第6节 第三章 狐微多与曲率 曲线的弯 〔与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 M'M" 主要内容 一、弧微分 二、曲率及其计算 三、曲率圆 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第6节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算 三、 曲率圆 M M M 弧微分与曲率 第三章
一、弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，其图形为AB 弧长s=AM=s(x) y=f(x) M △S MM'MM' △x MM' △x MM' V(△x)2+(△y)2 MM' a △x x i b x x+△X MM' = MM' lim =±1 Ax->0 MM' 's'()=tim= △x>0△X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s AM s(x) x s M M M M x M M M M M M x x y 2 2 ( ) ( ) M M M M 2 1 ( ) x y x s s x x 0 ( ) lim 2 1 ( y ) x O y f (x) A B a b x y x M x x M y lim 1 0 M M M M x
s(x)=V1+(0y) .ds =+()2dx ds=v(dx)2+(dy)2 若曲线由参数方程表示： x=x(t) Ly=y(t) 永表示对 数t的导数 则弧长微分公式为 ds=V2+少2dt 几何意义：ds=MT dx cosa dy= sin a ds ds xx+dx x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 ds 1 ( y ) dx 2 或 2 2 ds (dx) (dy) O x dx dx x y x M dy T 几何意义: ds MT cos ; d d s x sin d d s y 若曲线由参数方程表示: ( ) ( ) y y t x x t 数 的导数 表示对参 t x
二、曲率及其计算 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△s,对应切线 转角为△cx,定义 弧段△s上的平均曲率 K △ M △S 点M处的曲率 △0 da K lim △S ds 注意：直线上任意点处的曲率为0！ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K M M s 点 M 处的曲率 s K s 0 lim ds d 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为
例3.6.2求半径为R的圆上任一点处的曲率 解：如图所示 △S=R△C K=lim △0 △S R 可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.6.2 求半径为R 的圆上任一点处的曲率 . 解: 如图所示 , s R s K s 0 lim R 1 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . s R M M
曲率K的计算公式 da K 设曲线弧y=(x)二阶可导，则由 ds ma=y(设-子a 得 a arctan y da=(arctan'dx= dx +y2 又 ds =1+y'2 dx 故曲率计算公式为K= (1+y2)为 当y<1时，有曲率近似计算公式K≈y” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 当 y 1时, 有曲率近似计算公式 tan y ) 2 π 2 π (设 得 arctan y d (arctan y )dx 故曲率计算公式为 s K d d 2 3 (1 ) 2 y y K K y 又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
*说明： x=x(t) (1)若曲线由参数方程 ly=x(t) 给出，则 护-少 K- (x2+2)为 (2)若曲线方程为x=p(y),则 x” K=- (1+x2为 K=- y" (1+y2)为 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 *说明: (1) 若曲线由参数方程 ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K (2) 若曲线方程为 x ( y), 则 2 3 (1 ) 2 x x K 2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K
三、曲率圆 A(C,β 设M为曲线C上任一点，在点 M处作曲线的切线和法线，在曲线 的凹向一侧法线上取点A使 M=R=入 M(x,y) 把以A为中心，R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆（密切圆），R叫做曲率半径，A叫做曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系 (1)有公切线： (2)凹向一致， (3)曲率相同 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、曲率圆 T y O x A(,) R M (x, y) C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 K AM R 1 把以 A 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, A 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 A 使
设曲线方程为y=f(x),且y”≠0，求曲线上点M处的 曲率半径及曲率中心A(@,B)的坐标公式 设点M处的曲率圆方程为 (5-a2+(-B2=R2 A(a,B) 故曲率半径公式为 R= 1 +y2)2 K y M(x,y) C,B满足方程组 (x-a)2+(y-B2=R2 (M(x,y)在曲率圆上) v' x-a (AM⊥MT) y-B BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 7 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 K R 1 2 3 (1 ) 2 y y , 满足方程组 2 2 2 (x ) ( y ) R (M (x, y)在曲率圆上) y (AM MT) y x 的坐标公式 . T y O x R M (x, y) C A(,)
*由此可得曲率中心公式 A(a,B) a=x-+y2) M(x,y) B=y++2 X (注意y-B与y”异号) 当点M(x,y)沿曲线y=f(x)移动时，相应的曲率中心 的轨迹G称为曲线C的渐屈线， 曲线C称为曲线G的渐伸线 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程（参数为x) 点击图中任意点动画开始或暂停 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 , 满足方程组 2 2 2 (x ) ( y ) R (M (x, y)在曲率圆上) y (DM MT) y x 由此可得曲率中心公式 y y y x (1 ) 2 y y y 2 1 (注意 y 与 y 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停T y O x R M (x, y) C A(,) *