《高等数学》课程教学资源（单元测试解答）第十一章 常微分方程 习题四 二阶常系数非齐次分方程

习题四二阶常系数非齐次分方程 1用待定系数法求微分方程 "+4y'+4y=(x2+1)e2x 的一个特解时，应设特解的形式 为 A》,=(+br+ce2 C B.Yp=x(ax+bx+c)e CC=x(ax+bx+c)e C D.=x(ax+bx+c)e 2.求非齐次方程y"+3y'+2y=2x2+1的一个特解为 Ay=x2+3x+4 B.y=x2-3x-4 0c.y=x2-3x-1 0D.y=x2-3x+4 3.求微分方程为y”-2y'-3y=(x+2e2“的一个特解为 1.8 yp=(-x+8e2x 18 A 391 0nyp=(-x-8)e2 B 3 91 13 0c,=(3+i2 13 21 0D,=( x-2)e2x 2 1 y"-2y'+y=-e 4.求 Γ2°的通解为 C=(Ci+Ce+ C By=(C+C:e*+x 2 =(C++e C p

习题四 二阶常系数非齐次分方程 1. 用待定系数法求微分方程 的一个特解时，应设特解的形式 为 ． A. B. C. D. 2．求非齐次方程 的一个特解为_____________． A. B. C. D. 3．求微分方程为 的一个特解为___________． A. B. C. D. 4．求 的通解为____________． A. B. C. D. x y y y x 2 2 4 4 ( 1)e        2 2 ( )e x p y ax bx c     2 2 ( )e x p y x ax bx c     2 2 2 ( )e x p y x ax bx c    x p y x ax bx c 2 2 2 ( )e     x y y y x 2   2   3  (  2)e x p y x 2 )e 9 8 3 1  (  x p y x 2 )e 9 8 3 1  (  x p y x 2 )e 2 3 3 1  (  x p y x 2 )e 2 3 3 1  (  x y y y e 2 1   2    x x y C C x x e 4 1 ( )e 2  1  2  x x y C C x x e 2 1 ( )e 2  1  2  x x y C C x e 4 1 ( )e  1  2 

1.D.解2=-2是y"+4y'+4y=0所对应的特征方程的重根，所以 yp=x(ax2+bx+c)e-2x. 2.D.解因为微分方程y”+3y'+2y=2x2+1的自由项f(x)=P(x)e=2x2+1中的 1=0不是特征方程r2+3r+2=0的根.因此，应设特解的形式为y=ax2+bx+c（其 中a,b,c为待定系数)，将其代入非齐次微分方程y”+3y'+2y=2x2+1中，整理化 2a=2 简得2ar2+(6a+2b)x+2a+3b+2c=2x2+1比较系数得 6a+2b=0, 解之 2a+3b+2c=1, 得a=1,b=-3,c=4.则y=x2-3x+4所给微分方程的一个特解. 3.B.解齐次微分方程所对应特征方程为2-2r-3=0, 特征根为r=-1,乃2=3.入=2不是特征方程的根. 则设非齐次微分方程y"-2y'-3y=(x+2)e2x的特解为 p=(Ax+B)e*, 代入原方程，整理得-3Ax+2A-3B=x+2, 1 -3A=1, 从而得 A3 则{ 2A-3B=2, B=- 9 1 即yp=（-3x-。)e2x为方程的特解. 4.A.解：齐次微分方程为y”-2y'+y=0,特征方程为r2-2r+1=0, 则特征根r2=1,齐次微分方程的通解为y。=(C1+C2x)e, 入=1是特征方程的重根，设y。=bre, 1 1 代入整理得6=存，即y,=4e, 方程的通解为y=(C,+C,xe*+xe(C,C,均为常数

1.D．解   2 是 y   4y   4y  0 所对应的特征方程的重根，所以 2 2 2 ( )e x p y x ax bx c     ． 2. D．解 因为微分方程 3 2 2 1 2 y   y   y  x  的自由项 x f x P x  ( )  ( )e ＝ 2 1 2 x  中的   0 不是特征方程 3 2 0 2 r  r   的根．因此，应设特解的形式为 y  ax  bx  c 2 （其 中 a ， b ，c 为待定系数），将其代入非齐次微分方程 3 2 2 1 2 y   y   y  x  中，整理化 简得 2 (6 2 ) 2 3 2 2 1 2 2 ax  a  b x  a  b  c  x  比较系数得 2 2, 6 2 0 , 2 3 2 1, a a b a b c            解之 得 a ＝1， b  3，c ＝4. 则 3 4 2 y  x  x  所给微分方程的一个特解． 3. B．解 齐次微分方程所对应特征方程为 2 3 0 2 r  r   , 特征根为 1, r1   r2  3．  2 不是特征方程的根． 则设非齐次微分方程 x y y y x 2   2   3  (  2)e 的特解为 x y p  (Ax  B)e ， 代入原方程，整理得 3Ax  2A3B  x  2， 从而得 3 1, 2 3 2, A A B        则          , 9 8 , 3 1 B A 即 x p y x 2 )e 9 8 3 1  (  为方程的特解． 4.A．解：齐次微分方程为 y   2y   y  0 ，特征方程为 2 1 0 2 r  r   ， 则特征根 1 r1,2  ， 齐次微分方程的通解为 x c y (C C x)e  1  2 ，  1 是特征方程的重根，设 2 e x p y bx  ， 代入整理得 4 1 b  ，即 x p y x e 4 1 2  ， 原方程的通解为 x x y C C x x e 4 1 ( )e 2  1  2  （ 1 2 C ,C 均为常数）．