山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 微分方程 第二节 一阶微分方程及其解法

第六章 微分方程 高等数学少学时 复习 微分方程： 含有未知函数导数（微分）的方程 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程. 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程. 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数. 通解：解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数. 特解：满足初始条件的解 北京邮电大学出版社

复习 微分方程： 含有未知函数导数（微分）的方程. 未知函数是一元函数的微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程. 微分方程的阶： 常微分方程： 偏微分方程： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数. 通解：解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数. 特解：满足初始条件的解

第六章微分方程 高等数学少学时 第二节一阶徽分方程及其解佐 可分离变量的微分方程 二 齐次方程 三、一阶线性微分方程 北京邮电大学出版社 2

一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程 三、 一阶线性微分方程

第六章 微分方程 高等数学少学时 一、可分离变量的微分方程 1定义如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dv=f(x)dx (6-7) 的形式，则原方程就称为可分离变量的微分方程 2.解法 步骤为： ①分离变量，使方程变为：g(y)=f(x) ② 两边积分： g(y)d=∫f(x)d ③求得通解： G()=F(x)+C (6-8) (6-8)称为微分方程(6-7)的隐式解，或称为(6-7)的隐式通解 北京邮电大学出版社 3

一、可分离变量的微分方程 1.定义 如果一个一阶微分方程能写成 的形式，则原方程就称为可分离变量的微分方程. g  y dy  f  x  dx （6-7） g  y  dy  f  x  dx   G y  Fx C （6-8） (6-8)称为微分方程(6-7)的隐式解，或称为(6-7)的隐式通解. 2.解法 ① 分离变量， g  y dy  f  x dx ② 两边积分： ③ 求得通解： 步骤为： 使方程变为：

第六章微分方程 例1求解微分方程 +x2=0. 高等数学少学时 d 解分离变量得 dy =-xdx 说明：在求解过程中每 y 一步不一定是同解变形， fafax 因此可能增、减解. 两边积分 得 =-3式+G或 即 +C1 mly川=-3r+c到 令C=t9 3 (C为任意常数) y=Ce 3 (此式含分离变量时丢失的解y=0) 北京邮电大学出版社

例1 求解微分方程 0. d d 2  yx  x y 解 分离变量得 x x y y d d 2  两边积分 x x y y d d 2    得 3 1 1 ln 3 y   x C 1 3 ln ln 3 y   x  C 即 1 3 3 1 e x C y     3 1 1 3 e e x C   1 3 3 e x y C   1 e C 令C ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每 一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

第六章微分方程 高等数学少学时 注(1) 绝对值可以不加； (2)可直接设C,=lnC 例2求微分方程y-ylny=0满足初始条件yl=e的特解， 解这是可分离变量的微分方程.当y≠1时，分离变量得 yIn y x 两端积分得lnny=lnx+lnC, 即 In y= Cx. 原方程的通解为 y=ea. 由yx=1=e得C=1,原方程的特解为y=e. 北京邮电大学出版社 50

注 (1) 绝对值可以不加； (2) 可直接设 C 1  ln C 例2 求微分方程 xy yln y  0 满足初始条件 y e |x1 的特解. 解 x x y y y d 1 d ln 1  两端积分得 lnln y  ln| x | lnC , 这是可分离变量的微分方程.当 y  1 时，分离变量得 ln y  Cx . . Cx 原方程的通解为 y  e 即 | 1 , 由 y x  1  e得 C  原方程的特解为 . x ye

第六章 微分方程 高等数学少学时 例3放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成 其他元素，铀的含量就不断地减少，这种现象叫做衰变.由原 子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正 比.己知t=0时铀的含量为Mo,求在衰变过程中铀含量M() 随时间t变化的规律. 解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt 由于轴的衰变速度与其含量成正比，得微分方程为 dM =-λM dt 其中入是正的常数，叫做衰变系数 北京邮电大学出版社 6

例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成 随时间 t 变化的规律. 其他元素，铀的含量就不断地减少，这种现象叫做衰变. 由原 子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正 , 比 M0 . 已知t = 0 时铀的含量为 求在衰变过程中铀含量M (t) 由于铀的衰变速度与其含量成正比, . d d t 解 铀的衰变速度就是M M ( t )对时间 t 的导数 M t M   d d 得微分方程为 其中 是正的常数，叫做衰变系数

第六章微分方程 高等数学少学时 dM 将方程分离变量，得 =-λdt M 两端积分，得 In M=-At+InC M 得微分方程通解为 M=Ce-A Mo 将初始条件M,=M代入上式，得： O 1 图6-2 C=Ce=Mo 所以铀的衰变规律为： M=Me-Mr 北京邮电大学出版社

两端积分，得 ln M   t  lnC 得微分方程通解为 t M Ce   0 0 C  Ce  M 所以铀的衰变规律为: t M M e   0 将初始条件M t0  M0代入上式，得: 将方程分离变量，得 t M M d d   M M0 O t 图6-2

第六章 微分方程 高等数学少学时 例4水池中有1000L溶有污染物的水溶液，其中污染物为15kg. 现在准备用清水冲洗.计划每分钟注入清水5L,混合均匀的溶液每 分钟流出4L.问1小时后水中污染物还剩多少？ 解令M(t表示水中污染物的含量，V(t)是池中溶液的体 积溶液流出的速度为 =5-4=1,V(t)=t+C,由V(0)=1000, V(t)=t+1000,于是每1分钟流出的污染物为 4M(t) 1000+t 考虑在 区间t,t+△ 内水中污染物的变化，这一变化是由流入和流 出所引起的.根据题意有等式 北京邮电大学出版社

例4 水池中有1000L 溶有污染物的水溶液,其中污染物为15kg. 现在准备用清水冲洗.计划每分钟注入清水5L,混合均匀的溶液每 分钟流出4L.问1小时后水中污染物还剩多少? 解 令Mt表示水中污染物的含量,V(t)是池中溶液的体 积.溶液流出的速度为 5 4 1, ( ) , (0) 1000, d d    V t  t C V  t V 由 V (t )  t  1000 ,于是每1分钟流出的污染物为 . 1000 4 ( ) t M t  考虑在 区间 [t,t  t] 内水中污染物的变化，这一变化是由流入和流 出所引起的. 根据题意有等式

第六章微分方程 高等数学少学时 M(t)-M(t+△)= 4M().f 1000+t 两边同除以△t,再令△t→0得微分方程 dM 4M dt 1000+t 其初始条件为M(O)=15.这就是水中污染物M(t)所满足的微 分方程及特解条件. 北京邮电大学出版社

t t M t M t M t t      1000 4 ( ) ( ) ( ) 两边同除以 t ，再令 t  0 得微分方程 t M dt dM    1000 4 其初始条件为 M(0)  1 5.这就是水中污染物Mt 所满足的微 分方程及特解条件

第六章微分方程 高等数学少学时 对上述方程分离变量，并两边积分，得 M=C(1000+t)-4 利用初始条件M(0=15得C=15×10004. 故原方程的特解为 h0=1j 所以1小时后水中污染物的含量为 M(60≈11.88kg 北京邮电大学出版社 10C

对上述方程分离变量，并两边积分，得 4 (1000 )  M  C  t 利用初始条件 M(0) 15 得 15 1000 . 4 C   故原方程的特解为 4 1000 1000 ( ) 15          t M t 所以1小时后水中污染物的含量为 M(60) 11.88(kg)