第一章 函数与极限 高等数学少学时 第六节无穷小量的比鞭 一、无穷小量比较的概念 二、等价无穷小量的性质 北京邮电大学出版社
1 第六节 无穷小量的比较 一、无穷小量比较的概念 二、等价无穷小量的性质
第一章函数与极限 高等数学少学时 一、无穷小量比较的概念 在同一极限过程中，两个无穷小的和、差、积仍为无穷小 那么两个无穷小的商是否为无穷小？请看下面的例子. 当x→0时，3x,x2,simx都是无穷小而 x2 lim=0, 3x sinx 1 lim x30 3x x→0 3x 3 两无穷小之比的极限环同情况反映了不同的无穷小纡零的 “快慢”程度的差别 在x→0的过程中x2趋于0的速度比3x趋于0的速度“快些” 反过来3x趋于0的速度比x趋于0的速度“慢些”而six与3x趋 于0的速度“快慢相仿这种“速度”的比较的无穷小的比较 北京邮电大学出版社
2 一、无穷小量比较的概念 当x → 0时,3x, x 2 ,sin x都是无穷小,而 0, 3 lim 2 0 = → x x x , 3 lim 2 0 = → x x x 3 1 3 sin lim 0 = → x x x 两无穷小之比的极限的不同情况,反映了不同的无穷小趋于零的 0 , 0 3 0 . 在 x → 的过程中 x 2 趋 于 的速度比 x趋 于 的速度“快些” 3 0 0 . 反过来 x趋 于 的速度 比 x 2 趋 于 的速度“慢些”而sin x与3x趋 这种“速度”的比较称为无穷小的比较. “快慢”程度的差别. 在同一极限过程中，两个无穷小的和、差、积仍为无穷小. 那么两个无穷小的商是否为无穷小?请看下面的例子. 于0的速度“快慢相仿
第一章 函数与极限 高等数学少学时 定义设lima=0,limB=0,且a≠0. =0,则称B是比a高阶的无穷小，记作B=o (①)如果im (2)如果im P=0,则称B是比a低阶的无穷小； (3)如果im =c≠0，则称月与x同阶的无穷小 0 (4)如果im =c≠0，k>0,则称B是关于a的k阶无穷才 (5)如果im =1, 则称P与a是等价无穷小，记作B~a. 0以 北京邮电大学出版社 3
3 (1) lim = 0, 如果 (2) lim = , 如果 (3) lim = c 0, 如果 (4) lim = c 0,k 0, k 如果 (5) lim = 1, 如果 定义 设lim = 0,lim = 0,且 0. 则称 是比 高阶的无穷小，记作 = o(); 则称 是比 低阶的无穷小； 则称 与 同阶的无穷小； 则称 是关于 的k阶无穷小； 则称 与 是等价无穷小，记作 ~
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例1当x→0时，1-c0s七，七，x,x2均为无穷小比较下列各对 无穷小N-c0sx与x,1-c0sx与x2,1-cosx与2 X 解，lim 1-cosx 2sin2 sin lim 2 =lim 2 =0 x-→0 X x>0 x -→0 x 2 ∴.1-cosx是比x高阶的无穷小，即-cosx=o(x) 2sin2x 1-cosx lim 2 lim x>0 2 =lim →0 x2 2 x→0 2 2 .1-c0sx是与x同阶的无穷小 北京邮电大学出版社
4 . 2 1 0 ,1 cos , , , 当x → 时 − x x x 2 x 2 均为无穷小 . 2 1 1 cos ,1 cos ,1 cos 2 2 无穷小 − x与x − x与x − x与 x 1−cos x是比x高阶的无穷小，即1−cos x = o(x). 1 cos . − x是与x 2 同阶的无穷小 = − → x x x 1 cos lim 0 = → x x x 2 2sin lim 2 0 2 2 sin 2 sin lim 0 x x x x → = 0 = − → 2 0 1 cos lim x x x = → 2 2 0 2 2sin lim x x x 2 2 2 0 2 2 sin lim → x x x 2 1 = 例1 比较下列各对 解
第一章 函数与极限 高等数学少学时 1一c0Sx 2sin2 2 sin lim =lim 2 = lim x>0 x2/2 x→0 x2/2 x→0 :1-c0s是与同阶的无穷小 )》 例2证明当→0时，sin2x~2x,anx~x. 证由im sin 2x x→0 2x =1,即知当r→0时，sin2x~2x. 由im x lim x.lim cosx=1, x-→0 tanx x-0 sinx x-0 即知当→0时，anx~x. 北京邮电大学出版社
5 例 2 证明当x → 0时，sin 2 x ~ 2 x,tan x ~ x. 证 1, 2 sin 2 lim0 = → x x x 由 即知当x → 0时， x x x tan lim→0 由 即知当x → 0时，tan x ~ x. lim cos 1 , sin lim0 0 = = → → x x x x x sin 2 x ~ 2 x . . 2 1 cos 2 是 与 同阶的无穷小 x − x = − → 2 1 cos lim 2 0 x x x = → 2 2 2sin lim 2 2 0 x x x 2 2 2 0 2 sin lim → x x x = 1
第一章 函数与极限 高等数学少学时 二、等价无穷小量的性质 定理1B与w是等价无穷小的充分腰条件是B=a+o(a) 证必要性 设ac则m8.2=m名-刂=im&-1=0 .B-=o(,即B=o+o() 充分性 陵-a+dd则m县-mt@=m+e)-1 ∴B. 北京邮电大学出版社 6
6 二、等价无穷小量的性质 设～β,则 证 定理1 与是等价无穷小的充分必要条件是 = + o(). 必要性 = − − lim lim 1 lim − 1 = = 0 − = o(),即 = + o(). 设 = + o(),则 ( ) + o lim = lim ( ) = + o lim 1 = 1, ～ . 充分性
第一章 函数与极限 高等数学少学时 定理2设a~a'B~B'且limB存在则lim=lim B' x 证m&-n层g】-m号 a' ' =lim B a'1 例3求下列极限0lim tan 4x 1-cosx ②)lim x→0sin5x x0x3+2x2 解 (1).当x→0时，tan4x4x,sin5x5x, tan 4x li 4x 4 ∴.lim x0 sin5x x→0 5x 5 北京邮电大学出版社 7
7 设 ～ , ～ 且lim 存在, αβ α α β β lim lim . 则 = = lim lim = lim lim lim lim . = 定理 2 证 . 54 54 lim sin 5 tan 4 lim0 0 = = → → xx xx x x . 2 1 cos 2 lim sin 5 tan 4 1 lim 3 2 0 0 x xx xx x x +− → → 例 3 求下列极限（） ，（ ） 解 (1) 当x → 0 时, tan 4 x～4 x, sin 5 x～5 x
第一章 函数与极限 高等数学少学时 (2).当x→0时，1-c0sx 2 2 1-cosx .'lim 1 x2 1 lim 1_1 ”r3+2.x2=2im 2x0x3+2x22x0X+2 4 北京邮电大学出版社 8C
8 3 2 0 2 1 cos lim x x x x + − → , 2 (2) 0 , 1 cos 2 x 当x → 时 − x～ 3 2 2 0 2 lim 2 1 x x x x + = → . 4 1 2 1 lim 2 1 0 = + = x→ x