银川能源学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 复变函数的积分

第三章 复变函教的农分

§3.1复变函数积分的概念 1复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A 和B.C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A. 若规定其中一个方向（例如从点A到点B的方向）为正方 向，则称C为有向曲线此时称点A为曲线C的起点 点B为曲线C的终点若正方向指从起点到终点的方向 那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向， 记作C

§3.1 复变函数积分的概念 1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A 和B. C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A. 若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方 向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点， 点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向， 那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向， 记作C−

定义3.1设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中 A为起点，B为终点.函数z)在曲线C上有定义现沿着C 按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=2021,…2n-12m=B, 将曲线C划分成n个小弧段.在每个小弧段k-k (-1,2,…,n)上任取一点Ck并作和式Sn=∑f(5)△、 k=1 其中正k=2k-k-1.记为n个小弧段长度中的 之n =B 最大值当趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点的取法如何，S极限存在 之n-1 则称函数z)沿曲线C可积，并称这个极限 值为函数z)沿曲线C的积分.记作 52 22 17 1 ∫fet=l∑f5)Ac 51 o=A 2→0 k=1 z)称为被积函数，z)d称为被积表达式

定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中 A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C 按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=z0 ,z1 ,…,zn-1 ,zn =B, 将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,…,n)上任取一点k ,并作和式 k k 1 z z − 1 ( ) . n n k k k S f z  = =   其中 .记为n个小弧段长度中的 最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点ζk的取法如何，Sn极限存在， 则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限 值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 k k k 1 z z z  = − − 0 1 ( )d lim ( ) , n k k C k f z z f z   → =  =   f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式

若C为闭曲线，C的正方向指的是 当点沿着曲线C按所选定取积分的方 向运动时，C所围区域始终在它的左 侧，这时函数z)沿曲线C的积分记 作∮f(e)dz

若C为闭曲线，C的正方向指的是， 当点沿着曲线C按所选定取积分的方 向运动时，C所围区域始终在它的左 侧，这时函数f(z)沿曲线C的积分记 作 ( )d C f z z 

2.复变函数积分的性质 性质3.1（方向性)若函数z)沿曲线C可积，则 ∫2d=-∫f2d. 性质3.2（线性性)若函数z和g(z)沿曲线C可积，则 [(f()+B(i-f(+(d=. 其中α，B为任意常数 性质3.3（对积分路径的可加性）若函数fz)沿曲线C 可积，曲线C由曲线段，依次首尾相接而成，则 [fed=「fed+∫fed++f(e)d

2.复变函数积分的性质 性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则 ( )d ( )d . C C f z z f z z − = −   性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d , C C C     f z g z z f z z g z z + = +    其中,为任意常数. 性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C 可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . C C C Cn f z z f z z f z z f z z = + + +    

性质3.4（积分不等式)若函数z)沿曲线C可积，且对 z∈C,满足f(z≤M,曲线C的长度为L,则 je地≤st. 其中u=ld=Vdr2+dy2,为曲线C的弧微分 记AS为zk与z之间的弧长 2f.25A, k=] 入→0两端取极限 dds. 亨5.sM空a,-M.[-sf(yds≤M

性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对  z C ,满足 f z M ( )  , 曲线C的长度为L,则 ( )d ( ) d , C C f z z f z s ML     其中 , 为曲线C的弧微分. 2 2 d d d d s z x y = = + 记sk为zk-1与zk之间的弧长 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . n n n k k k k k k k k k f z f z f s    = = =          →0 两端取极限 ( )d ( ) d . C C f z z f z s    1 1 ( ) , n n k k k k k f s M s ML  = =      = ( )d ( ) d . C C f z z f z s ML    

3.复变函数积分的基本计算方法 定理3.1若函数孔z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则z) 沿C可积，且 Jfe)t=∫wdr-d+i∫dx+d 证明：2k=Xx+iyk,5k=5k+i7k,△xk=Xk-Xx-1,Ay%=y-yk-1, △正k=2k-Zk-1=(Xx+iyk)-(Xk-1+iyk-1) =(xkxk-1)+i-1) =△Xk+iAyk: ∑f(5A)心s=∑(u5,nx)+5,n:)MA+i△y） k=1 =∑(u(5&,n)△-5，nx)Ay) k=1 +i∑((5，ns)Ax+45,nk)Ayx

3.复变函数积分的基本计算方法 定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z) 沿C可积，且 ( )d d d i d d . C C C f z z u x v y v x u y = − + +    证明： 1 1 i , i , , , k k k k k k k k k k k k z x y x x x y y y = + = +  = −  = −    − − 1 1 1 1 1 ( i ) ( i ) ( ) i( ) + i . k k k k k k k k k k k k k z z z x y x y x x y y x y − − − − −  = − = + − + = − + − =   1 1 1 1 ( ) ( ( , ) ( , ))( i ) ( ( , ) ( , ) ) i ( ( , ) ( , ) ). n n k k k k k k k k k k n k k k k k k k n k k k k k k k f z u iv x y u x v y v x u y              = = = =  = +  +  =  −  +  +     

2f5:)L=∑(5，n:)A-5气，m:A9) +i∑(5，na)Ax+45,nx)Ay)】 k=1 已知)沿C连续，所以必有w、v都沿C连续，于是这 两个第二类曲线积分都存在因此积分存在，且 ∫feL=∫d-dw+i∫dr+d 参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 z=z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b), 参数仁a时对应曲线C的起点，仁b时对应曲线C的终点._

1 1 1 ( ) ( ( , ) ( , ) ) i ( ( , ) ( , ) ). n n k k k k k k k k k k n k k k k k k k f z u x v y v x u y          = = =  =  −  +  +     已知f(z) 沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这 两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 ( )d d d i d d . C C C f z z u x v y v x u y = − + +    参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 z z t x t y t a t b = = +   ( ) ( ) i ( ) ( ), 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点

设孔z)沿曲线C连续，则 f(z(t))=u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))=u(t)+iv(t) 「fe)证=dr-dy+i可dr+wd =(u(t)x(t)-v(t)y(t))dt+i(u(t)y(t)+v(D)x'(t))di, Re(f(z(t))z(t))=u(t)x'(t)-v(t)y(t), Im(f(z(t))z'(t)=u(t)y'(t)+v(t)x'(t) [fet=心fe(e0zo

设f(z)沿曲线C连续，则 f z t u x t y t v x t y t u t v t ( ( )) ( ( ), ( )) i ( ( ), ( )) ( ) i ( ). = + = + ( )d d d i d d ( ( ) ( ) ( ) ( ))d i ( ( ) ( ) ( ) ( ))d , C C C b b a a f z z u x v y v x u y u t x t v t y t t u t y t v t x t t = − + + = − + +          Re( ( ( )) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ), Im( ( ( )) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). f z t z t u t x t v t y t f z t z t u t y t v t x t    = −    = + ( )d ( ( )) ( )d . b a C f z z f z t z t t =   

例3.1分别沿下列路径计算积分∫z2dz和Im(zd (1)C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2)C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段 解：(1)C的参数方程为：(1+)t,t从0到1. ∫d=(《1+i02d(1+0)=1+i0(1+i)2d 3 (2)把丛原点(0,0)到(1,0)和从(1,0)到(1， 1)这两直线段分别记为C和C2, C的参数方程为：=0，x从0到1； C,的参数方程为：x=1,y从0到1

例3.1 分别沿下列路径计算积分 2 d 和 C z z  Im( )d C z z  (1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 . 1 1 2 2 2 0 0 3 3 3 1 0 d ((1 i) ) d((1 ) ) (1 i)((1 i) ) d (1 i) (1 i) . 3 3 C z z t i t t t t = + + = + +   + = +  =        (2) 把从原点（0，0）到（1，0）和从（1，0）到（1， 1）这两直线段分别记为C1和C2 , C1的参数方程为：y=0, x 从0到1; C2的参数方程为：x=1, y 从0到1