《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）关于解析函数的一个唯一性定理及其应用.pdf_大学文库

期邹新堤 2 : 关于解析函数的一个唯一性定理及其应用 f 此处之 , 为直技。蛛 , 0 荞及曲接凡所合成的筒单阴曲接 . 从此容易看出: ! f ( : 。 ) }《粤 + 李 (一l葬卑共} 己; ! , , ) N 。 ; o 汀艺汀夕孟, {夸一而 l ( A ) 此处的 M 是 f (习在 O A 及 O B _ E 的上界 , 而占是 o c 及 O D . 上的二部分援段 : o 0 , 而当卜}成 0r 时 f ( 君 ) 显然有界3 因沪洲洲 , 、、了~ 、此尹(习在扇形。 c D 内为有界 . 故恢祛都氏定理了(的在圆弧 c D _ 五的角极值几乎处处存在 , 殷此色n为 f ( 。 `口 ) , 合尸 · ( o ) 一。 <彩、 : } f ( r “ , ) l一 `“ 〔 “ D 而 “ 一 ` 当 n 、 + co 时 · 而且容易看出 : 少牛` ` 二 ( o ) = if ( e ` , ) l 在圆弧 C D . .L 几乎处处成立 , 而 ,; m (八。 . ( 8 ) d s 成 11 : n , 。 }了( ” ) } }声“ 卜 0 · 同时依勒具格氏定理得知 : l i l n 湘砷+ . 八。 , ( 8 ) 澎8 = 品 If ( “ 口 ) } d o = 0 故所以袱。 ’,e) 在圆弧 c D 上儿乎处处为零 . 故根据普理互洛失唯一性定理得知了(习三。于 }川 < 1 内 , 征毕二 ` 交现在我佣将上述定理褥化到更一般的区域时的情形 . 定理犷 : 没 f ( 二 ) 是区域 D 内的全钝函数 , 而刀是某一可求长豹当曲壮厂所范围的内域 , 殷 r 由曲彼尸及 ’r 粗成 , 且 ’r 及 ’r 音么 a , b 为其二端点者 . 假如 f ( 。 ) 在 ’r (包括端点 ) 一卜速擅 , 且有一筒单可求扮曲修序列 {久 , } , 凡除其二端点蛛 , 式省落在 ’r 上外全属于 D 内 . 并殷 {陈} 以曲袋 ’r , 为极限 , 并致恶{ , . }, ( · , , , d · , 一。者。 lAJ 必致厂(幻三。于 D 内 . 征 : 投二二甲 ( , ) 是单位圆内的单叶全钝函数 , 劝( , ) 保留地映射单位间域于 D 上 , · 并致上半单位图周映照于 ’r , 者 . 则 {丸} 的原象 {从 } 将以上半单位囿周为极限 , 且 ” 呱 I , : ,`〔, ( 。力, ’ ( 。 , ,“ 。 , 一。 ·

学学报孟 , , 6 丫ù临趁社一抽| 一必久, 寻 U了 I二 1 我仍现在要征明单位圆内的全钝函数 : f 【甲 ( 。 )] 甲 ’ ( , )在扇形 △ ( 。以。为顶点 , 并么上半圆周内的某一圆弧石众 ” : 及瓦 `el , 瓦” : 所围成的内域 ) 内为有界 . 事实上 , 取 {凡} 是某一单稠上异的正数序列并具如下的性盾 : :i R , ` 1 , 当 , ` + 。时 , 五: 对每一 R 。以。为中心 R 。为半径作半圆 C 。而 C , 全在下半平面内 , 且自 c 。的某一点 P 起沿 c 。的二方向进行所得与弋的第一交点分别为 P 。及 Q 。 , 而尸二及 Q , 告在下半圆内者则俄 C au c 场公式可得 : · !f [中( 。。 ) ]甲 ` ( u, 。 ) ! ( , i C }f [甲 (讼 ) ]甲 ’ ( , ) 1 , J _ ~ ! 二 , 弓尧 — l , — {肠子引 1 . + 了 2 尤 J 孟。 ! 留一川。 1 , g }r [中( 双。。 `e ) 1中 , ( 尺。。 ` , ) ! 及。 J e }天 , 。 ` e 一构 l 此处。。是么内的任一固定点 , 而氏 ( ’;0 . 尸。一。 “ 二 , 口 ` 一。 ` , ; , ( 人 ) 上式中令 , 、 + o , 则右边第一项将趋向于。 , 井注意训 ( 。 ) ( H l 族 , 而利用黎斯定理1[] ( rIJ · 2 , 5 戒 4 . 1) 可知 : ” 呱 }{:{ : } ,。, ( ; 一 , , , , ( : 一 , , 一 “ 〔, (一 , ,甲 ’ ( · ` ” , , ` “ ,` ’ 、、 {]l:) 〔 },〔, ( * , 一 )〕, : ; 一 )卜 , , , (一 , ,〔, ( 、一 , , , , ` 小 + }{:{ 「} , , (一 ) : ( `,: , ( R一 , , , 一 ,,〔, (一 , , , , , ` ” 1一故从 ( A ) 可得 : }f [甲 ( t。。 ) ]中 ’ ( 。。 ) l( }f [甲 ( e ` e ) ]中 ` ( e` e ) } J S + 。阮 ù广., 份今 2 尤占 ( B ) 此处的占是扇形△ 与下半单位圆周的距离 , 而 a 是大于 0 . 的某一常数 , 而因为 f[ 甲 ( 。萝口 ) J 在 [ 二 , 2 二 ] 上速值 , 甲 ` ( 留 ) 〔月; 族 , 故 ( B ) 右边是某一常数 , 故知 !f [甲 ( 。 ) ]中 ’ ( , ) } 在 △ 内有界 . 而又因为悠{ , ; “ 〔, ` 。 , , , ’ ( 。 , , , ` 。 , 一 ” · 故恨据定理工得知 : f[ 中 ( ,t ) 〕训 (。 ) 三。于 }川 < 1 内 . 因此 f (的三。于 D 内 . 定理由是舰毕 . 二根据定理护 , 我俩立刻得出如下解析函数的唯一性定理 , 郎定理 n : 毅区域 D , r 及 ’r , ’r , {久启等智同于定理 *I , 若 fl (幻 , :f( 的是 D 内的二个解析函数 , 且在 ’r (包括端点 )省为速擅 . 且在 {凡} 上 , 满足关系

2期邹新堤：关于解析函数的一个唯一性定理及其应用， 117 lim If()-2()dz=0, nto Jin 则必致f()三(=)于D内. §3.在这一节里，訨我們給出定理Ⅱ的一个有趣的应用。即有：定理III:設区域D,「，T',T”及)皆同于定理，而f()为在D内的全杶函数列，且每一f.(=)在'連續井为一致有界。即： |fn()l≤C,当∈'时(n=1,2,…), 若存在某一正数序列{：}→0，当n→十∞时。且对于任一固定的k及λ，必有一正弊数N存在，当m,n≥N时，有 3 Jlf(e)-1()id=≤ 則必致{f()在D内广义一致收歛. 证：首先赴我們証明在定理中的条件下，(f(+)】}在D丙广义一致有界。事实上殷G1是属于D内的任一已定的阴区域.由于(，}→"”，故必存在某一正整数，当 n≥，时，G1全属于由λm及T'的一部分曲後所粗成的一个簡单可求长閉曲辍T所范围的丙域，骰G1与，的距离为dn,則当n≥o时dn≥d>0,而d是某-常数，故依 Cauchy強定理得知： .aw-tnew1=是J2a)i2s ￥一0 南 ≤ajnO-a0a+a.92-al1a, 8一ol 喷此处之n≥，而m,p則为任何正整数，而为G的任一定点，故{：一0≥4，当：∈T 或入.时.同时根据定理所給的条件得知，对于固定的n及En,必存在某一正整数N,当国 m≥N时，有： N /(o)-fm+n()≤2ML+a 2rd,2d 而則为'之长度，在上式中取m=N,則得：配 1w(l≤1(1+2Mt+,p=1,2,…. 2πa 而|fx(g)川在G,上显然有界，故知{()在G1上一致有界，而在D内为广义一致有界，从此得知(f(x)为D丙的正族. 我們现在只需要証明{什(：)在D内每一点上为收歙即可，因为再极据正族理输中的維他利定理則可得到本定理的証明. 現在我們用反証法，設(f()》在D内井不在每一点上收歛，而合即为其中的一点，則我們可从(f()》中选出二子函数列：(f(x)》及(f:(:),而使它俩在某一包合典而垒属于D的内域之阴区域上分别地一致收歙于f()及f,).而()卡f(), 且不失証明的真实性，我們可分≤k(原=1,2，··).井行食 F()兰fn(知)-fk(x), 則(F,(:)}在D内广义一致收敛于全純函数f(:)一(：户枚我們只需证明{P(=)》 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net

邹新堤关于解析函数的一个唯一性定理及其应用 : 忽 { , 。 . , 1 ( · ) 一 , 2 ( · ) } { J · ! . 一。 , 只j 必致 f l ( 二 ) 三 f Z ( 二 ) 于刀内 . 沁 . 在这一节里 , 赴我佣抬出定理亚的一个有趣的应用 . 郎有 : 定理 m : 毅区域 D , r , ’r , ’r 及仁 , } 告同于定理户 , 而 {九(习 } 为在 D 内的全钝 ’ 函数列 , 且每一人(的在 ’r 速疲井为一致有界 . 郎 : }f 。 ( : ) l《 c , 当扮〔 r ` 时 ( n = i , 2 , … ) , 若存在某一正数序列 {气 } 一 0 , 当 , , 、 + O 时。且对于任一固定的气及从 , 必有` 正整黛N 存在 , 当二 , 移 ) N 时 , 有「 { , * ,, 。 ( · , : ` · ( · , , , ` · ,` 一 lnJ 必致 {人 (的 } 在刀内广义一致收敛 . 征 : 首先能我俩征明在定理中的条件下 , {凡(的 } 在 D 内广义一致有界 . 事实 . 卜毅乙, 是属于 D 内的任一已定的阴区域 . 由于 {久 n } 、 ’r , 故必存在某一正整数 , 。 , 当。 ) 。。时 , 云; 全属于由久。及 ’r 的一部分曲修所粗成的一个荫草可求长阴曲找几所范围的内域 , 殷云: 与几的距离为心 , lRJ 当万) , 。时 d 。》 d > o , 而己是某一常数 , . 故依 c ~ 物孩定理得知 : ,` , ( “ , 一 ` 。一 (一 , , 一 }鑫{ : : 丛丝址卫些业 Z J 。 } 《君一宫 O , 1 「 }f , ( 。 ) 一了. + , ( : ) ! . _ , _ : 二 I f , 心之一— ! 。 — 1 任石 } - . 一 l 2 北 J r’ } 君一勒 } 2 尤之 , 。土岭注分旦 ’ ` 二 ” , 此处之 , ) 晰 , 而 , , p 则为任何正整数 , 而。。为云; 的任一定点 , 故 } : 一司》 d , 当。〔厂或几。时 . 同时根据定理所始的条件得知 , 对于固定的。及。, , 必存在某一正整数 N , 当。 > N 时 , 有 : }f ,。 ( 二。 ) 一 f 。 + , ( 。 0 ) ! 《 Z M I , 2 冗j + 一玉一 2 忙 d 而 ’l 则为 ’r 之长度 , 在上式中取 , 二 !f N + , ( : 。 ) ! 《 }f N ( 。。 ) ! N , lAJ 得 : Z M I ` + 6 , 2汀念 ( 户 = i , 2 , … ) . 而 }加(的 } 在云: 上显然有界 , 故知 {九(幻 } 在云; _上一致有界 , 而在 D 内为广义一致有界 , 从此得知 { f 。 ( 君 ) ) 为刀内的正族一我俩现在只需要征明 {` ( : )} 在 D 内每一点上为收歇勘可 , 因为再根据正族理萧中的推他利定理则可得到本定理的征明 . 现在我俩用反赶法 , 殷 {介(幻 } 在 D 内并不在每一点上收戴 , 而令宫。郎为其中的一点 , lAJ 我啊可从 f{ 式 “ )} 中选出二子函数列 : {九, ( ” ) } 及 {f 叹( “ ) } , 而使它俩在某一包合甸而全属于 D 的内域之阴区域万上分别地一致收徽于 fl (的及 f,( : ) . 而介( 。。 ) 举九( : 。 ) , , 且不失征明的真实性 , 我俩可令 , 、成城(左= 1 , 2 3一 ) . 并个 F · , ( “ ) = f · 、 ( “ ) 一 f ·又( “ ) , R[J {气( “ )} 在刀内广义一致收徽于全种函数 fl( “ ) 一拭 “ 户故我俩只需靓明 {凡、 ( “ )}

数学 9 卷的极限函数在 D 内 J凌为。郎可 . 为此我朽合 il m .犷+ . F 。 , ( “ ) = F ( “ ) . 如图所示 , 取尸为 D 内某一内点 , 拜在 ’r 上取不同的两点 : A 及 B , 而使 P A 及 P B 二直拔段除 A , B 外全属于刀内 , 我俩现在要征明 F (习在以 p A , p B , 及以 A , 刀为端点的 ’r ` 的部分曲袋为边界的区域 △ 内为有界 . 事实上 , 殷为是 △ 的任一固定内点 , lRJ 户乡 }以动 } 井《拟 {粼 r :兴 “ { ` ,; m 万牛{ ” 左砷十 . t Z 7r J } F , , ( ` ) } I J 二 l + 萝 + 上 } 2兀 . } F , . ( : 、 ! 、 , 、 , 一瑰一 ’ } ` : } ( A ) ” } 忿一 : 。 } 此处的 r 芬是由 ’r 的部分曲修及又。所粗成的筒单可求长阴曲技 . 而使确属于几所围的内域者 , 故 ( A ) 对任意的 n (正整数 )只需其大于某一正整数。。 , 昔成立 . 故对于任一固定的。。 , 并依定理中的条件 , 容易看出 ( A ) 中右边括弧中第二项的下极限为零 . ` 而第一稠 . IHJ 小于或等于州 , 此处的 , , 为 : 户的长度 , 而己 lJ 为 △ 与 : , 之距离 . 故得 : - d 允 - - - - - 一 - 一 } F ( 二。 ) ! 《兰竺二介` 二。〔 △ . 现在我俩先取入 , 的部分曲拔段从 , 而使从除其二端点分别在尸A 及 p B 上外 , 弋全属于。内 , lAJ 显然可隶长的当曲袋序列 {从 } 以 ’r 的部分曲袋段且以汉 , B 为其端点者为极限 , 我俩需要征明恶 l , : , F伪 , ,“ · , 一 ` · 蟀事突上 : { , ; ` F ( · ,“ ` · ,` l ; ; , F ( · , 一 F · 、 ` · , , , ` · , + { , 二 ` F · 、 ( · , , ,` · , , 而根据定理的条件 , _七式右边第二项对固定的。及足够大的叔其值小于或等于。 . , 并注意 { F 。 : (习 } 在 D 内是广义一致收赦的 , 令。 ` 、 + co , lBJ 得 : 气 O 气上 : , F ( · , , , d · ,` 6二而 {礼 } 一。 , 故依定理兀得知 : 以幻三。、于 △ 内 , 因此 F ( 二 ) ` 三。于。内 , 良p 尸( : 。 ) = f : ( 介 ) 一九( 。。 ) 二 o , 故知 { f 。 ( 。 ) } 在刀内每一点上收歇 , 而在 D 内为广义一致收赦 . 孤毕 . 系 : 毅区域 D , 边界 ’r , ’r 及 {凡} 昔同于定理 1 , 而 {九( 习 } ’ 是 D 内的全腌函数列 , ;对每一八(习在厂是速栩的 ; 且拼

期邹新堤：关于解扩函数的一个唯一性定理及其应用 119 fn()川≤M,当∈T'时(n=1,2,3,…). 假如存在某一正数序列{}→0，且对于任-一图定的E数k及λ，必有-·f翠数N存在，而当m,n≥N时， fm(s)-fn(✉)川<k长. 并股(}所相应的每一入其长为1，而{1n)为有界.则必致{f(霉)》在D内)“义一致收款. 注意：从本文定理*的証期过程中可以誓出：井不器要(=)在「”上連續，而只需孔)在T”上的任一点（满足关系 im|f(-)川≤M t,定理仍然成立。同时，相应地不难看！定理Ⅲ中的{f()}亦不一定需要每-f() 在”上速徽，而只需满足关系式 im|f.(x)川≤M6∈'，(n=1,2,…) iED 射，定理Ⅲ中的論衙仍英实不虚. 最后，莲向王振宇同志表示衷心的威谢，他在“Bol变换公式的新証明及其应用”一文的研究过程中，为了实际的需要，會提出这样的問题：“若()是圓内的金純啊数，且存在某-一正数序列{rn)→1,7a<1(n=1,2,··),扑致 mK0=0,a<8 问时()在单位圓周上的某一圓弧：（日，≤日≤日）上的射形边界值儿乎处处为0. 在上述条件下(=)是否恆为0以川x<1丙”.本文就是在这一問题的启发下写成的. 参考文献 1 H.M.IIpHBanoB.IpaHHyHbie cBoAcrBa iHaaHrmuecKHx PyHKunA. 2 T.M.Toy3PH.TeoMerpayeckast Teoprs yHKuaM KomunekcHoro epemeHHoro. ON THE UNIQUENESS THEOREM OF ANALYTIC FUNCTIONS AND ITS APPLICATIONS CHou上Hs1N-ri (Wu-Han University) ASTRACT The main purpose of the present paper is to investigate'some theorsms as following: 1 Let f()be an analytic function,regular in a region D,which is an.interior region hunded by a certein rectifiable Jordan curve I',composed of two curves T'and "taking a,bs its two end points.Let f()be cntinuous on I (including the end points). urthermore,we assume there exists a sc.juence of simple rectifiable curves ()which cvuverges to curve I",belonging to D except its end points and belonging to I", ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

艺期邹新堤 : 关于解析函数的一个唯一胜定理及其应用 1 1 9 . . . ~ . . ~ ~ ~ 州~ 目. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 叫. , 一月叫 . 一一 . . . 一一一一一 - - 一 ~ 月. . . , , 月 . . . . . , . . 仁) · 伽\ \ !九( : ) 【《 M , 当二赶’r 时 ( , 二 1 , 2 , 3 , … ) . 假如存在某一正数序列 {气 } 、 o , 且对于任一固定的正数 : * 及入、 , 必有一正鹦数讨存在 , 而当 m , 。 ) N 时 , }f 。 ( 二 ) 一 f 。 ( 忿 ) 1< “ * 二 ( 凡: . 并殷 {凡} 所相应的每一入。其长为 l 。 , 而 {l , } 为有界 . 刻必致份二 ( 心) 在 D 内J 一 ’ 义一致收敛 . 注意 : 从本文定理护的能明过程中可以看出 : 并不需要 f ( 二 ) 在 ’r 上速疲 , 而只需了( 二 ) 在尸上的任一点乙满足关系 l i m }f ( 二 ) l成 ’l 二〔 D 二刁亡 , 一于 , 定理仍然成立 . 同时 , 相应地不难看出定理 1 中的 {儿(的 } 亦不一定需要每一凡( 二 ) 在厂上速凌 , 而只需满足关系式 . ha }f 。 ( 谙) }成 M 套〔 r ` , ( 。 = 1 , 2 , … ) 丫峨下 , 浴时 , 定理皿中的渝断仍具实不虚 . 最后 , 巍向王振宇同志表示衷心的戚瀚 , 他在 “ oB 耐变换公式的新征明及其应用 ” 一文的研究过程中 , 为了实际的需要 , 曹提出这样的简题 : “ 若 f( 幻是圆内的全纯两数 , 且存在某一正数序列 {八 } ` 1 , r 。 < 1 ( 。 = 1 , 2 , … ) , 井致 li m 刃曰十 . {之 ,, (… ` ” · , “ “ 一。 , “ 1 < “ J , 沪口一、、奴同时 f ( 二 ) 在单位圆周上的某一圆弧尹 , ie : ( 8 , 《 O 《氏) 上的射形边界植儿乎处处为。 . 在上述条件下矛(的是否 J阪为。似 1川 < 1沟 ” . 木文就是在这一周题的启发下写成的 . 参考文献布 ;; : H . H J r . M . n p 月 B a 刀 o B . I ’ P a ” n 叼 H 以 e e B o 泊e · r B a a H a j xn r 月 . le c K “ x 巾 y H K从” 益 . r o J一y 只只日 . r e o M e · r p只 lt e e K a 只一 e o P n 只 (卜y 只 K从只八 K o M n ,.l e K e ” o r o , I e Pe 、一e , . H o r o . 大 T H E U N IQ U E N邱5 T H EO R E M O F A N A L Y T IC F U N C T IO N S A N D I T S A P P L IC A T IO N S C * J o u H s zN 一于- ( w u 一月a o u 二声, 。 r s i t y ) A ” S T R A c T 飞 . 址乙et 全;。 u n 由d I ) : : : 飞) o 名e o f t h e P r e s e nt P a p e r 1 5 t o i n v c s it g a t e , 。 r o ig o n D , 5 0 互1 1e t l i eo r 巴 n 飞 , a s f o l l o f ( 二 ) 玩。 : ; n : i l y it e fun e如 n , er g u l以 i n : : e it if : b l e J o r d a n e u r y 。丁 ’ , 叭 · l吐c h 1 5 a n i n 比 .i1 o r w 盯1 9 : r e g Lo n 企〕 y a C 匕 rt 〔U n e o , n p o s e d o f t w o C U f V e S 匕比 5 lt s t W V 即 d x ) o 云I t , 。。 `几b l l t j n 1L 0 U S on 厂 ( icn lu d加 g r ` t h 匕 a n d ’r ’ ` e 一飞d 1 . : : 一: 让: 艺 r l n o r e “ 。 xt v c r g e s ot 、 V 巴 a S S l f n 匕 th 匕 r e L o t f ( 二 ) b 。 e 侣汪 S t S a S C ` U七」1 ` U r 、 I巴丁 ’ ` , b 二 l o n 酥n g t o D ex 二e l 、 t e o o f 成n , lP 二 r e e it 工i曲 l e i t 。。 , l d p o i : i t , 二几叨 d C U r V e S 二 :’, b e l o {林} l、 9 t n g , t政i n g p o i 」、 Ls ) . 认 1 1 1 ` 1 1 t o 工 ’ `