第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第三节泰勒公式 一、泰勒公式 二、函数的泰勒展开式举例 北京邮电大学出版社
1 二、函数的泰勒展开式举例 第三节 泰勒公式 一、泰勒公式
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 一、 泰勒公式 问题的提出： 1.复杂的函数用简单的函数近似表示，比如用多项式 ex≈1+x, sinx≈x, ln1+x)≈x ①精确度不高； ②不能估算误差 2.一般地y=fx)能不能用一个(x-x,)的n次多项式近似表示 ①系数=？ ②误差多大？ 假设f(x)有直到(un+1)阶导数寻求一个多项式 p,(x)=ao+aj(x-xo)+az(x-xo)+...+a,(x-xoY 使f(x)≈Pn(x),要求f(x)-Pn(x)是比(x-x)”高阶的无穷 小，并且能给出误差f(x)-p(x)的具体表达式 北京邮电大学出版社 2
2 一、泰勒公式 e 1 x, x + sin x x, ln(1+ x) x 问题的提出: 1. 复杂的函数用简单的函数近似表示，比如用多项式 ①精确度不高； ②不能估算误差. 2. 一般地 y = f(x)能不能用一个 (x − x0 ) 的n次多项式近似表示 ①系数=？ ②误差多大？ f (x) P (x), 使 n 要 求 f (x) − Pn (x) 是 比(x − x0 ) n 高阶的无穷 小,并且能给出误差 f (x) p (x) 的具体表达式. − n 假设 f (x)有直到(n + 1)阶导数, 寻求一个多项式 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n p x a a x x a x x a x x0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 对于p.(x)=+a,(x-x)+(-x}++a(x-x)”( 假设P(x)=f(),P()=f(x),P"(x)=f"(x), ,P.()=f(x), 则有 a,=f(,ha=f(c,ha=f(c,…a.=fo(xh 即a=(c) i=0,1,2,…,n ..p.(x)=f(xo)+f(xoXx-xo)+f"(xaYx-x.) ++fo(xc-x,)》 (2) (2)式称为fx)按(x-x,)的幂展开的n次近似多项式. 北京邮电大学出版社 31
3 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n p x a a x x a x x a x x0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − ( ) ( ), 0 x0 P x f n = ( ) ( ) ( ) , ( ), 0 x0 P x f n n n = ( ), 0 x0 a = f ( ), 1 x0 a = f ( ) , 2! 1 2 x0 a = f ( ) ( ), ! 1 x0 f n a n n = ( ) f (x ) i n i a i i 0,1, 2, , ! 1 即 = 0 = ( ) ( ), 0 x0 P x f n = ( ) ( ), 0 x0 P x f n = 对于 ⑴ 假设 则有 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 2! 1 pn x = f x + f x x − x + f x x − x ( ) ( )( ) (2) ! 1 0 0 n n f x x x n ++ − ⑵ 式称为f(x)按( ) x − x0 的幂展开的n 次近似多项式
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在，的某个开区间a,b)内具有直到n+1) 阶的导数，则对于任一x∈(4，b),有 f)=f(x,)+f(c-x)+2f(x-x}+ +f(xaXx-xaY+R.(x) (3) 其中 ®（四）=a+了(GXx-x广（传在，与r之间 (3)式称为fx)按(x-x。)的幂展开的n阶泰勒公式.（④）式称为拉 格朗日型余项. 北京邮电大学出版社
4 泰勒(Taylor)中值定理 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (3) ! 1 2! 1 0 0 2 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n + − + = + − + − + ⑶式称为f(x)按 ( ) x − x0 的幂展开的n 阶泰勒公式. ( ) ( , ) ( 1) 如 果函 数f x 在 x0 的某个开区间 a b 内具有直到n+ 阶的导数， 则对于任一x(a, b),有 ( ) ( )( ) ( ) (4) ( 1)! 1 ( ) 0 1 0 f 1 x x 在x 与x之 间 n R x n n n + + − + = 其中 ⑷式称为拉 格朗日型余项
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 证设Rn(x)=f(x)-pn(x) ,由假设知， R.(x)在(a,b)内具有直到(+1)阶导数，且 R(xo)=R (xo)=R (xo)=...=R((xo)=0. 由柯西中值定理，在以x,与x为端点的区间上 R (x) Rn（x)-Rn(xo)_ Rn(5) (x-x0)1-(x-七)*1-0 n+0(-,)口，(5在七与x之间 Rn(5) R,()-R (xo) Rn(52) (n+1)(51-xo)”(n+1)(51-x)”-0 n+1)(52-x)"-’ (52在x。与51之间)， 北京邮电大学出版社 5
5 证 R (x) f (x) p (x), 设 n = − n 由假设知, R (x) n 在(a, b)内具有直到(n+1) 阶导数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 0 0 = = = = R x = R x R x R x n n n n n 由柯西中值定理， 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x ( ) 0 ( ) ( ) 1 0 0 − − − = n+ n n x x R x R x , ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + − = ( ) 1 在 x0 与 x 之间 , 在以x0与x为端点的区间上 n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − ( 1)( ) 0 ( ) ( ) 1 0 1 0 + − − − = n n n n x R R x , ( 1)( ) ( ) 1 2 0 2 − + − = n n n n x R ( ). 2 在 x0 与 1 之间
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 依此继续(+1)次后，得 R (x) R+(5) (x-xo)"+1 (n+1)! (传在x与5m之间，当然也在，与x之间 P,a+(x)=0,Rm+(x)=f+(x), ∴Rm+(5)=fm+(5) R,="5x-x)*,(传在x与x之间. (n+1)g 证毕 北京邮电大学出版社 6
6 依此继续 (n+1) 次后, 得 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n ( , ) 在x0与 n之间 当然也在x0与x之间 ( ) ( ), ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x ( ). 在 x0 与 x 之间 ( ) ( ) 0, 1 = + P x n n 证毕 ( ) ( ) ( 1) ( 1) + + = n n n R f
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 注①特别地，当=0时，有 f(x)=f(x)+f'(传)(x-x)(传在x。与x之间 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. ②由3)式，用P.(x)近似表示(x)时的误差为R(x)儿， 若x∈(a,b)时，f(x≤M,则 风a-44-"叫a￥n M n+l (5) 北京邮电大学出版社
7 注 特别地，当n = 0时, 有 ( ) ( ) ( )( ) 0 x x0 f x = f x + f − ( ) 在 x0 与 x 之间 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. ① (3) P (x) f (x) R (x) , ② 由 式，用 n 近似表示 时的误差为 n ( ) ( ) 若x a,b 时 ，f n+1 (x) M, 则 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x 1 0 ( 1)! + − + n x x n M ⑸
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 lim R,(x) =0.Rn(x)=o[(x-x)"] x→x0 (x-x)" 所以，n阶泰勒公式又可写为： f(x)=f(x)+f(xoXx-x)+"(xXx-x)+.. +fo(,Xx-x+o【c-x,] 北京邮电大学出版社 P2 8
8 所以，n 阶泰勒公式又可写为： ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) n n n f x x x x x n f x f x f x x x f x x x 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ! 1 2! 1 + − + − = + − + − + P2 0 ( ) ( ) lim 0 0 = → − n n x x x x R x ( ) [( ) ] 0 n Rn x = x − x
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 3 在(3)式中，若取x=0,令5=0x0<0<1),则有 麦克劳林Maclaurin)公式 f()-)++ (( (0<0<1) (6) 或f)=o+foc+fox++0fox+o() ff0)+f0k+fo2++foox M 误差估计式(5)相应地变成 Rn(x)≤ (n+1! 北京邮电大学出版社 9
9 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M 误差估计式⑸相应地变成 R x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x x n f x = f + f x + f x + + 0 + ! 1 0 2! 1 0 0 或 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x n f x f f x f x 0 ! 1 0 2! 1 0 0 2 + + ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 1) (6) ( 1)! 1 0 ! 1 0 2! 1 0 0 1 1 2 + + = + + + + + + n n n n f x x n f x n f x f f x f x 麦克劳林(Maclaurin)公式 0, (0 1), ③ 在⑶式中，若取 x0 = 令 = x 则有
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 二、函数的泰勒展开式举例 例1将f(x)=x3+3x2+2x+4展开为x+1的泰勒多项式. 解取x。=-1,由f(-1)=4 f'(x)=3x2+6x+2,f'(-1)=-1 f"(x)=6x+6,f"(-1)=0 f"(x)=6f"(-1)=6,(x)=0 f()=4+(-(x+)+(c++(+)°=4-(x+)+(x+) 泰勒公式 )-)r(X-x)-x) +-w因-2：产 北京邮电大学出版社 Q10
10 二、函数的泰勒展开式举例 泰勒公式 例1 将 ( ) 3 2 f x x x x = + + + 3 2 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 2! x x f x f x f x f x x x − = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ! n n n f x x x R x n + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 ! + + = − + n n n f R x x x n 展开为 x +1 的泰勒多项式. 解 取 0 x = −1 , 由 f (− = 1 4 ) ( ) ( ) 2 f x x x f = + + − = − 3 6 2, 1 1 f x x f ( ) = + − = 6 6, 1 0 ( ) f x ( ) = 6, f (− = 1 6, ) ( ) ( ) 4 f x = 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 6 2 3 4 1 1 1 1 2! 3! = + − + + + + + f x x x x ( ) ( ) 3 = − + + + 4 1 1 x x