第7为 第十章 常数项级数的橇念和性质 常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第1节 第十章
一、常数项级数的概念 引例圆的面积问题 依次作圆内接正3×2”(n=1,2,…)边形，设a1表示 内接正六边形面积，a表示边数增加 时增加的面积，如此继续进行n次， Sn=a1+a2+…+am n→o时，这个和越近似于圆的面积S 即 S limS,lim(a +a2 +..+a,) n→o0 n→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念 引例 圆的面积问题. 依次作圆内接正 边形, 这个和越近似于圆的面积 S . 设 a1 表示 即 内接正六边形面积, ak 表示边数增加 时增加的面积,如此继续进行n次
定义1设给定一个数列41,42，，…，4n,…将各项依 次相加，简记为∑4n,即 n=l 00 ∑24n=4+42+4+…+4n十 n=1 称上式为无穷级数，其中第n项n称为级数的一般项。 级数的前n项和 s。=∑4，=41+42+43++47 i 称为级数的部分和 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义1 设给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 n u 称为级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为
定义2如果级数∑u,的部分和数列{sn}有极限s,即 n= lim s =S n→oo 则称无穷级数收敛，s称为级数的和，记作 S=∑4n=4十2+…+4n+ n= 如果{S}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和. 当级数收敛时，其部分和s是级数和s的近似值，称 Tn=S一Sn=弘n+1十4n2十…十4n+k十为级数∑4，的 余项 1n= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 如果{sn }没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和． 当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，称 rn ＝s－sn ＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…为级数 的 余项． 则称无穷级数收敛， s称为级数的和，记作 如果级数 的部分和数列{sn 定义2 }有极限s，即
例10.1.3讨论公比为g的等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+aq+ag2+…+ag”+…(a≠0) n=0 的敛散性 解：若g≠1，则部分和 Sn=a+aq+ag2+…+ag-la-ag” 1-q 当g00 等比级数收敛，其和为”g 当q>1时，由于1imq”=o,因而lims.=o, n 1n→o0 n->oo 这时等比级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.1.3 讨论公比为q 的等比级数 (又称几何级数) 的敛散性. 解: 若 q a a q n 1 因而 1 lim a n q n s 等比级数收敛 , ; 1 q a 因而 lim , n n s 则部分和 这时等比级数发散 . 其和为
若9=1，则 当q=1时，Sn=na-→o,因此等比级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+…+(-1)2-a+… n为奇数 因此 n为偶数 从而lims不存在，这时等比级数发散， n=>o0 综合可知， q<1时，等比级数收敛； q21时，等比级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 若 因此等比级数发散 ; 因此 n s n 为奇数 n 为偶数 从而 综合可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 这时等比级数发散
二、收敛级数的基本性质 性质1如果级数 ∑4n收敛于和s,即s=∑un,则各项 n=] n= 乘以常数k所得级数∑k4n也收敛，其和为s. n=】 证：令sn=∑4n，则o。=∑k4n=kSn, n= n= lim n=k lims,=ks n→oo n-→o0 这说明 ∑kn收敛，且和为s. n=1] 说明：级数的每一项同乘一个非零常数后，它的敛 散性不会改变 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛级数的基本性质 性质1 如果级数 收敛于和 s , 1 , n n s u 则各项 乘以常数 k 所得级数 也收敛 , 证: 令 1 , n n n s u 则 1 n n n k u , n k s n n lim ks 这说明 1 n n k u 收敛 , 且和为 ks . 说明: 级数的每一项同乘一个非零常数后，它的敛 散性不会改变. 即 其和为 ks
性质2设有两个收敛级数 s=∑4，=∑n n=l n=l 则级数 ∑(4n土vn必收敛，且其和为s士O, n=] 证：令n=∑4n,o,=∑n,则 n= n=∑(4，±)=Sn士o,→s±a(n→o) n= 这说明级数∑(4n±yn)也收敛，其和为s±O. n=1 说明：两个收敛级数逐项相加（相减）所得级数仍收敛， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 性质2 设有两个收敛级数 1 , n n s u n 1 n v 则级数 ( ) 1 n n n u v 必收敛, 且其和为 s . 证: 令 1 , n n n s u 1 , n n n v 则 1 ( ) n n n n u v s n ( ) 这说明级数 ( ) 1 n n n u v 也收敛, 其和为 s . 说明：两个收敛级数逐项相加(相减)所得级数仍收敛．
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变 级数的敛散性 证：将级数∑u的前k项去掉，所得新级数 ∑4k+n n=l n=1 的部分和为 7n=∑4k1=Skn-S 由于n→o时，O,与Sn极限状况相同，故新旧两级 数敛散性相同 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不改变 级数的敛散性. 证: 将级数 n1 n u 的前 k 项去掉, 的部分和为 n l n k l u 1 k n k s s 数敛散性相同. 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数
性质4如果级数收敛，则对这个级数的各项间任意 加括号所得的级数仍收敛，且其和不变 证：设级数∑4n前n项的部分和为sn,加括号所成的 级数前项都分和为A,则 A=(4+…+4）+(u+1十…+）+…+（十…+）=Sn 数列{A}是数列{sn}的一个子数列.由数列{sn}的收 敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，数列{A} 必定收敛，且有 lim 4 lim s 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 例如，(1-1)+(1-1)+…=0，但1-1+1-1+…发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 性质4 如果级数收敛，则对这个级数的各项间任意 加括号所得的级数仍收敛，且其和不变． 证: 设级数 前n项的部分和为sn，加括号所成的 级数前k项部分和为Ak，则 1 n n u 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如，(11) (11) 0 , 但 发散. 数列{Ak }是数列{sn }的一个子数列．由数列{sn }的收 敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，数列{Ak } 必定收敛，且有