第1节 第七章 多元函数的基本概念与极限 平面区域的概念 二 、多元函数的概念 三、二元函数的极限与连续性 四、有界闭区域上多元连续函数的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第1节 一、平面区域的概念 二、多元函数的概念 三、二元函数的极限与连续性 四、有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的基本概念与极限
一、平面区域的概念 1.平面点集 二维平面2上具有某种性质的点的集合，称为平面 点集，记作 E=《x,y)川(x,y)具有的性质 例如，在2上以坐标原点O0,0)为中心，r为半径的圆 内所有点P(x,y)的集合为 C={(x,)x2+y2<r2减记成C={PIOP<r} BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、平面区域的概念 1.平面点集 二维平面R2上具有某种性质的点的集合，称为平面 点集，记作 例如,在R2上以坐标原点O(0,0)为中心，r为半径的圆 内所有点P(x，y)的集合为 ( , )| || | . 2 2 2 C x y x y r 或记成C P OP r E (x, y )| (x, y)具有的性质
2.邻域 点集U(P,δ)={PPP<δ，称为点P的8邻域 例如，在平面上， U(B,δ)={《x,y)V(x-x)2+(y-)2<δ} (圆邻域) 在空间中， U(,δ)=《xy,z)V(x-x)2+(y-%)2+(z-)2<δ} (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U() 点P的去心邻域记为U(P)={P0<PP<δ} BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( 0 ) o U P P PP δ 0 0 2. 邻域 点集 ( , ) , U P0 δ P 称为点 P0的 邻域. 例如,在平面上, U (P0 , δ ) (x, y) (圆邻域) 在空间中, U (P0 , ) (x, y,z) (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 PP δ 0 x x y y δ 2 0 2 0 ( ) ( ) x x y y z z δ 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( )
在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 平面上的方邻域为 U(,δ)={(x,y)x-xo<δ，y-o<δ} BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U(P0 ,δ ) (x, y) 。P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. , 0 x x δ y y δ 0
3.区域 1)内点、外点、边界点 设有点集E及一点P: 若存在点P的某邻域UP)cE, 则称P为E的内点； ·若存在点P的某邻域乙U(P)∩E=☑ 则称P为E的外点 ·若对点P的任一邻域乙U(P)既含E中的内点也含E 的外点，则称P为E的边界点 显然，E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 3. 区域 1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . P
2)聚点 若对任意给定的δ，点P的去心 邻域U(P,δ)内总有E中的点，则 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点) 所有聚点所成的点集成为E的导集 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 2) 聚点 若对任意给定的 ,点P 的去心 U(P,δ) E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 )
3)开区域及闭区域 ·若点集E的点都是内点，则称E为开集； 。E的边界点的全体称为E的边界，记作∂E, ·若点集E一∂E,则称E为闭集； 。若集E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连， 则称E是连通的； ·连通的开集称为开区域，简称区域； 。开区域连同它的边界一起称为闭区域： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 E 3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 E 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
例如，在平面上 {(x,y)x+y>0 开区域 {(x,y)1<x2+y2<4} ÷{(xy)x+y≥0} 闭区域 {(x,y)1≤x2+y2≤4} 2x 2 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如，在平面上 (x, y) x y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x y (x, y) x y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x y 开区域 闭区域 x y O x y O 1 2 x y O x y O 1 2
整个平面是最大的开域， 也是最大的闭域： ÷点集{(xy)x>1)是开集， 但非区域 ·对点集E,若存在正数K,使一切点P∈E与坐标原点 O的距离OP飞K,则称E为有界集，否则称为无 界集。 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 (x, y) x 1是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 但非区域 . 1 1 对点集 E , 若存在正数 K , 使一切点 PE 与坐标原点 O 的距离 OP K , 则称 E 为有界集 , 界集. 否则称为无 x y O
4.n维空间 n元有序数组(x,x2,…,x)的全体所构成的集合记作 R”,即R”=R×R××R {(x1,x2,…,xnxk∈R,k=1,2,,n} R”中的每一个元素用单个粗体字母x表示，即 x=(x1,x2,…,Xn) 任给x=(x,2,…,xn),y=(y,2,…,yn)eR”,∈R 定义：x+y=(x1+y1,x2+y2,,xn+yn) 线性运算 见x=(2x,元x2,…,九xn) 定义了线性运算的Rn称为n维空间，其元素称为点或 n维向量.x,称为x的第i个坐标或第i个分量 零元0=(0,0，…，0)称为R”中的坐标原点或零向量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 4. n 维空间 n 元有序数组 ( , , , ) 1 2 n x x x 的全体所构成的集合记作 , n R 即 R R R R n ( x1 , x2 ,, xn ) xk R, k 1,2,,n R n中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即 ( , , , ) 1 2 n x x x x n 定义了线性运算的 R 定义: ( , , , ) 1 2 n x x x x ( 1 , 2 , , ), ( 1 , 2 , , )R , R n n n 任给 x x x x y y y y ( , , , ) 1 1 2 2 n n x y x y x y x y 线性运算 其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量. 零元 (0,0, ,0)称为R 中的坐标原点或零向量. n 0 称为 n 维空间