山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分 第二节 函数的求导法则

第女章 导数与微分 高等数学少学时 第二节品数的本导法则 导数的四则运算法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、隐函数的导数 五、由参数所确定的函数的导数 北京邮电大学出版社

1 第二节 函数的求导法则 一、 导数的四则运算法则 二、 反函数的求导法则 三、 复合函数的求导法则 四、 隐函数的导数 五、 由参数所确定的函数的导数

第东章 导教与微分 高等数学少学时 导数的四侧运算法则 定理1若函数u=(x)及y=v(x)在点x可导，则函数 (上(（得r()=0在点x处也导，旦 (①(u(x)±v(x)=W(x)士'(x,可以推广到有限个： (2)(u(x)-v(x)=W(x)y(x)+u(x)p'(x)片 特别地，(C(x)=Ca(x)C为常数. 3) u'(x)v(x)-u(x)v( v2(x) 2,((x)≠0) 北京邮电大学出版社 2

2 一、 导数的四则运算法则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v(x) 在 点x处也可导，且 v x u x u x  v x ,u x  v x , (  0) (1) (u(x) v(x)) = u (x)  v (x),   (2)(u(x) v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x);   ,( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2   −  =          v x v x u x v x u x v x v x u x 可以推广到有限个; (Cu(x)) = Cu (x)  特别地, C为常数. 定理1 若函数u = u(x)及v = v(x)在点x可导，则函数

第章 导数与微分 高等数学少学时 证以(uv)=dv+uv'为例，设fr(x)=(x)( 了'()=imf+ay)-fy) (x+△x)=△w+u(x) △x (x+△x)=△v+(x) 4(c+△)vx+=)v(x) △-→0 △x lim (u()+△uy(x)+△)-x)y(x) △x→0 △x lim v(x)△w+u(x)△v+△u△y △x-→0 Ar △u =v(x)lim +u(x)lim △v △u 会之+lim lim△y △x-→0△X x-→0△x Ax→0△x △-→0 =a(x)r(x)+(x)加'(x) 北京邮电大学出版社 3

3 ( ) ( ) ( ) ( ) x u x x v x x u x v x x     +  + −  = →0 lim = u  (x )v (x ) + u (x )v  (x ) ( )( ) ( ) ( ) x u x u v x v u x v x x     + + −  = → ( ) ( ) lim0 x v x u u x v u v x       + + = → ( ) ( ) lim0 v xu xv u x xu v x x x x x      0  0  0  0 ( ) lim ( ) lim lim lim → → → → = + +  设f (x) = u(x) v(x ). ( ) ( ) ( ) x f x x f x f x x   + −  = →0 lim u ( x + x ) =  u + u ( x ) v ( x + x ) =  v + v ( x ) 证 以 (uv ) = u  v + u v 为例 , 

第女章 导数与微分 高等数学少学时 例1设f(=+2cosx+h3,求f代及f2 解f'(x)=(e3+2cosx+ln3=(c）+(2cosx)'+(m3 =(3）+(2cosx)+(血3)=3x2-2sinx. r)-6-2m以-算-2 例2设y=(x+sin心)gx,求y' 解y=(c+sin.x)+(c+sinx以g -气2是+w]e+hoc+m小 北京邮电大学出版社

4 ( ) ( ) . 2 2cos ln 3 3   = + +    例1 设f x x x ，求 f x 及f 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = + 2cos + ln 3 = + 2cos + ln 3 3 3 f x x x x x 3 2sin . 2 ( ) ( ) ( ) = x − x  = + 2cos + ln 3 3 x x ( ) 2 2 3 2sin 2   =  = −   x f x x 2 . 4 3 2 = −  例 2 设y = ( x + sin x )lg x, 求 y . ( ) ( )( ) + +  解 y = x + sin x lg x x sin x lg x ( sin ). ln10 1 cos lg 2 1 x x x x x x  + +   = +

第车章 导数与微分 高等数学少学时 例3设y=x3 cos.xIn七，求y'. 解y'=(x3 cosxInx) (uvw)=u'ww+uv'w+uvw =(x3)'cosxInx+x3(cosx)'Inx+x3cosx(Inx) =3x'cosxlnx+x(-sin.x)x+xcosx.I X =3x2 cosxInx-x3 sinxInx+x2cosx 例4设y=anx,求y'. 架)上an时-()-仙e独过 cos2 x cos2x+sin2 x =sec2x 2 cos-x cos2 x 北京邮电大学出版社 5

5 例 3 cos ln , . 3 设y = x x x 求y  解 y  ( cos ln ) 3 = x x x  ( x ) cos x ln x 3 =  x (cos x ) ln x 3 +  cos (ln ) 3 + x x x  3 x cos x ln x 2 = x ( sin x )ln x 3 + − x x x 1 cos 3 +  3 x cos x ln x 2 = x sin x ln x 3 − x cos x 2 + (uvw ) = uvw + u vw + uv w  例 4 设y = tan x , 求 y  . 解 ( )   =  = xx y x cos sin tan ( ) ( ) x x x x x 2 cos sin cos sin cos  −  = x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos1 cos cos sin = = + =

第东章 导数与微分 高等数学少学时 (tanx)=secx 类似地，有 (cotx)=-cse"x 例5 设= xtanx, 求y. 1+cotx 解y-（am0+cot-xam+coty (1+cotx) (tanx+xsecx1+cotx)+xtanxcsc2x (1+cotx)》 北京邮电大学出版社 6

6 ( x) x 2 tan = sec  ( x) x 2 cot = −csc 类似地，有  . 1 cot tan y x x x y  + 设 = ，求 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 cot tan 1 cot tan 1 cot x x x x x x x y +  + − +   = ( )( ) ( ) 2 2 2 1 cot tan sec 1 cot tan csc x x x x x x x x + + + + = 例5 解

第工章 导数与微分 高等数学少学时 例6设y=secx,求y' 解y-6j-(aj小-0soa cos2 x sinx secxtanx cos2 x (secx) =secxtanx 类似地有 (cscx)--csexcotx 北京邮电大学出版社 07

7 ( ) ( ) x x x 2 cos 1 cos 1 cos  −   = x x x x sec tan cos sin 2 = = (secx) = secx tan x  类似地有 (csc x) = −csc x cot x  例6 设y = secx, 求y  . 解 ( )        =   = x y x cos 1 sec

第女章 导数与微分 高等数学少学时 二、反函数的求导法则 定理2如果函数=f(y)在某区间亚，内单调、可导且 '(y)≠0，则它的反函数=()在对应的区间内也可导，且 y 或 d d 少y 证x∈I,给x一增量△x(△x≠0，x+△x∈Ix)则有Ay≠0， 由y=f(x)的连续性知，x→0时，△y→0.则有 1 1 lim y lim lim △x→0 △x △x→0 △x △y-0△x f'(y) y y 北京邮电大学出版社

8 二、 反函数的求导法则 如果函数x = f ( y)在某区间I y 内单调、可导且 f ( y)  0,则它的反函数y = f −1 (x)在对应的区间I x内也可导,且 定理2  ( ) f ( y) f x  =  −1 1 dy dx dx dy 1 = 或 , x x I ( 0, ), x 给x一增量x x  x + x I 则有y  0, x y x    →0 lim y x x   =  → 1 lim 0 . ( ) 1 f  y = 证 y y x   =  → 1 lim 0 ( ) 0 0. 由y = f −1 x 的连续性知，当x → 时 ，y → 则有

第东章 导数与微分 高等数学少学时 例7设y=(a>0,a≠1)，求y'. 解因为y=a是x=l0gy的反函数，而x=l0gJ在0，+oo)内 单调可华，且e=。所以 gae'ha yIna (a)-ama 特别地 (e)=e 北京邮电大学出版社

9 例7 y = a (a  0,a  1), y  . 设 x 求 解 ( )   = x y a (a ) a a x x = ln  特别地 ( )  = y a log 1 y ln a 1 1 = y lna a lna. x = = ( ) x x e = e  因 为y = a x 是x = loga y的反函数， ( ) 0, ln 1 log =   y a ya 而x = loga y在（0,+ ）内 单调可导，且 所以

第章 导数与微分 高等数学少学时 例8求y=arcsinx的导数 解 因为y=arcsin x,是x=siny的反函数，而c=siny 在(-7，牙)内单调、可导，且c0sy>0,则 2’2 mm时 cosy-V1x an)=己文 类似地，可推出 (arctanx)= 1+x2 (arccotx)-- 1+x2 北京邮电大学出版社 010

10 例8 在 )内单调、可导， 2 , 2 (   − 且cos y  0, 求 y = arcsin x 的导数. 解 因为y = arcsin x, 是 x = sin y的反函数，而x = sin y 则 ( )  arcsin x ( )  = sin y 1 cos y 1 = . 1 1 2 − x = ( ) 2 1 1 arcsin x x − =  ( ) 1 1 arccos 2 x x − = −  ( ) 2 1 1 arctan x x + =  ( ) 2 1 1 arc cot x x + = −  类似地，可推出