第三章 线性方程组 目录 3.1线性方程组和高 (Gauss)消元法 3.2n维向量组及向量组的线性组合 即3.3向量组的线性相关性 3.4向量组的秩 3.5向量空间 3.6齐火线性方程组解的结构 3.7非齐次线性方程组解的结构 3.8应用举例 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司
第三章 线性方程组 □ 3.1 线性方程组和高（Gauss）消元法 □ 3.2 维向量组及向量组的线性组合 3.3 向量组的线性相关性 □ 3.4 向量组的秩 □ 3.5 向量空间 □ 3.6 齐次线性方程组解的结构 □ 3.7 非齐次线性方程组解的结构 □ 3.8 应用举例 目录 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 n
本节授裸计划 水人 (2课时) 尚本 必复习 必新课 3.3向量组的线性相关性(2) 第二十二次课 3.3,2线性相关性的判定 ,(续) 小结 必思考题及答案提示 必练习、作业及参考答案 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司
快乐学习 以人 为本 ❖复习 ❖新课 3.3 向量组的线性相关性(2) 3.3.2 线性相关性的判定（续） ❖小结 ❖思考题及答案提示 ❖练习、作业及参考答案 第 二 十 二 次 课 本节授课计划（2课时） 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组
水人 3.3.2 线性相关性的判定 尚本 主题调 1.线性相关 2.线性无关 3.截短向量 4.接长向量 返回 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司
快乐学习 以人 为本 主 题 词 3.3.2 线性相关性的判定 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 1.线性相关 2.线性无关 3.截短向量 4.接长向量 返回
相关内容回预 水人 尚本 定义3.3.1对于向量组a,a,,&m,若存在 m 个不全为零的数k,k,,km使得 ka+kQ2十…+knam=0 线性相关 则称向量组4,2，，m线性相关 线性无关 反过来，如果对于数k,k2,…,km, k04+k0&2+…+kmm=0台k=k2=…=km=0, 就称向量组a,a,,a&n线性无关 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
快乐学习 以人 相关内容回顾 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 线性相关 线性无关 m , , , 1 2 m m k , k , , k 1 2 定义3.3.1 对于向量组 ，若存在 个不全为零的数 使得 k1 1 + k2 2 ++ km m = 0 则称向量组 m , , , 1 2 线性相关 . 反过来，如果对于数 m k , k , , k 1 2 ， k1 1 + k2 2 ++ km m = 0 k1 = k2 == km = 0 , 就称向量组 m , , , 1 2 线性无关
水人 新课 3.3.2 线性相关性的判定1 幸 继续讨论线性相关的判定 定理3.3.4 向量组c4,a,,an0m≥2)线性相关的 充分必要条件是其中有一个向量可以由其余向量 线性表示. 证明（必要性) 若向量组a,a2,,anm线性相关， 则存在m个不全为零的数k,k2,,无m,使得 kQ+k2Q2+…+km0nm=0 (3.3.3)） 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快东学司
以人 新课 3.3.2 线性相关性的判定 1 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 m , , , 定理3.3.4 向量组 1 2 (m 2) 充分必要条件是 线性表示. m , , , 证明 (必要性) 若向量组 1 2 则存在 m 个不全为零的数 线性相关的 其中有一个向量可以由其余向量 线性相关， m k , k , , k 1 2 ，使得 0. k1 1 + k2 2 ++ km m = （3.3.3） 继续讨论线性相关的判定
水人 新课 3.3.2 线性相关性的判定2 幸 不妨设k≠0，由式(33.3)移项得， kd =-ko-k42..-k;4kis.kmom 即 k20 k k k 这说明a,可以由其余向量线性表示 (克分性)已知向量组，g,s,&m中有一个向量 可以由其余向量线性表示，不妨设向量a可由其余 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快东学司
以人 新课 3.3.2 线性相关性的判定 2 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 不妨设 0 i k ，由式（3.3.3）移项得， i i i i i i m m k = −k1 1 − k2 2 −− k −1 −1 − k +1 +1 −− k ， 即 . 1 1 1 1 2 2 1 1 m i m i i i i i i i i i k k k k k k k k k k = − − − − − + − − + − − 这说明 i 可以由其余向量线性表示. m , , , （充分性） 已知向量组 1 2 中有一个向量 可以由其余向量线性表示，不妨设向量 1 可由其余
0人 新课 3.3.2 线性相关性的判定3 幸 向量线性表示，即令 Q1=k02+…+km 移项整理得 (l)01+kQ2+.+knQm=0, 因为1，k2,,km不全为零，所以向量组 ,02,,Qnm 线性相关 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 3.3.2 线性相关性的判定 3 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 向量线性表示，即令 m m 1 = k2 2 ++ k ， 移项整理得 (−1)1 + k2 2 ++ km m = 0 , m 1, k , , k − 2 m , , , 1 2 因为 不全为零，所以向量组 线性相关
0人 新课 3.3.2 线性相关性的判定4 幸 定理33.4的逆否命题为： 向量组a,a2,,amm≥2)线性无关的充分必要条 件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示， 定理3.3.4揭示了线性相关与线性表示这两个 概念之间的深刻联系值得注意的是，向量组线性 相关并不意味着向量组内任一个向量都能由其余 向量线性表示，而只能保证向量组内至少有某 向量能由其余向量线性表示. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 3.3.2 线性相关性的判定 4 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 m , , , 1 2 (m 2) 定理3.3.4的逆否命题为： 向量组 线性无关的充分必要条 件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示. 定理3.3.4揭示了线性相关与线性表示这两个 概念之间的深刻联系.值得注意的是，向量组线性 相关并不意味着向量组内任一个向量都能由其余 向量线性表示，而只能保证向量组内至少有某一 向量能由其余向量线性表示
0人 新课 3.3.2 线性相关性的判定5 尚幸 定理33.5证明线性无关向量组的任何部分组也 线性无关. 证明 设向量组a&,a,,a,线性无关，不妨设 a,a2,,a,t<m)线性相关，故有一组不全为零的数 k,k2,…,k,使得 k01+k2Q2+…+k,0,=0, 从而有 k01+k202+…+k,Q,+00+1+…+00m=0 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 3.3.2 线性相关性的判定 5 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 定理3.3.5 证明线性无关向量组的任何部分组也 线性无关. m , , , 1 2 t , , , 1 2 证明 设向量组 线性无关，不妨设 (t m) t k , k , , k 1 2 线性相关，故有一组不全为零的数 ，使得 k1 1 + k2 2 ++ kt t = 0 ， 从而有 k1 1 + k2 2 ++ kt t + 0t+1 ++ 0 m = 0
水人 新课 3.3.2 线性相关性的判定6 幸 因为k,k2,,k,不全为零，所以k,k2,,k,0,一，0 也不全为零，所以向量组a,a,,am线性相关。 这与向量组a,a2,,am线性无关的假设相矛盾 故a4,g,,c,线性无关 该定理的逆否命题为：若向量组中有一部分 向量线性相关，则整个向量组线性相关， 可简单叙述为：部分相关，整体相关，整体 无关，部分无关 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 3.3.2 线性相关性的判定 6 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 t k , k , , k 因为 1 2 不全为零，所以 k1 , k2 , , kt ,0, ,0 也不全为零，所以向量组 m , , , 1 2 m , , , 这与向量组 1 2 线性无关的假设相矛盾. 故 t , , , 1 2 线性无关. 线性相关. 该定理的逆否命题为：若向量组中有一部分 向量线性相关，则整个向量组线性相关. 可简单叙述为：部分相关，整体相关；整体 无关，部分无关