第31卷第11期（下） 赤峰学院学报（自然科学版） Vol.31 No.11 2015年11月 Journal of Chifeng University(Natural Science Edition) Nov.2015 解析函数的物理意义及其应用 瑛瑛 (呼伦贝尔学院数学统计学院，内蒙古海拉尔021008) 摘要：本文阐述了复变函数和解析函数的物理意义，给出了它们的应用举例，从而强调了解析函数的物理意义在复变 函数论教学中的重要性 关键词：复变函数：解析函数；物理意义 中图分类号：0174.5文献标识码：A文章编号：1673-260X(2015)11-0005-01 DOL:10.13398/.cnki.issnl673-260x.2015.22.004 解析函数是复变函数论研究的主要对象，因此，复变函 数论又称为解析函数论.解析函数不仅具有多种性质，也有 股u,等y 着广泛的应用但很多教材中，尤其物理、电信等专业的《复 φ《，y)称为电场的势函数，其等值线p《k,yc称为等势 变函数与积分变换》教材中很少涉及到解析函数的物理意 线 义及应用本文简明地介绍了解析函数的物理意义，并例举 由(2)和(3)得到偏微分方程组 了典型的应用例子，从而使解析函数的概念从抽象到具体， do-dbdp=-她 ax ayay ax 更容易让学生理解， 以上方程是C-R方程，因此得到一个解析函数 1复变函数的物理意义 wFp&,y开i动，y) 物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点 该函数称为静电场的复势函数.显然，f的复势不是唯一 对应有物理量的一个区域，可用一个复变函数表示 确定的，可以相差一个常数. 例1平面向量场的复变函数表示. 类似地，对任一既无源又无旋的平面向量场总可以构 分析：如果一个向量场E为平面场，则E上所有的向量 造一个解析函数，即复势与之对应流体力学中无旋流动的 都平行与某一个平面$这样，向量场E就可以用平面S上 的向量场来表示在平面S上采用向量的复数记法，那么向 研究中也经常用到解析函数，利用复势来刻画流动比用复 速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用 量场E就唯一地确定一个复变函数 积分.另一方面，由复势容易求流线和势线，这样可以了解流 E=E,y)+E,,y). 动的情况 这里，E,E,分别表示向量场E在x轴和y轴上的两个 例3已知平面流速场的复势f)为+乎，求流动的速 分量.反之，已知某一个复变函数W=uk,yHvk,y以，由此也可 度以及流线和等势线方程， 以作出一个对应的平面向量场 解因为f讫=k+i+1)P A=u6.y)i+v(.y)j. =x26+1P+2x6+1)i 2解析函数的物理意义 所以，势函数φ，y)和流函数业，y汾别为： 一个无源无旋的平面向量场可用一个解析函数表示， ,y=x2y+1,,y)=2x(y+1). 则这个解析函数是该平面向量场的复势函数. 在点z处的速度 例2平面静电场用解析函数表示. vf⑦2+正2x+2+1)i 分析：选取一个有代表性的平面作为z平面，设D是电 故该流体流动的水平及垂直分速分别为2x,2+1). 场中的一个单连通区域，如果D内每一点电场强度u化， 综上所述，解析函数具有明确的物理意义和广泛的应 yHiv《,y),由场论知识，有 用背景在复变函数论的课堂教学中，把解析函数及其他的 散度dF股+器-0 (D 一些概念和定理等的物理意义及应用作以介绍，对提高学生 的学习兴趣及培养他们理论联系实际的能力有很大的帮助. 电场的旋度oteu-v=0 (2) ax ay 由式(1)可知，-vdx+udy是某一个二元函数山k,y)的全 参考文献： 微分，即有 [1]钟玉泉.复变函数论M.高等教育出版社，2004 业=-v,驰u [2]华中科技大学数学系，复变函数与积分变换（第三版）M (3) ay 高等教育出版社，2008. 山k,y称为电场的力函数，其等值线山，y片c称为电力 [3〕余家荣.复变函数[M川.高等教育出版社，2005. 线。 [4们张全锋，等.解析函数在平面静电场中的应用性研究.吉 由（②可知，存在函数p,y),使得 林师范大学学报2013(2)：84-86. -5- ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
Vol. 31 No.11 Nov. 2015 赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition） 第 31 卷 第 11 期（下） 2015 年 11 月 解析函数是复变函数论研究的主要对象，因此，复变函 数论又称为解析函数论.解析函数不仅具有多种性质，也有 着广泛的应用.但很多教材中，尤其物理、电信等专业的《复 变函数与积分变换》教材中很少涉及到解析函数的物理意 义及应用.本文简明地介绍了解析函数的物理意义，并例举 了典型的应用例子，从而使解析函数的概念从抽象到具体， 更容易让学生理解. 1 复变函数的物理意义 物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点 对应有物理量的一个区域，可用一个复变函数表示. 例 1 平面向量场的复变函数表示. 分析：如果一个向量场 E 为平面场，则 E 上所有的向量 都平行与某一个平面 S.这样，向量场 E 就可以用平面 S 上 的向量场来表示.在平面 S 上采用向量的复数记法，那么向 量场 E 就唯一地确定一个复变函数 E=Ex(x,y)+iEy(x,y). 这里，Ex，Ey 分别表示向量场 E 在 x 轴和 y 轴上的两个 分量.反之，已知某一个复变函数 w=u(x,y)+iv(x,y)，由此也可 以作出一个对应的平面向量场 A=u(x,y)i 軆+v(x,y)j 軆. 2 解析函数的物理意义 一个无源无旋的平面向量场可用一个解析函数表示， 则这个解析函数是该平面向量场的复势函数. 例 2 平面静电场用解析函数表示. 分析：选取一个有代表性的平面作为 z 平面，设 D 是电 场中的一个单连通区域，如果 D 内每一点电场强度 f(z)=u(x, y)+iv(x,y)，由场论知识，有 散度 divf= 鄣u 鄣x + 鄣v 鄣y =0 （1） 电场的旋度 rotf= 鄣u 鄣x - 鄣v 鄣y =0 （2） 由式（1）可知，-vdx+udy 是某一个二元函数 ψ(x,y)的全 微分，即有 鄣ψ 鄣x =-v，鄣ψ 鄣y =u （3） ψ(x,y)称为电场的力函数，其等值线 ψ(x,y)=c 称为电力 线. 由（2）可知，存在函数 φ(x,y)，使得 鄣φ 鄣x =u，鄣φ 鄣y =v φ(x,y)称为电场的势函数，其等值线 φ(x,y)=c 称为等势 线. 由（2）和（3）得到偏微分方程组 鄣φ 鄣x = 鄣ψ 鄣y ，鄣φ 鄣y =- 鄣ψ 鄣x 以上方程是 C-R 方程，因此得到一个解析函数 w(z)=φ(x,y)+iψ(x,y) 该函数称为静电场的复势函数.显然，f 的复势不是唯一 确定的，可以相差一个常数. 类似地，对任一既无源又无旋的平面向量场总可以构 造一个解析函数，即复势与之对应.流体力学中无旋流动的 研究中也经常用到解析函数，利用复势来刻画流动比用复 速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用 积分.另一方面，由复势容易求流线和势线，这样可以了解流 动的情况. 例 3 已知平面流速场的复势 f(z)为(z+i)2 ，求流动的速 度以及流线和等势线方程. 解 因为 f(z)=(z+i)2 =[x+i(y+1)]2 =x2 -(y+1)2 +2x(y+1)i 所以，势函数 φ(x,y)和流函数 ψ(x,y)分别为: φ(x,y)=x2 -(y+1)2 ，ψ(x,y)=2x(y+1). 在点 z 处的速度 v(z)=f'(z)=2(z+i)=2x+2(y+1)i. 故该流体流动的水平及垂直分速分别为 2x,2(y+1). 综上所述，解析函数具有明确的物理意义和广泛的应 用背景.在复变函数论的课堂教学中，把解析函数及其他的 一些概念和定理等的物理意义及应用作以介绍，对提高学生 的学习兴趣及培养他们理论联系实际的能力有很大的帮助. —————————— 参考文献： 〔1〕钟玉泉.复变函数论[M].高等教育出版社,2004. 〔2〕华中科技大学数学系,复变函数与积分变换(第三版)[M]. 高等教育出版社，2008. 〔3〕余家荣.复变函数[M].高等教育出版社,2005. 〔4〕张金锋,等.解析函数在平面静电场中的应用性研究[J].吉 林师范大学学报 2013（2）：84-86. 解析函数的物理意义及其应用 瑛 瑛 （呼伦贝尔学院 数学统计学院， 内蒙古 海拉尔 021008） 摘 要：本文阐述了复变函数和解析函数的物理意义，给出了它们的应用举例，从而强调了解析函数的物理意义在复变 函数论教学中的重要性. 关键词：复变函数； 解析函数； 物理意义 中图分类号：O174.5 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）11-0005-01 5- - DOI:10.13398/j.cnki.issn1673-260x.2015.22.004