第一章 第4节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷小与函数极限的关系 三、无穷大 四、无穷大与无穷小的关系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
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一、无穷小 定义1.若x→x时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x>∞) 为x>x时的无穷小 (或x→∞) 例如： lim sinx=0,函数simx当x→0时为无穷小， x-→0 1im1=0,函数当x→o时为无穷小 x-→00X X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; (或x ) 为 时的无穷小 . (或x )
定义1.若x>x(或x→o)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x(或x→∞)时的无穷小 说明：(1)无穷小是相对自变量的某一变化过程而言！ (2)除0以外任何很小的常数都不是无穷小」 因为1im C= V8>0,38>0, x→X0 当0<x-xo<8时， |C-0Kε 显然C只能是0I BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1)无穷小是相对自变量的某一变化过程而言！ 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x ) 则 时的无穷小 . (2)除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
二、无穷小与函数极限的关系 limf(x)=A,=f(x)=A+a(x),其中&为x>x, x今X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x-今x0 Vε>0,38>0，当0X0 对自变量的其他变化过程类似可证 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 其中 为 0 x x 时的无穷小量 . 二、无穷小与函数极限的关系 f x A x x lim ( ) 0 f (x) A(x) , 证: f x A x x lim ( ) 0 0, 0, 当 0 x x0 时,有 f (x) A f (x) A lim ( ) 0 0 x x x 对自变量的其他变化过程类似可证
三、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在8>0(X>0),使对 一切满足不等式0X)的x,恒有 f(x)>M 则称函数f(x)当x→x,(x→∞)时为无穷大，记为 lim f(x)=co (lim f(x)=). x→X0 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M) 则记作 lim f(x)=+oo lim f(x)=-00) x→x0 x→x0 (x→0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 恒有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 f x x x x ( x X ) ( x ) (lim ( ) ). x f x ( X >0 ) , 记为 ( f (x) M ), 总存在
注意： 1无穷大是一个变量（函数），无论绝对值多么大的 数都不是无穷大； 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真！ 1.1 例如，函数f(x)=二sim x 在x=0的邻域内无界，但当x0时，x)不是无穷 大（有零点） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1.无穷大是一个变量(函数)，无论绝对值多么大的 数都不是无穷大； 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 在x＝0的邻域内无界，但当x→0时，f(x)不是无穷 大(有零点)．
例1.4.1证明 lim x>1x-1 证：任给正数M,要使 x-1 >M,即x-1<M 只要取ò=M 则对满足0<x-1<δ的一切x,有 所以lim =00 x→1x-1 说明：若limf(x)=o∞，则直线x=xo x今x0 铅垂渐近线 为函数y=f(x)的图形的铅垂渐近线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.4.1 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x x 为函数 的图形的铅垂渐近线 . 铅垂渐近线 说明:
四、无穷大与无穷小的关系 定理2在自变量的同一变化过程中， 若(x)为无穷大，则 为无穷小； f(x) 若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 为无穷大 f(x) (自证 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷大与无穷小的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x) 0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2 在自变量的同一变化过程中, 说明:
内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 Thl 3.无穷大与无穷小的关系 Th2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 第5节目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷大与无穷小的关系 Th2 第5节