第四章不定积分 高等数学少学时 第二节换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 北京邮电大学出版社
1 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章不定积分 高等数学少学时 一、第一类换元法 定理设f(W)具有原函数F(),且u=p(x)可导，则 ∫f[p(x)]p'(x)=∫f(0)du=F(u),+C 证 四.0=1p=[o(✉]因 dx du 说明 定理指明了，若要求g(x),想法把函数g(x)化为 g(x)=fp(xp'(x)的形式，凑出微分lp(x)=φ'(x)c, 故本法又称为“凑微分法”. 北京邮电大学出版社 2
2 证 = f x x ( ) ( ) ( ) dx dF u ( ) dx du du dF u = = f u x ( ) ( ) 定理 一、第一类换元法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x f x x dx f u du F u C = = = + 说明 设 f u( ) 具有原函数 F u( ), 且 u x = ( ) 可导，则 定理指明了，若要求 ( ) , g x dx 想法把函数 g(x) 化为 g(x) = f (x)(x) 的形式， 故本法又称为“凑微分法”. 凑出微分 d x x dx = ( ) ( )
第四章不定积分 高等数学少学时 例1求∫2cos2xdc. 解∫2cos2.k=∫cos2xx)k=∫cos2.xd(2.y)=sin2x+C. 例2求∫sinxcosxd. 解1 ∫sino=∫sinn=∫uh(令sinx=W 1 =sin2x+C. 2 2 u=sin x 解2∫sinx cosxd=∫cosxd(-cosx)=-∫cosxd(cosx) =-Icos'x+C. 2 北京邮电大学出版社
3 2cos2 . xdx 例 求 1 2cos 2xdx = cos2 (2 ) xd x 解 x( x) dx = + sin2 . x C = cos 2 2 sin cos . x xdx 例 求 2 解1 sin cos x xdx = sin sin xd x = = udu x u ( sin ) 令 2 sin 12 u x u C = = + 1 2 sin . 2 = + x C 解2 sin cos x xdx = − cos ( cos ) xd x 1 2 cos . 2 = − +x C = − cos (cos ) xd x
第四章不定积分 高等数学少学时 ∫sin.=分sn2c=2sim2ad2s 解3 1 cos2x+C. -2-9-与3-24c 解 例4求∫2xe”在. 解∫2.xe*dc=je(2)k=∫ek2=e+C. 北京邮电大学出版社
4 + dx 3 2 x 1 ( ) ++ = x d x 3 2 3 2 21 1 ln 3 2 . 2 = + + x C 1 . 3 2 dx + x 例 求 3 解 ( ) + + = xx dx 3 2 3 2 21 xe dx x2 2 = 2 2 e dx x 2 . x = + e C 2 2 . x xe dx 例 求 4 解 e (x ) dx x = 2 2 解 3 sin cos x xdx 1 sin 2 2 = xdx 1 cos2 . 4 = − +x C 1 1 sin2 (2 ) 2 2 = xd x
第四章不定积分 高等数学少学时 例5求∫xV1-x. 解-小i- =-j1-gd-) 1ja-c --3a-x+C. 北京邮电大学出版社 50
5 x − x dx 2 1 = − 1 − ( 1 − ) 21 2 2 x d x = − − x 2 + C 3 2 ( 1 ) 32 21 3 2 2 1 (1 ) . 3 = − − + x C 2 x x dx 1 . − 例 求 5解 ( ) 2 2 21 1 x d − x = − −
第四章不定积分 高等数学少学时 %求十杰 1 1 2 x 解 1+ 1+ 小 d= 1 1 X arctan- +C. L L X -arctan +C L L 北京邮电大学出版社 6
6 + dx a x 2 2 1 2 1 1 ( ) 1 x d a a xa = + 1 arctan . x C a a = + 2 2 1 dx . a x + 例 求 6 解 dx ax a + = 2 2 1 1 + = 2 211 ax ax a d a C ax a dx a x = + + arctan 1 1 2 2
第四章不定积分 高等数学少学时 例7求∫tanx. 解小ans-∫在=-neos+C tan:xk=-Incos+C类似有∫cotx=Insin+C 卵灯京a>0 解 dx -( 北京邮电大学出版社 7
7 tan xdx = dx xx cos sin = − + ln cos . x C tan . xdx 例 求 7 解 − = x d x cos cos − dx a x 2 2 1 dx ax a − = 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 dx a 0 . a x − 例 求 8 解 xdx = x + C xdx = − x + C cot ln sin tan ln cos 类似有
第四章不定积分 高等数学少学时 X +C L 例9 解 j=aeas 2e+C. 北京邮电大学出版社 8
8 dx x e x 3 e d x 3 x 2 = 2 3 . 3 x = + e C 2 3 (3 ) 3 x = e d x 3 . x e dx x 例 求 9 解 arcsin . x C a = + C ax dx a x = + − arcsin 1 2 2 2 1 ( ) 1 x d a xa = −
第四章 不定积分 高等数学少学时 0 例 解 Jees=jk-ak+ dx -。 =2a（ax-d-llc+a)+c. Jx-a x-a +C x+a 北京邮电大学出版社 9
9 − dx x a 2 2 1 − + = dx (x a)( x a) 1 + − − = dx a x a x a 1 1 21( ) 1 ln ln . 2 x a x a C a = − − + + 2 2 1 dx . x a − 求 例10 解 C x a x a a dx x a + +− = − ln 2 1 1 2 2
第四章不定积分 高等数学少学时 例1判x+2n可 c 02n对J 解 d(nx) 两却 21+2a+c. 北京邮电大学出版社 10
10 ( ) x + x dx 1 2ln ( ) (ln ) 1 2ln d x x = + ( ) 1 (2ln ) 2 1 2ln d xx = + 1 (1 2ln ) 2 (1 2ln ) d xx + = + 1 ln 1 2ln . 2 = + + x C ( ). 1 2ln dx x x + 例 求 11 解