第一章 函数与极限 高等数学少学时 第五节晶数极限的运笄 一、极限的运算法则 二、复合函数的极限 北京邮电大学出版社
1 第五节 函数极限的运算 一、极限的运算法则 二、复合函数的极限
第一章 函数与极限 高等数学少学时 一、极限的运算法则 在下面的讨论中省去x→x,x→oo等极限过程，用符号im 表示任一极限过程. 定理1如果Iimf(x)=A,limg(x)=B,则 ()lim[f(x)±g(x】=limf(x)士img(x)=A±B; (2)lim f(x)g(x)=lim f(x).lim g(x)=A.B; (3)若B≠0，则1im f(x)limf(x)A g(x)limg(x)B 北京邮电大学出版社 2
2 一、极限的运算法则 在下面的讨论中省去 x → x0 , x → 等极限过程,用符号lim 表示任一极限过程. 定理1 如果lim f (x) = A,lim g(x) = B, 则 (1) limf (x) g(x)= lim f (x) lim g(x) = A B; (2) lim f (x)g(x) = lim f (x)lim g(x) = AB; ( ) ( ) ( ) ( ) . lim lim (3) 0, lim B A g x f x g x f x 若B 则 = =
第一章 函数与极限 高等数学少学时 证这里只证明（1). 因为imf(x)=A,img(x)=B,由极限与无穷小的关系知， f(x)=A+a(x),g(x)=B+B(x), 其中a,是无穷小.于是 f(x)±g(x)=(A+a)t(B+B)=(A±B)+(a±B) 由无穷小的运算性质知±B是无穷小，所以(1)式成立. 注①定理1中()、(2)可以推广到有限个函数的情形 ②如果imf(x)=A,则imgf(x)=cA,c为常数 ③如果imf(x)=A,则imf(x)r=imf(x)",n∈N. ④定理1对于数列极限也成立 北京邮电大学出版社 3
3 证 这里只证明（1）. 因为lim f (x) = A,lim g(x) = B, 由极限与无穷小的关系知， f (x) = A+(x), g(x) = B+ (x), 其中α，β是无穷小.于是 f (x) g(x) = (A+) (B+ ) = (A B)+ ( ) 由无穷小的运算性质知 是无穷小,所以(1)式成立. 注 ② 如果 lim f (x) = A, 则limcf (x) = cA, c为常数. 如果 lim f (x) = A, lim[ f (x)] [lim f (x)] ,n N. n n ③ 则 = ① 定理1中(1)、(2)可以推广到有限个函数的情形. ④ 定理1对于数列极限也成立
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例1求极限lim(x3+2x2-3 解 e3+2x2-3)=imx2+21imx2-3=8+8-3=1B. X→2 x→2 例2求极限im x3+2x2-3 x→2 x-3 解lim(x-3)=-1≠0 x2 .'.lim x3+2x2-31 (e2+2x2-3) 13 -13. x+2 x-3 lim(w-3) -1 注设P(x)=ax”+x"-1+…+an-1x+r 2(x)=bxm+bxm-1+…+bn-1x+bnm,则 imp(x)=aooa+d=p(o) 北京邮电大学出版社 4C
4 lim ( 2 3 ) 3 2 2 + − → x x x lim 2lim 3 2 2 3 2 = + − → → x x x x 解 = 8 + 8 − 3 = 13 . lim ( 2 3 ). 3 2 2 + − → x x 例 x 1 求极限 注 1 0 1 1 ( ) , m m Q x b x b x b x b n m − = + + + + − ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 lim n n n n x x P x a x a x a x a P x − − → = + + + + = ， lim ( 3 ) 1 0 2 − = − → x x . 3 2 3 lim 3 2 2 − + − → x x x x 求极限 3 2 3 lim 3 2 2 − + − → x x x x 例 2 解 ( ) lim ( 3 ) lim 2 3 23 2 2 − + − = → → x x x x x 13 . 1 13 = − − = 1 0 1 1 ( ) n n P x a x a x a x a n n − 设 = + + + + − ， 则
第一章 函数与极限 高等数学少学时 P(x) lim P(x)P(xo) lim x→x0 (2(x)≠0). x→x( 2(x)-Iim2(x)2(x) 例3求极限①i x-3 ②)lim Wx+1-1 3) lim +3 x 3x2-9' x→0 X →1 x2-11 x-3 x-3 1 1 解（四四文-9 lim (c-3x+3) lim x→3X+3 6 (2)当≠0时， lim Vx+1-1 =im+-x++l x→0 X x→0 x+1+) x 1 1 =x+1+可 lim x0x+1+1 2 北京邮电大学出版社 5
5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim ( ( ) 0). lim x x x x x x P x P x P x Q x Q x Q x Q x → → → = = . 1 3 3 lim 1 1 2 lim 9 3 1 lim 2 0 1 2 3 − + − + − − → → → x x x x x x x x x 求极限（） ， （） ， （） = − − → 9 3 (1) lim 2 3 x x x 例3 解 ( )( ) = − + − → 3 3 3 lim 3 x x x x 6 1 3 1 lim 3 = x→ x + (2) 当x≠0时， x x x 1 1 lim 0 + − → ( 1 1) lim 0 + + = → x x x x ( )( ) ( 1 1) 1 1 1 1 lim 0 + + + − + + = → x x x x x . 2 1 1 1 1 lim 0 = + + = → x x
第一章 函数与极限 高等数学少学时 x2-1 (3).lim ling(21) 1X+3 c+3 =0, X+3 .'lim mx2-1 0. 注①对于分母极限为零并且分子极限也是零的分式函数消 去“致零因子”再运用极限的运算法则. ②分母极限为零而分子极限不为零时，由无穷小与无穷大 的关系，分式的极限为oo. 北京邮电大学出版社 6
6 3 1 (3) lim 2 1 + − → x x x ( ) lim( 3) lim 1 1 2 1 + − = → → x x x x = 0, . 1 3 lim 2 1 = − + → x x x 注 ① 对于分母极限为零并且分子极限也是零的分式函数消 去“致零因子”再运用极限的运算法则. ② 分母极限为零而分子极限不为零时，由无穷小与无穷大 的关系，分式的极限为∞
第一章函数与极限 高等数学少学时 例4求下列极限 ()im 2-3x+1 ，(2)lim x2-4x+3 2x3+3x+5 x-0x2-2x 2.x3+3r+5,3)1im x-→0x2-4x+3 解(1)将分子分母同除以分母中x的最高次幂x,得 3 x2-3x+1 1- lim lim =1. 0 x2-2x x-)00 2 1- x (2)将分子分母同除以x,得 14 3 x2-4x+3 lim lim 2 x0∞2x3+3x+5 x-→00 3 5 2+ 北京邮电大学出版社 7
7 解 例4 求下列极限 . 4 3 2 3 5 ,(3)lim 2 3 5 4 3 ,(2)lim 2 3 1 (1)lim 2 3 3 2 2 2 − + + + + + − + − − + → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 1 lim 2 2 − − + → (1) 将分子分母同除以分母中x的最高次幂x 2，得 1. 2 1 3 1 1 lim 2 = − − + = → x x x x (2) 将分子分母同除以x 3，得 2 3 5 4 3 lim 3 2 + + − + → x x x x x 0. 3 5 2 1 4 3 lim 2 3 2 3 = + + − + = → x x x x x x
第一章函数与极限 高等数学少学时 x2-4x+3 (3)由(2)1im x2x3+3x+5 =0,根据无穷小与无穷大的关系，得 2x3+3x+5 lim =00. x→0x2-4x+3 一般地，当o,b0时，有 0,mn 北京邮电大学出版社
8 . 4 3 2 3 5 lim 2 3 = − + + + → x x x x x (3) 由(2) 0, 2 3 5 4 3 lim 3 2 = + + − + → x x x x x 根据无穷小与无穷大的关系,得 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0, , lim , , . , m m m m n n x n n m n a x a x a x a a m n b x b x b x b b m n − − → − − + + + + = = + + + + 一般地，当a0 ,b0≠0时，有
第一章 函数与极限 高等数学少学时 二、复合函数的极限 定理2设y=fp(x是由y=f(u),u=p(x)复合而成若 ()=4,而f(=A且在x,的某一去心邻域内(x)≠a, 则 if儿o(】=imfo=A. 注()定理中imp(x)=换成Iimp(x)=o或imp(x)=o, →X0 而if(u)=A换成imf(u)=A,也有类似的定理 100 (2)当f(u)和p(x)满足定理条件时求imfp(x)可通过代换 X0 u=6来求即興rp6创品 北京邮电大学出版社
9 二、复合函数的极限 定理2 设y = f (x)是由y = f (u),u =(x)复合而成,若 lim ( ) ,而lim ( ) ,且在 0的某一去心邻域内 0 x a f u A x x x u a = = → → (x) a, 则 lim ( ) lim ( ) . 0 f x f u A x x u a = = → → 注 而lim f (u) A换 成lim f (u) A,也有类似的定理. u a u = = → → (1) lim ( ) lim ( ) lim ( ) , 0 0 = = = → → → x a x x x x x x x 定理中 换成 或 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim lim ( ). 0 lim u x f x f u u a u x x x a x x x → = → = → = ==== 来 求 即 当f (u)和 (x)满足定理条件时求 f (x)可通过代换 x x 0 (2) , lim →
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例5求极限Iim sinx x→πX一元 解 令t=x-π，当r→时，t→0，所以 lim =lim sinx sin(+z) sin t =-lim x→πX一元 t-0 =-1. t t→0 t 1 例6求极限 lim 2x sin x→00 3x 解令1=，当x→∞时，t→0，所以 3x lim 2xsin=lim 2. 2 sint 2 sint=lim 3x t→0 3t 03 t 3 北京邮电大学出版社 010C
10 . sin lim→ x − x x 例 5 求极限 解 令t = x − ,当x → 时,t → 0,所以 → x − x x sin lim ( ) tt t + = → sin lim0 = − 1 . t x t x x t sin 31 lim 2 31 lim 2 sin 0 = → → t t t sin 32 lim0 = → . 32 = 解 . 31 lim 2 sin x x 例 x → 6 求极限 令 ,当 时, 0,所以 31 = x → t → x t 0 sin limt t → t = −