第四章 解折品数的级数表示法
§4.1复数项级数 1.复数列和复数列的极限 定义4.1设{an}(n=1,2,…)为一复数列，其中an=an+iPn a=+iB为一确定的复数.如果对任意的正数ε，存 在正整数N,使得当>W时，有 a,-a<& 成立，则称a为复数列{an}当n→o时的极限，记作 lima,=a n-→o0 并称复数列{an收敛于a
§4.1 复数项级数 1. 复数列和复数列的极限 定义4.1 设 为一复数列，其中 为一确定的复数. 如果对任意的正数，存 在正整数N，使得当n>N时，有 成立，则称a为复数列{an }当n→时的极限，记作 并称复数列{an }收敛于a. { }( 1,2, ) n a n = . n n n a i = + a i = + n a a − lim n n a a → =
定理4.1复数列{an}收敛于a的充分必要条件是： lim a,a,lim B.=B n∞ 证明 如果1ima,=a,则对>0，存在正整数W,使 得当n>N时，有an-aW时，有 a,-a<R.-<5, a,-aa,-a+B,-B<8,lima,a. n→o0
定理 4.1 复数列{an }收敛于a的充分必要条件是： lim ,lim n n n n → → = = 证明 如果 ，则对>0，存在正整数N，使 得当n>N时，有 lim n n a a → = n a a − 从而有 n n − − a a 所以有 lim . n n → = 同理有 lim . n n → = 反之，如果 ,对>0 ，存在正整数 N，使得当n>N时，有 lim ,lim n n n n → → = = , , 2 2 n n − − , n n n a a − − + − lim . n n a a → =
2.复级数 设an=n+iBn(n=1,2,3,)为一复数列，表达式 ∑an=a+a+…an+… n=] 称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该 级数的前n项部分和为 Sn=a1+a2+…+an,n=1,2,…, {sn}称为该级数的部分和数列 定义4.2若级数∑a,对应的部分和数列{sm}收敛于常数 s,即 lims,=s.那么∑a,称为收敛的级数数s叫做该 级数的和，记为∑4，=s若1ims,不存在，则∑an称为 n=l n=l 发散的级数
2. 复级数 设 为一复数列，表达式 称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该 级数的前n项部分和为 {sn}称为该级数的部分和数列. i ( 1,2,3, ) n n n a n = + = 1 2 1 n n n a a a a = = + + + 1 2 , 1,2, , n n s a a a n = + + + = 1 n n a = 定义 4.2 若级数 对应的部分和数列{sn}收敛于常数 s，即 那么 称为收敛的级数.数s叫做该 级数的和，记为 若 不存在，则 称为 发散的级数. lim . n n s s → = 1 n n a = 1 . n n a s = = lim n n s → 1 n n a =
定理4.2复级数∑a,收敛于s的充要条件是实级数∑ n=l 和∑Bn分别收敛学和x,其中s=6+i,a,=a,+B,(0n=1,2 n=l 证明：Sn=41+a2+…an =(C必1+2+…+an)+i(B+B2+…+Bn) =δn+itn 其中d,=∑g,n=∑B,它们分别为实级数∑a,和∑B 的部分和. 由定义4.2及定理4.1知，sn收敛于s的充要条件是{6} 和{}分别收敛于和x从而定理得证
定理 4.2 复级数 收敛于s的充要条件是实级数 和 分别收敛于和，其中 1 n n a = 1 n n = 1 n n = i , ( 1,2, ). n n n s a n = + = + = 证明： 1 2 1 2 1 2 ( ) i( ) i . n n n n n n s a a a = + + = + + + + + + + = + 1 1 , , n n n i n i i i = = = = 1 n i i = 1 n i i = 其中 它们分别为实级数 和 的部分和. 由定义4.2及定理4.1知，sn收敛于s的充要条件是{n} 和{n}分别收敛于和.从而定理得证
定理4.3复级数∑a,收敛的必要条件是lima=0. n=l n)∞ 证明：级数∑an收敛的充要条件是实级数∑α，和∑Bn均 n=1 收敛，其中an=an+iBn(n=1,2,) 实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零 lim a,=0 n-→oo mB.=0 从而得到 lim a=0
定理 4.3 复级数 收敛的必要条件是 1 n n a = lim 0. n n a → = 证明：级数 收敛的充要条件是实级数 和 均 收敛，其中 1 n n a = 1 n n = 1 n n = i ( 1,2, ). n n n a n = + = 实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零. lim 0 n n → = lim 0 n n → = lim 0. n n a → = 从而得到
定义4.3对于复级数∑4，，若∑a,收敛，则称级数 n= n= 绝对收敛；若∑a发散，而∑an 收敛，则称级数条 n= 件收敛 定理4.4如果级数∑an绝对收敛，则∑a,也收敛， n= n= 且不等式∑as∑a,成立 n=1 n=l 证明：记a,=an+iBn,n=1,2,…∑la.=∑a,2+B. 由于la≤Van2+Bn2,lB≤Va,+pn ∑a,和∑Bn均收敛于是∑an收敛
定义 4.3 对于复级数 ，若 收敛，则称级数 绝对收敛；若 发散，而 收敛，则称级数条 件收敛. 1 n n a = 1 n n a = 1 n n a = 1 n n a = 定理 4.4 如果级数 绝对收敛，则 也收敛， 且不等式 成立. 1 n n a = 1 n n a = 1 1 n n n n a a = = 证明： i , 1,2, n n n 记 a n = + = 2 2 1 1 . n n n n n a = = = + 由于 2 2 2 2 , n n n n n n + + 1 n n = 1 n n = 和 均收敛. 于是 1 n n a = 收敛
m之a-2a k=1 故有 m∑a ≤lim∑laxb k=1 n→0 k=1 即 k=1 推论4.1设an=n+iBn,n=1,2,….则级数 ∑a绝对 n= 收敛的充要条件是级数∑α和∑Bn都绝对收敛
1 1 k k k k a a = = 1 1 lim k k n k k a a → = = = 故有 1 1 lim lim , k k n n k k a a → → = = 1 1 k k k k a a = = 即 推论 4.1 设 . 则级数 绝对 收敛的充要条件是级数 和 都绝对收敛. i , 1,2, n n n a n = + = 1 n n a = 1 n n = 1 n n =
例4.1下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ n 2+e6W+ n= 3” nl 由正项级数的比值判别法和。， 00 收敛， 故原级数为绝对收敛， n=1 2X0+-+2cs++分sn号 n n Im1+2cos7=1lm1+2)sn交=0， 1→00 n n 1m1+e%=1.∑1+e× 发散 n
例 4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ i 1 1 1 (3i) 1 ( 1) 1 (1) ; (2) (1 )e ; (3) [ i] ! 3 π n n n n n n n n n n = = = − + + 解 (1) (3i) 3 , ! ! n n n n = 由正项级数的比值判别法和 收敛， 故原级数为绝对收敛. 1 3 ! n n n = (2) 1 1 1 i (1 ) (1 )cos i(1 )sin , n n n n n n + = + + + e 1 1 lim(1 )cos 1, lim(1 )sin 0, n n n n n n → → + = + = 1 i lim(1 ) 1. π e n n→ n + = i 1 1 (1 ) n n n = + e 发散
B)因为D收敛，立也收敛， n=l n 故原级数收敛， 但 为条件收敛，原级数为条件收敛 n=1
(3) 1 ( 1)n n n = − 1 1 3 n n = 因为 收敛， 也收敛， 故原级数收敛. 但 为条件收敛，原级数为条件收敛. 1 ( 1)n n n = −