 4 3 1 ( 1, 1, 2) 2 | | AB AB e 例 3 求解以向量为未知元的线性方程组 x y b x y a 3 2 5 3 其中 a(2 1 2) b(1 1 2). 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x2a3b y3a5b 以 a、b 的坐标表示式代入 即得 x2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y3(2 1 2)5(1 1 2)(11 2 16) 例 4 已知两点 A(x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2)以及实数 1 在直线 AB 上求一点 M 使 AM MB 解 由于 AM OMOA MBOBOM
银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 因此 OM-OA=X(OB-OM), 从而 0i200丽=(投授2). 这就是点M的坐标. 另解 设所求点为Mx,y,),则AM=(x-,y--), MB=(k,-x为-y2-).依题意有AM=元MB,即 (x-x1,-y1,-31=2(x2-x,2-y,22-z) (x,y,-(x1,y1,=(2,2,222x,,), 化男归克6+++。 种授,授 1+元 点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1,点M的有向线段AB的中点, 其坐标为 x”,势, 2 例5求证以M(4,3,1)M(7,1,2)八、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解因为1MM=(7-4)2+1-3)2+(2-1)2=14, 1M4=-(5-7)2+2-1)2+(3-22=6, 1M1M=(5-4)2+2-3)2+(3-1)2=6, 所以MMMM,即△MMM为等腰三角形. 例6在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解设所求的点为M0,O,),依题意有MA=MB, 即 (0+4)2+(0-1)2+-7)}2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2 解之得:=号,所以,所求的点为M0,0当. 例7己知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB就是向 量a与b的夹角. ={1,1,0},b={1,0,1}: 因为 a-b=1×1+1×0+0x1=1, la2+12+02=√2, 1b作√12+02+12=√2」 所以 e∠4wB=放万万F号 第8页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 8 页 因此 OMOA(OBOM) 从而 ( ) 1 1 OM OA OB ) 1 , 1 , 1 ( 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 这就是点 M 的坐标 另 解 设 所 求 点 为 M (x y z) 则 ( , , ) 1 1 1 AM xx y y zz ( , , ) 2 2 2 MB x x y y z z 依题意有 AM MB 即 (xx1 yy1 zz1)(x2x y2y z2z) (x y z)(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)(x y z) ( , , ) 1 1 ( , , ) 1 2 1 2 1 2 x y z x x y y z z 1 1 2 x x x 1 1 2 y y y 1 1 2 z z z 点 M 叫做有向线段 AB 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段 AB 的中点 其坐标为 2 1 2 x x x 2 1 2 y y y 2 1 2 z z z 例 5 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解 因为 | M1M2| 2 (74)2 (13)2 (21)2 14 | M2M3| 2 (57)2 (21)2 (32)2 6 | M1M3| 2 (54)2 (23)2 (31)2 6 所以|M2 M3||M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形 例 6 在 z 轴上求与两点 A(4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点 解 设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有|MA| 2 |MB| 2 即 (04)2 (01)2 (z7)2 (30)2 (50)2 (2z)2 解之得 9 14 z 所以 所求的点为 ) 9 14 M(0, 0, 例 7 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求 AMB 解 从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向 量 a 与 b 的夹角 a{1 1 0} b{1 0 1} 因为 ab1110011 | | 1 1 0 2 2 2 2 a | | 1 0 1 2 2 2 2 b 所以 2 1 2 2 1 | || | cos a b a b AMB
银川能源学院《高签数学》救朱 第六童空间解析几何 从而 ∠AMB= 31 例8.设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处 的流速均为(常 向量)加.设n为垂直于S的单位向量(图7-25(a)),计算单位时间内经过这区 域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为p). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为ⅴ的斜 柱体(图7-25(b). 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与的夹角O,所以这柱体的高为刿v cos6,体积为 Alv cos 0=A v'n. 从而,单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为 P=pAv 'n. 第9页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 9 页 从而 3 AMB 例 8.设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处 的流速均为(常 向量v 设 n 为垂直于 S 的单位向量(图 7-25(a)) 计算单位时间内经过这区 域流向 n 所指一方的液体的质量 P(液体的密度为ρ ) 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、斜高为| v |的斜 柱体(图 7-25(b)) 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角 所以这柱体的高为| v | cos 体积为 A| v | cos A v ·n 从而 单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量为 PAv ·n
银川能源学院《高签激学》救未 第六章空间解析几何 第二节向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时,不但要考虑这物体所受的力,还要分析这些力所 产生的力矩 引例:设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处.F 与oP的夹角为8 由力学规定,力F对支点O的力矩是一向量M,它的模 IMHOPIIFIsin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面,M的指向是的按右手规则从OP以 不超过π的角转向F来确定的 向量积:设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: (1)c的模lc=ablsin0,其中0为a与b间的夹角; (2)c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向 b来确定, 那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作xb,即 c=axb 根据向量积的定义,力矩M等于OP与F的向量积,即 M=OPxF. 向量积的性质: (1)axa=0; (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则al/b;反之,如果a/b,则xb= 0. 如果认为零向量与任何向量都平行,则alb一xb=0. 数量积的运算律 (I)反交换律:axb=-b×c (2)分配律:(a+b)xc=axc+bxc. (3)结合律:(a)xb=ax0.b)=(axb)(为数). 数量积的坐标表示:设a-axi+aj+ak,b-bri+bj+bk.按向量积的 运算规律可得 axb=(axi+ayj+a:k)x (bxi+byj+bzk) ax bx ixi+ax by ixj ax b=ixk +ay bx jxi+ay by jxj+ay b-jxk +a:bx kxi+a:by kxj+a:b:kxk 由于ixi=ji=kxk=0,ix对i=k,jxk=i,kxi=j,所以 axb=(ay b:-a=by)i+(a:bx-ax b=)j+ax by-ay bx)k. 为了邦助记忆,利用三阶行列式符号,上式可写成 第10页
银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 10 页 第二节 向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所 产生的力矩 引例:设 O 为一根杠杆 L 的支点有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 F 与 OP 的夹角为 由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模 | | | || |sin M OP F 而 M 的方向垂直于 OP 与 F 所决定的平面 M 的指向是的按右手规则从 OP 以 不超过 的角转向 F 来确定的 向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 (1) c 的模 |c||a||b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角; (2)c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 ab 即 c ab 根据向量积的定义 力矩 M 等于 OP 与 F 的向量积即 M OPF 向量积的性质 (1) aa 0 (2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab 0 则 a//b反之 如果 a//b 则 ab 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则 a//b ab 0 数量积的运算律 (1) 反交换律:ab ba (2) 分配律 (ab)c ac bc (3) 结合律:(a)b a(b) (ab) ( 为数) 数量积的坐标表示 设 a ax i ay j az kb bx i by j bz k 按向量积的 运算规律可得 ab ( ax i ay j az k) ( bx i by j bz k) ax bx ii ax by ij ax bz ik ay bx ji ay by jj ay bz jk az bx ki az by kj az bz kk 由于 ii jj kk 0ij kjk iki j 所以 ab ( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成