第八章常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 (一)基本要求 1.了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解 等概念 2.掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法 3.了解二阶线性微分方程解的结构 4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 5.会求自由项为Pn(x)e2x或Pn(x)ecosBx,Pn(x)esinBx时的二 阶常系数非齐次线性微分方程的解， 6.知道特殊的高阶微分方程（ym=f),y=fx,),y=f0y,)） 的降阶法 7.会用微分方程解决一些简单的实际问题 重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量 法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构， 二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变 易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程 的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题
1 第八章 常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解 等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为 x mP x ( )e 或 P x x x m ( )e cos ， P x x x m ( )e sin 时的二 阶常系数非齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（ ( ) ( ) y f x n ， y f (x, y)， y f ( y, y)） 的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量 法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构， 二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变 易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程 的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题
(二)内容提要 1.微分方程的基本概念 (1)微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是 多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称 微分方程 (2)微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的 阶.如果把函数y=(x)代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则称 该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立 的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通 解 (3)初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意 常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微 分方程的特解， (4)独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设y,(x),y,(x)是定义在区间(a,b)内的函数，若存在两个不全为零的 数k,k,使得对于区间(a,b)内的任一x,恒有
2 （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是 多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称 微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的 阶.如果把函数 y f (x)代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称 该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立 的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通 解.⑶ 初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意 常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微 分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是定义在区间(a,b)内的函数，若存在两个不全为零的 数 1 2 k , k ，使得对于区间(a,b)内的任一x ，恒有
ky1(x)+k2y2(x)=0 成立，则称函数y,(x),y,(x)在区间(a,b)内线性相关，否则称为线性无 关 显然，函数(，，()线性相关的充分必要条件是四在区间 y2(x) (a,b)内恒为常数. 如果)不恒为常数，则y,(x,y,(x)在区间(a,b)内线性无关。 y2(x) ②独立的任意常数 在表达式y=C1(w)+C22()(C,C2为任意常数)中，C1,C2为独立 的任意常数的充分必要条件为(，2(x)线性无关 2.可分离变量的微分方程 (1)定义形如 dy-f(x)g(y) d 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边 可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的 函数，即f(x),g(y)分别是变量x,y的已知连续函数。 (2)求解方法 可分离变量的微分方程少=fg)的求解方法， 一般有如下两步： 第一步：分离变量 g(y)dy=f(x)dx, 第二步：两边积分 ∫gy)dy=∫f(x)dr
3 ( ) ( ) 0 k1 y1 x k 2 y2 x 成立，则称函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 在区间(a,b)内线性相关，否则称为线性无 关.显然，函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 线性相关的充分必要条件是 ( ) ( ) 2 1 y x y x 在区间 (a,b)内恒为常数. 如果 ( ) ( ) 2 1 y x y x 不恒为常数，则 ( ), ( ) 1 2 y x y x 在区间(a,b)内线性无关. ②独立的任意常数 在表达式 ( ) ( ) 1 1 2 2 y C y x C y x ( C1 , C2 为任意常数) 中, C1 ,C2 为独立 的任意常数的充分必要条件为 ( ) 1y x , ( ) 2y x 线性无关. 2.可分离变量的微分方程 ⑴定义 形如 ( ) ( ) d d f x g y x y 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边 可以分解成两个函数之积，其中一个仅是 x 的函数，另一个仅是 y 的 函数，即 f (x), g( y)分别是变量 x, y的已知连续函数. ⑵求解方法 可分离变量的微分方程 ( ) ( ) d d f x g y x y 的求解方法, 一般有如下两步: 第一步:分离变量 g( y)dy f (x)dx ， 第二步:两边积分 g( y)dy f (x)dx
3.线性微分方程 (1)一阶线性微分方程 ①定义形如 dy+P(x)y=Q(x). 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x),Qx)都是x的已知连 续函数，“线性”是指未知函数y和它的导数y都是一次的. ②求解方法 一阶线性微分方程少+P(xy=Q()的求解方法，一 般有如下两步： 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程业+P(xy=Q(x)所 dx 对应的齐次线性微分方程少+P(xy=0的通解y.=Ce 第二步：设y=Cx)eJ为一阶线性微分方程+P(xy=Qx)的 dx 解，代入该方程后，求出待定函数C(x) 第三步：将c代入y=C(x)e中，得所求一阶线性微分方程 +Pxy=Q)的通解. dx 注意只要一阶线性微分方程是少+Pxy=Qx)的标准形式，则 dx 将y=C(x)ePt代入一阶线性微分方程后，整理化简后，必有 C'(xe∫Pt=Q(x), 该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中，以简化运算过程， ③一阶线性微分方程业+Pxy=Q(x)的求解公式 dx (其中C为任意常数). (2)二阶常系数齐次线性微分方程 ①定义形如
4 3. 线性微分方程 ⑴ 一阶线性微分方程 ①定义 形如 ( ) ( ) d d P x y Q x x y . 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x),Q(x)都是 x 的已知连 续函数，“线性”是指未知函数 y 和它的导数 y都是一次的. ②求解方法 一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的求解方法,一 般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 所 对应的齐次线性微分方程 ( ) 0 d d P x y x y 的通解 P x x yc C ( )d e . 第二步：设 P x x y C x ( )d ( ) e 为一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的 解,代入该方程后,求出待定函数C(x) . 第三步: 将C(x) 代入 P x x y C x ( )d ( ) e 中,得所求一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的通解. 注意 只要一阶线性微分方程是 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的标准形式,则 将 P x x y C x ( )d ( ) e 代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有 ( )e ( ) ( )d C x Q x P x x , 该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. ③一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的求解公式 y Q x x C P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d (其中C 为任意常数). ⑵ 二阶常系数齐次线性微分方程 ①定义 形如
y"+py'+qy=0 的微分方程（其中p,g均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分 方程 ②求解方法求解二阶常系数齐次线性微分方程，一般分为如下 三步： 第一步写出方程y+p四+w=0的特征方程r2+pm+q=0, 第二步求出特征方程的两个特征根n,2, 第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出 y+p四+=0的通解. 有两个不 y=Ce+C,e 同特征实 1≠2 根 有两个相 y=(C+C2 x)e 同特征实 1=2=r 根 有一对共 y=(C1cosβx+C2 sinBx)e“ n,2=a±iB 轭复根 (3)二阶常系数非齐次线性微分方程 ①定义形如 y"+py'+qy=f(x) 的微分方程（其中p,g均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微 5
5 y py qy 0 的微分方程（其中 p, q均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分 方程.②求解方法 求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下 三步: 第一步 写出方程 y py qy 0 的特征方程 0 2 r pr q ， 第二步 求出特征方程的两个特征根 1 r , 2 r ， 第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出 y py qy 0的通解. 有两个不 同特征实 根 1 r 2 r r x r x y C 1 C 2 e e 1 2 有两个相 同特征实 根 1 r r r 2 rx y (C C x) e 1 2 有一对共 轭复根 r1,2 i x y C x C x ( cos sin ) e 1 2 ⑶二阶常系数非齐次线性微分方程 ①定义 形如 y py qy f (x) 的微分方程（其中 p, q均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微
分方程。 ②求解方法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，一般分为如 下三步： 第一步先求出非齐次线性微分方程y++四=f)所对应的齐 次线性微分方程方程y+四+四=0的通解y; 第二步根据下表设出非齐次线性微分方程y++=fx)的含 待定常数的特解yp,并将yn代入非齐次线性微分方程y+四+=f) 解出待定常数，进而确定非齐次方程y+严+w=f)的一个特解yp: 第三步写出非齐次线性微分方程y+四+=fx)的通解 y=yc+yp. 方程y+四+=fx)的特解y,的形式表 自由项f)的形式 特解的形式的设法 不是特征根 yp=e(x)e f(x)=P(x)e 元是特征单根 yp=xe (x)e 入是二重特征根 yp=x'e(x)e f(x)=P (x)ec cos B ①令1=a+i邙，构造辅助方程 或 y”+py+=Pm(x)e2 f(x)=Pnm(x)e“sinB ②求出辅助方程的特解yp=+必 ③则n是方程y+py+w=(x)特解 2是方程y+四+w=)特解 注：表中的Pm(x)为已知的m次多项式，Qm(x)为待定的m次多项式， 如Q2)=A2+Br+C（A,B,C为待定常数)·
6 分方程. 2 求解方法 求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如 下三步: 第一步 先求出非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 所对应的齐 次线性微分方程方程 y py qy 0的通解 c y ; 第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 的含 待定常数的特解 p y ,并将 p y 代入非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 解出待定常数,进而确定非齐次方程 y py qy f (x)的一个特解 p y ; 第三步 写出非齐次线性微分方程 y py qy f (x)的通解 c p y y y . 方程 y py qy f (x)的特解 p y 的形式表 自由项 f (x)的形式 特解的形式的设法 x m f x P x ( ) ( )e 不是特征根 x p m y Q x ( )e 是特征单根 x p m y xQ x ( )e 是二重特征根 x p m y x Q x ( )e 2 ( ) ( )e cos 1 x m f x P x 或 ( ) ( )e sin 2 x m f x P x ① 令 i , 构 造 辅 助 方 程 y py qy = x m P x ( )e ②求出辅助方程的特解 1 2 y y iy p ③则 1y 是方程 y py qy ( ) 1 f x 特解 2y 是方程 y py qy ( ) 2 f x 特解 注: 表中的Pm(x)为已知的m次多项式，Qm(x)为待定的m次多项式， 如Q x Ax Bx C 2 2 ( ) （ A , B , C 为待定常数）
4.二阶线性微分方程解的结构 (1)二阶齐次线性微分方程解的叠加原理 如果函数y和，是齐次线性微分方程的两个解，则函数 y=Cy,+C2y2也是方程y”+p(x)y'+qx)y=0的解；且当y与，线性无关 时，y=Cy+C2y,就是方程的通解（其中C,C,是任意常数)· (2)非齐次线性微分方程解的叠加原理 如果函数yn为非齐次线性微分方程y"+px)y'+q(x)y=f(x)的一个 特解，为齐次线性微分方程y+p(x)y'+q(x)y=0的通解，则y=+yp 为该非齐次线性微分方程的通解. (3)非齐次线性微分方程解的分离定理 如果y是方程y+py+9少=(x)的解，是方程y”+py+q少=(x) 的解，则y=y+⅓，是方程 y"+py'+qv=f(x)+f(x) 的解
7 4. 二阶线性微分方程解的结构 （1）二阶齐次线性微分方程解的叠加原理 如 果 函 数 1 y 和 2 y 是 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 两 个 解 ， 则 函 数 1 1 2 2 y C y C y 也是方程 y p(x) y q(x) y 0的解；且当 1 y 与 2 y 线性无关 时， 1 1 2 2 y C y C y 就是方程的通解（其中 1 2 C ,C 是任意常数）. ⑵ 非齐次线性微分方程解的叠加原理 如果函数 p y 为非齐次线性微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 的一个 特解， c y 为齐次线性微分方程 y p(x) y q(x) y 0的通解，则 c p y y y 为该非齐次线性微分方程的通解. ⑶ 非齐次线性微分方程解的分离定理 如果 1 y 是方程 ( ) 1 y py qy f x 的解， 2 y 是方程 ( ) 2 y py qy f x 的解，则 1 2 y y y 是方程 ( ) ( ) 1 2 y py qy f x f x 的解
5. 高阶微分方程的降阶法 方程的 引入y的形式 降阶后的方程 形式 y"=f(x,y) 设y=px,y=p'() p(x)=f(x,p(x)) 设 y'=p(y), 则 dp y"=f(y,y) p ay =f(y,p) y"= dy'dp dy dp D dx dy dx dy y(m)f(x) 对方程ym=f)两边逐次积分n次，即可得到该 方程的通解 二、主要解题方法 1.一阶微分方程的解法 例1求微分方程dy+dr=y2dr+dy满足条件=o=2的特解。 解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 两边积分，得∫w=∫， 求积分得22-=r-+C,1p2-=nr-2+2C, y2-=(x-102e26,y2-1=e2c(x-102
8 5. 高阶微分方程的降阶法 方程的 形式 引入 y的形式 降阶后的方程 y f (x, y) 设 y p(x), y p(x) p(x) f (x, p(x)) y f ( y, y) 设 y p( y), 则 y p p x y y p x y y d d d d d d d d ( , ) d d f y p y p p ( ) ( ) y f x n 对方程 ( ) ( ) y f x n 两边逐次积分n次，即可得到该 方程的通解 二、主要解题方法 1．一阶微分方程的解法 例 1 求微分方程 xydy dx y dx ydy 2 满足条件 2 y x0 的特解. 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 x x y y y d 1 1 d 1 2 ， 两边积分，得 y y y d 1 2 x x d 1 1 ， 求积分得 1 2 ln 1 ln 1 2 1 y x C ， 1 2 2 ln y 1 ln(x 1) 2C ， 1 2 2 2 1 ( 1) e C y x ， 2 2 2 1 e ( 1) 1 y x C
记±e26=C≠0，得方程的解y2-1=C(x-1)2. 可以验证C=0时，y=±1，它们也是原方程的解，因此，式 y2-1=c(x-)2中的c可以为任意常数，所以原方程的通解为 2-1=Cx-1)2(c为任意常数). 代入初始条件x0=2得C=3,所以特解为y2-1-3x-1)2. 例2求微分方程(1)y=y,(2)y-2xy=ecosx的通解. y+r y (1)解一 原方程可化为少=x,令“=上， dx y+1 u+xdu=u 则 du+，即 u=dr 4+1 ，两边取积分 分+=-， 积分得上-lnu=nx-lnc,将u=y代入原方程，整理得原方程的通解为 y=Ce(c为任意常数). 解二原方程可化为血-Ix=1为一阶线性微分方程，用常数变 dy v 易法.解原方程所对应的齐次方程-上x=0,得其通解为x=cy. dy y 设x=C)y为原方程的解，代入原方程，化简得C'y=1, C)-ine 所以原方程的通解为， 即y=CeF(c为任意常数). (2)解一原方程对应的齐次方程 -2y=0分离变量，得 dx dy=2xy, dx dy=2xd水， y 9
9 记 e 0 1 2 C C ，得方程的解 2 2 y 1 C(x 1) . 可以验证 C 0 时， y 1 ，它们也是原方程的解，因此，式 2 2 y 1 C(x 1) 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 2 2 y 1 C(x 1) （C 为任意常数）. 代入初始条件 2 y x0 得 C 3，所以特解为 2 2 y 1 3(x 1) . 例 2 求微分方程（1） y x y y ，（2） y xy x x 2 e cos 2 的通解. （1）解一 原方程可化为 1 d d x y x y x y ，令 x y u ， 则 d 1 d u u x u u x ， 即 x x u u u d d 1 2 ， 两 边 取 积 分 x x u u u d 1 )d 1 1 ( 2 ， 积分得 u x C u ln ln ln 1 ，将 x y u 代入原方程，整理得原方程的通解为 y x y Ce （C 为任意常数）. 解二 原方程可化为 1 1 d d x y y x 为一阶线性微分方程，用常数变 易法.解原方程所对应的齐次方程 0 1 d d x y y x ，得其通解为 x C y . 设 x C( y) y 为原方程的解，代入原方程，化简得 C( y) y 1 ， 1 ( ) ln C y C y ， 所以原方程的通解为 1 ln C y y x ，即 y x y Ce （C 为任意常数）. （2）解一 原方程对应的齐次方程 2 0 d d xy x y 分离变量，得 xy x y 2 d d ， x x y y 2 d d
两边积分，得∫g=2d,v=+C, In y=Ine*+InC=In(Ce*),y=Ce*, 用常数变易法.设y=C(x)er代入原方程，得C'(x)er=e*cosx, C'(x)=cosx, C(x)=[cosxdx=sinx+C, 故原方程的通解为y=er(sinx+C)（c为任意常数). 解二这里Px)=-2xr,Q(x)=ecosx代入通解的公式得 y=e (fe+C) =e(fecosx·edr+C)=e(cosxdx+C)=e'(sinr+C（c为任意常 数). 小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易 法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形 式y+Pxy=Q,也可直接利用公式y=ea地O(x)ePa咖dr+C)求 通解。 2.可降阶的高阶微分方程 例3求微分方程xy+xy=1的通解. 解方程中不显含未知函数，令少=P,=斯，代入原方程 得xdP+xp=l, dx dP+Lp= dx x 日，这是关于未知函数P的一阶线性微分方程，代入常 数变易法的通解公式，所以 o
10 两边积分，得 x x y y 2 d d ， y x C 2 ln ， ln ln e ln ln( e ) 2 2 x x y C C ， 2 e x y C ， 用常数变易法.设 2 ( )e x y C x 代入原方程，得 C x x x x ( )e e cos 2 2 ， C(x) cos x， C x x x x C ( ) cos d sin ， 故原方程的通解为 e (sin ) 2 y x C x （C 为任意常数）. 解二 这里P(x) 2x ，Q x x x ( ) e cos 2 代入通解的公式得 e ( e cos e d ) 2 d 2 2 d y x x C x x x x x = e ( e cos e d ) 2 2 2 x x C x x x = e ( cos d ) 2 x x C x =e (sin ) 2 x C x （C 为任意常 数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易 法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形 式 y P(x) y Q(x)，也可直接利用公式 y Q x x C P x x P x x e ( ( ) e d ( )d ( )d ）求 通解. 2.可降阶的高阶微分方程 例 3 求微分方程 1 3 2 x y x y 的通解. 解 方程中不显含未知函数 y ，令 y P， x P y d d ，代入原方程， 得 1 d 3 d 2 x P x P x ， 3 1 1 d d x P x x P ，这是关于未知函数P(x) 的一阶线性微分方程，代入常 数变易法的通解公式，所以