《高等数学》课程教学资源（习题选解）第十章 级数10.3

习题10-3 1.求下列幂级数的收敛域： (D m (2) (3) 52” (2n-1)1 n2+1 42 (5) 2n-lx22 (6) (x-5)" an-3: 名2 名√n 解：(1)收敛半径R=lim a=lim n =lim-1 =1 nn+1 1 1+ n x=-1时，级数为-1+2-3+…+(-)"-n+…,它是发散的： x=1时，级数为1+2+3+…+n+…,它也是发散的， 因此，幂级数∑x收敛域是(-1,1). n=1 (2)收敛半径1=lim an lim /(2n+1)1 1 =lim- 一=0， an厂/2n-1月a2n(2n+1) 所以收敛半径R=+o,从而收敛域是(-o,+o). (3)收敛半径R=lim an 2”(n+1)2+11 lim m→n2+12*1厂2 x=)时，级数成为1 1 它是收敛的： mn2+1 x=-)时，原级数成为仁 它也是发散的， 2 an2+1 因此，幂级数 x" 台(2n-1) 的收敛域为分 (4)x 之n3:收敛半径R=linm =lim 1/n-3 a-a+河+}3. x=-3时，级数为收敛的交错级数-1少： n=l n x=3时，级数为调和级数1，它也是发散的

1 习题 10  3 1.求下列幂级数的收敛域： （1） 1   n n nx ； （2） 1 (2 1)!     n n x n ； （3） 2 1 2 1     n n n x n ； （4） 1 3 n n n x n     ； （5） 2 2 1 2 1 2 n n n n x      ； （6） 1 ( 5) n n x n     ． 解：（1）收敛半径 1 1 lim lim lim 1 1 1 1 n n n n na n R a n n           , x  1时，级数为 1 1 2 3 ( ) n n       , 它是发散的； x 1时，级数为1 2  3 n ，它也是发散的， 因此，幂级数 1   n n nx 收敛域是(1,1) ． （2）收敛半径     1 1 2 1 ! 1 lim lim lim 0 1 2 1 ! 2 (2 1) n n n n n a n l a n n n            ， 所以收敛半径 R   ，从而收敛域是(,) ． （3）收敛半径 2 1 2 ( 1) 1 1 2 lim lim 1 2 2 1            n n n n n n n a n a R . 2 1 x  时，级数成为  1  2 1 1 n n ，它是收敛的； 2 1 x   时，原级数成为     1 2 1 ( 1) n n n ，它也是发散的， 因此，幂级数 1 (2 1)!     n n x n 的收敛域为 ] 2 1 , 2 1 [ . （4） 1 3 n n n x n     ；收敛半径   1 1 1 3 1 lim lim 3lim 1 3 1 1 3 n n n n n n na n R a n n                    , x  3时，级数为收敛的交错级数 1 ( 1) n n n     ； x  3时，级数为调和级数 1 1 n n   ，它也是发散的

因此，幂级数收敛域是[-3,3). (5)该幂级数缺少奇数项，不能用求收敛半径的公式，需按数项级数绝对收敛 的方法判断. lim =lim u(x) →22n-1 当2时，幂级数发散，所以收 径为R=5.当x=±2时，原级数为2，它是发散的，故幂 12 三一的收敛城为一5. (6)解法一：因1im (x) =lim l-5.-k-5 u(x)厂√n+1(x-5) 当x-5<1,即x∈(4,6)时，幂级数收敛：x-51时，幂级数发散·收敛半径 为R=1,当x-5=1时，即x=6时， 三行它是发放的：当5：-1时，即 :4时，数数成为由来布尼起判别法知它是收放的，放数交 n n 的收敛域为[4,6) 解法二：设x-5=1,级数变为∑ ，求得此级数的收敛域为1∈l,l),于 iVn 是原来级数的收敛域为[4,6) 2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： )立a<: (2)】 2n+1x2(<1): (<1) (x<1). 解：(1)记和函数为s(x),则 2

2 因此，幂级数 1 3 n n n x n     收敛域是[3,3) ． （5）该幂级数缺少奇数项，不能用求收敛半径的公式，需按数项级数绝对收敛 的方法判断． 1 2 2 ( ) 1 2 1 1 lim lim ( ) 2 2 1 2 n n n n u x n x x u x n          ， 当 1 2 1 2 x  ，即 x  2 时，幂级数收敛； x  2 时，幂级数发散，所以收 敛半径为 R  2 ．当 x   2 时，原级数为     1 2 2 1 n n ，它是发散的，故幂级数 2 2 1 2 1 2 n n n n x      的收敛域为( 2, 2)． (6) 解法一：因 1 1( ) ( 5) lim lim 5 ( ) 1 ( 5) n n n n n n u x x n x u x n x            当 x  5 1 时，幂级数发散 ．收敛半径 为 R 1，当 x  5 1时，即 x  6 时， 1 1 n n   ，它是发散的；当 x  5  1时，即 x  4 时，级数成为    1 ( 1) n n n ，由莱布尼兹判别法知它是收敛的，故级数 1 ( 5) n n x n     的收敛域为4，6． 解法二 ：设 x  5  t ，级数变为  n1 nn t ，求得此级数的收敛域为t 1，1, 于 是原来级数的收敛域为4，6. 2.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数： （1） 1 1 n n nx    ( x 1)； （2） 2 0 (2 1) n n n x    ( x 1) ； （3） 2 1 1 2 1      n n x n ( x 1)； （4） 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n       ( x 1)． 解：（1）记和函数为 s(x) ，则

w-2m-2)=②rj( (4<1) (2)记和函数为s(x),则 -8a-j-这rjj号 (3)记和函数为s(x),则s(O)=0 =2恤+0-j区+o -+0= (x<1) (4)记和函数为s(x),则s(0)=0 =[区-n+o-②-- arctan x x<1

3     1 2 0 0 0 1 1 ( ) 1 1 n n n n n n s x nx x x x x                                 ( x 1) （2）记和函数为s(x) ，则     2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) (2 1) 1 1 n n n n n n x s x n x x x x x x x                                    ( x 1) （3）记和函数为s(x) ，则 s(0)  0 2 1 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) d (0) d (0) 2 1 n x x n n n x s x x s x x s n                             2 0 1 1 1 d (0) ln 1 2 1 x x x s x x        ( x 1) (4) 记和函数为s(x) ，则s(0)  0 2 1 2 2 0 0 0 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) d (0) ( 1) d d 2 1 1 n x x x n n n n n x s x x s x x x n x                                 arctan x x 1