银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第三章中值定理与导数的应用.pdf_大学文库

银川能源学院《高等数学》教案第三章微分中值定理与导数的应用第 2 页第一节中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0 处可导 如果对任意 xU(x0) 有 f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0)) 那么 f (x0)0 罗尔定理如果函数 yf(x)在闭区间[a, b]上连续 在开区间(a, b)内可导 且有 f(a)f(b) 那么在(a, b)内至少在一点  使得 f ()0 简要证明 (1)如果 f(x)是常函数 则 f (x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则 f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点(a b) 于是 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  所以 f (x)=0. 罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 那么在(a b)内至少有一点(a<<b) 使得等式 f(b)f(a)f ()(ba) 成立 拉格朗日中值定理的几何意义 f () b a f b f a  ( ) ( )  定理的证明 引进辅函数令 (x)f(x)f(a) b a f b f a  ( ) ( ) (xa) 容易验证函数 f(x)适合罗尔定理的条件 (a)(b)0 (x)在闭区间[a b] 上连续在开区间(a b)内可导 且 (x)f (x) b a f b f a  ( ) ( )  根据罗尔定理 可知在开区间(a b)内至少有一点 使 ()0 即 f () b a f b f a  ( ) ( ) 0 由此得 b a f b f a  ( ) ( )  f ()  即 f(b)f(a)f ()(ba) 定理证毕 f(b)f(a)f ()(ba)叫做拉格朗日中值公式 这个公式对于 b<a 也成立 拉格朗日中值公式的其它形式

银川能源学院《高等数学》教案第三章微分中值定理与导数的应用第 3 页设 x 为区间[a b]内一点 xx 为这区间内的另一点(x>0 或x0)或[xx x ] (x<0)应用拉格朗日中值公式 得 f(xx)f(x)f (xx)  x (0<<1) 如果记 f(x)为 y 则上式又可写为 yf (xx)  x (0<<1) 试与微分 d yf (x)  x 比较 d y f (x)  x 是函数增量y 的近似表达式 而 f (xx)  x 是函数增量y 的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用 我们证明如下定理 定理如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零 那么 f(x)在区间 I 上是一个常数 证在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1<x2) 应用拉格朗日中值定理 就得 f(x2)f(x1)f ()(x2  x1) (x1<< x2) 由假定 f ()0 所以 f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1) 因为 x1 x2 是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 f(x)在 I 上的函数值总是相等的 这就是说 f(x)在区间 I 上是一个常数 例 2 证明当 x0 时 x x x x     ln(1 ) 1  证设 f(x)ln(1x) 显然 f(x)在区间[0 x]上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)f ()(x0) 0<<x。由于 f(0)0 x f x    1 1 ( )  因此上式即为    1 ln(1 ) x x  又由 0x 有 x x x x     ln(1 ) 1  三、柯西中值定理设曲线弧 C 由参数方程      ( ) ( ) Y f x X F x (axb) 表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点 x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦 AB 曲线 C 上点 x处的切线的斜率为 ( ) ( )   F f dX dY     弦 AB 的斜率为 ( ) ( ) ( ) ( ) F b F a f b f a    于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a      

银川能源学院《高等数学》教案第三章微分中值定理与导数的应用第 5 页第二节泰勒公式对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当|x|很小时 有如下的近似等式 e x 1x ln(1x) x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出误差公式 设函数 f(x)在含有 x0 的开区间内具有直到(n1)阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于(xx0 )的 n 次多项式 p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2      a n (xx0 ) n 来近似表达 f(x) 要求 p n(x)与 f(x)之差是比(xx0 ) n 高阶的无穷小 并给出误差| f (x) p n (x)|的具体表达式 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等 这样就有 p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2     a n (xx0 ) n  p n(x) a 12 a 2(xx0 )    na n (xx0 ) n1  p n(x) 2 a 2  32a 3(xx0 )     n (n1)a n (xx0 ) n2  p n(x) 3!a 3 432a 4(xx0 )     n (n1)(n2)a n (xx0 ) n3         p n (n) (x)n! a n  于是 pn (x0 )a 0  p n (x0 ) a 1  p n (x0 ) 2! a 2  p n (x) 3!a 3      p n (n) (x)n! a n 按要求有 f(x0)p n(x0) a0 f (x0) p n (x0) a 1  f (x0) p n (x0) 2! a 2  f (x0) p n (x0) 3!a 3        f (n) (x0) p n (n) (x0)n! a n  从而有 a 0f(x0 ) a 1f (x0 ) ( ) 2! 1 2 0 a  f  x      ( ) 3! 1 3 0 a  f  x  ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n   ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0 1 2    n)

银川能源学院《高等数学》教案第三章微分中值定理与导数的应用第 6 页于是就有 pn(x) f(x0) f (x0) (xx0) ( ) 2! 1 0  f  x (xx0) 2    ( ) ! 1 0 ( ) f x n  n (xx0) n  泰勒中值定理如果函数 f(x)在含有 x0 的某个开区间(a b)内具有直到 (n1)的阶导数 则当 x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0 )的一个 n 次多项式与一个余项 R n(x)之和 ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n             其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  (介于 x0 与 x 之间) 这里多项式 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( )  0   0  0   0  0      称为函数 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 次近似多项式 公式 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(xx ) f  x xx    ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  称为 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  (介于 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日型余项 当 n0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)f(x0 )f ()(xx0 ) (在 x0 与 x 之间) 因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间(a b)内变动时 |f (n1)(x)|总不超过一个常数 M 则有估计式 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x   及 0 ( ) lim 0 ( ) 0    n n x x x x x R  可见 妆 x x0 时 误差|R n(x)|是比(xx0 ) n 高阶的无穷小 即 R n (x)o[(xx0 ) n ] 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(xx ) f  x xx    ( )( ) [( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n      当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n          

银川能源学院《高等数学》教案第三章微分中值定理与导数的应用第 8 页第三节函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法如果函数 yf(x)在[a  b]上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的） 即 yf (x)0(yf (x)0) 由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系 反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理 1(函数单调性的判定法) 设函数 yf(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导 (1)如果在(a b)内 f (x)0 那么函数 yf(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内 f (x)0 那么函数 yf(x)在[a b]上单调减少 证明只证(1) 在[a b]上任取两点 x1  x2 (x1 x2 ) 应用拉格朗日中值定理 得到 f(x2 )f(x1 )f ()(x2x1) (x1 x2 ) 由于在上式中 x2x10 因此 如果在(a b)内导数 f (x)保持正号 即 f (x)0 那么也有 f ()0 于是 f(x2 )f(x1 )f ()(x2 x1 )0 即 f(x1 )f(x2 ) 这函数 yf(x) 在[a b]上单调增加 注 判定法中的闭区间可换成其他各种区间 例 1 判定函数 yxsin x 在[0 2]上的单调性 解因为在(0 2)内 y1cos x 0 所以由判定法可知函数 yxcos x 在[0 2]上的单调增加 例 2 讨论函数 ye x x1 的单调性 （没指明在什么区间怎么办？) 解 ye x 1 函数 ye x x1 的定义域为( ) 因为在( 0)内 y0 所以函数 ye x x1 在( 0] 上单调减少 因为在(0 )内 y0 所以函数 ye x x1 在[0 )上单调增加 例 3 讨论函数 3 2 y x 的单调性 解 函数的定义域为( ) 当时 函数的导数为 3 3 2 x y   (x0) 函数在 x0 处不可导 当 x0 时 函数的导数不存在 因为 x0 时 y0 所以函数在(, 0] 上单调减少 因为 x0 时 y0 所以函数在[0, )上单调增加 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 那么只要用方程 f (x)0 的根及导数不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间 就能保证 f (x)在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数 f(x)在每个部分区间上单调 例 4 确定函数 f(x)2x 3 9x 2 12x3 的单调区间

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第三章 中值定理与导数的应用

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