第3节 第十章 幂级数 一、 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十章
一、 函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,…)是定义在区间I上的函数列 ∑4，(w)=4()+4,(x)+4,()++4,(x)+ n= 为定义在区间I上的（函数项）级数 对x0∈1，若常数项级数∑4n(x)收敛，称x为其收 n=l 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域， 若常数项级数∑4n(xo)发散，称xo为其发散点，所有 n=l 发散点的全体称为其发散域 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的(函数项)级数. 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 是定义在区间 I 上的函数列, 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 S(x)=∑4n(x) n=1 若用Sn(x)表示函数项级数前n项部分和，即 S,(x)=∑4，(x) 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S (x)=S(x), lim r (x)=0 n-→00 n-→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项部分和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
例10.3.1考察级数 ∑x”=1+x+x2+…+x”+ n=0 的收敛域和发散域 解它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 ∑x”= n=0 -x 它的发散域是(-0，-1]及[1，+∞)，或写作x≥1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.3.1 考察级数 解 它的收敛域是 它的发散域是 ( , 1]及[1， ）, 或写作 x 1. 有和函数 的收敛域和发散域．
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x)”=a+a4(x-x0)+a(x-xo)2+ n=0 …+an(x-xo)”+… 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,…)称 为幂级数的系数 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anx”=a0+ax+a2x2+…+anx”+ n=0 ”-xx<1即是此份形， 00 例如，幂级数 n=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称
定理1（阿贝尔定理 如果幂级数 ∑anx” n=0 在x=x点收敛，则对满足不等式xxo的任何x,该幂级数也发散 证：设∑anx收敛，则必有lim anx6=0,于是存在 n n→00 常数M>0,使a,xM(n=0,1,2,…) 收敛发散 发散 收O敛 发散x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 阿贝尔目录上页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散 定理 1 ( 阿贝尔定理 ) 如果幂级数 n0 n n a x 则对满足不等式 的任何 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的任何x , 该幂级数也发散. 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 发 散 收 O 敛 发 散 x 阿贝尔
ax ≤M xo 当|xxo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真.所以若当x三x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛. 也收敛, 反之, 若当 0 x x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0
推论 如果幂级数∑anx”不仅在x=0一点收敛，也 不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定 的正数R,它具有这样的性质： (1)当x←R时，幂级数绝对收敛； (2)当x>R时，幂级数发散： (3)当x=R与x=一R时，幂级数可能收敛也可能发散， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (1)当|x|R时，幂级数发散； (3)当x＝R与x＝－R时，幂级数可能收敛也可能发散
由Abel定理可以看出，∑anx” 的收敛域是以原点为 中心的区间. n=0 用士R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=+o时，幂级数在（一0，+o)收敛； 0<R<+0,幂级数在（一R,R)收敛；在[一R,R] 外发散，在x=±R可能收敛也可能发散 R称为收敛半径，（一R,R)称为收敛区间 (一R,R)加上收敛的端点称为收敛域 收敛发散 发散 收O敛 发散x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, n0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = + 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 O 敛 发 散 x 收敛 发散
定理2若∑a,x”的相邻系数满足lim =1,则 n=0 (1)当0oo anx n-→0 (1)若01,即Ix> 时，原级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 x a a a x a x n n n n n n n n 1 1 1 lim lim 定理2 若 的相邻系数满足 1 R ; l R ; R 0 . 证: (1) 若0 < l <＋∞, 则根据比值审敛法可知: 当 l x 1 , 原级数收敛; 当 l x 1 , 原级数发散. 即 1 x l 时, (1) 当0 < l <＋∞时, (2) 当l ＝0 时, (3) 当l ＝+∞时, 即 时, 则 1 x l