目 录 第十二章数项级数… §1级数的收敛性… …1 §2正项级数 6 一正项级数收敛性的一般判别原则 …6 二比式判别法和根式判别法 …8 三积分判别法… 12 米四拉贝判别法… …14 §3一般项级数… 17 交错级数… …17 二 绝对收敛级数及其性质… 18 三阿贝耳判别法和狄利克雷判别法… … 22 第十三章函数列与函数项级数 §1一致收敛性 …26 一函数列及其一致收敛性… …26 二函数项级数及其一致收敛性… 30 三函数项级数的一致收敛性判别法 32 §2一致收敛函数列与函数项级数的性质 36 第十四章幂级数… 44 S1幂级数… 44 一幂级数的收敛区间… 44 二幂级数的性质… 47 三幂级数的运算… 49 §2函数的幂级数展开 52 一泰勒级数… 52 二初等函数的幂级数展开式… 3 *§3复变量的指数函数·欧拉公式… 58 第十五章傅里叶级数… 62 S1傅里叶级数… 62 一三角级数·正交函数系 62 二以2π为周期的函数的傅里叶级数 64
包 录 三收敛定理……65 §2以2l为周期的函数的展开式… 71 一以2L为周期的函数的傅里叶级数… 71 二偶函数与奇函数的傅里叶级数… 72 S3收敛定理的证明… 78 第十六章多元函数的极限与连续… 85 §1平面点集与多元函数 85 一平面点集… 85 二R上的完备性定理 88 三二元函数… % 四n元函数… 91 §2二元函数的极限 93 一二元函数的极限… 93 累次极限… 97 §3二元函数的连续性… 100 二元函数的连续性概念… 100 二有界闭域上连续函数的性质 102 第十七章多元函数微分学 … 107 §1可微性 … 107 一可微性与全微分… … 107 二偏导数… 108 三可微性条件 110 四可微性几何意义及应用… 112 S2复合函数微分法… 118 复合函数的求导法则… 118 二复合函数的全微分 … 122 §3方向导数与梯度 … 124 §4泰勒公式与极值问题 … 127 高阶偏导数 127 二中值定理和泰勒公式 133 三极值问题… 136 第十八章隐函数定理及其应用… 144 §1隐函数 …… 144 一隐函数概念… 144 二隐函数存在性条件的分析… 145 三隐函数定理…… 146 四隐函数求导举例…。 149
目 录 3 §2隐函数组 152 一隐函数组概念 152 二隐函数组定理… 152 三反函数组与坐标变换 154 §3几何应用 … 159 平面曲线的切线与法线… 159 二空间曲线的切线与法平面… 159 曲面的切平面与法线。 162 S4条件极值… 164 第十九章含参量积分 172 §1含参量正常积分 172 §2含参量反常积分 … 179 一一致收敛性及其判别法 179 二 含参量反常积分的性质… 184 §3欧拉积分 190 一Γ函数 190 二B函数 192 三下函数与B函数之间的关系 194 第二十章曲线积分… 197 §1第一型曲线积分 197 一第一型曲线积分的定义… 197 二第一型曲线积分的计算 198 §2第二型曲线积分… 202 一第二型曲线积分的定义 202 二第二型曲线积分的计算… 204 *三两类曲线积分的联系… 208 第二十一章重积分… 211 S1二重积分概念… 211 平面图形的面积“ 211 二二重积分的定义及其存在性… 213 三二重积分的性质 216 S2直角坐标系下二重积分的计算… 218 §3格林公式·曲线积分与路线的无关性 224 一格林公式…… 224 二曲线积分与路线的无关性 227 §4二重积分的变量变换 …233 二重积分的变量变换公式 … 233
目录 二用极坐标计算二重积分 237 §5三重积分 243 一三重积分的概念… 243 二 化三重积分为累次积分 244 三三重积分换元法 247 §6重积分的应用 252 一曲面的面积… 252 二 重心 …255 三转动惯量 256 四引力… 258 §7n重积分… 260 ·§8反常二重积分 … 266 一无界区域上的二重积分… 266 二无界函数的二重积分 271 *S9在一般条件下重积分变量变换公式的证明…272 第二十二章曲面积分… 280 §1第一型曲面积分… 280 一第一型曲面积分的概念… 280 二第一型曲面积分的计算 280 §2第二型曲面积分… 283 一 曲面的侧……。 283 二第二型曲面积分概念… 284 三 第二型曲面积分的计算… … 286 *四两类曲面积分的联系 288 §3高斯公式与斯托克斯公式 290 高斯公式…… 290 二斯托克斯公式… 292 S4场论初步 297 一场的概念… 297 二梯度场… 298 三散度场… 299 四旋度场…“ 301 五管量场与有势场… 303 *第二十三章流形上微积分学初阶… 307 §1n维欧氏空间与向量函数 307 一n维欧氏空间… 307 二问量函数… 309
目 录 三向量函数的极限与连续… …310 §2向量函数的微分 313 可徽性与可微条件 313 二可微函数的性质 317 三黑赛矩阵与极值 320 §3反函数定理和隐函数定理 323 、 一反函数定理… 323 二隐函数定理 326 三拉格朗日乘数法 329 §4外积、微分形式与一般斯托克斯公式 331 一从定积分和二重积分变换公式谈起… 331 二向量的外积及它与相应行列式的关系 …332 三 外积与微分形式…332 四微分形式的外微分…334 五雅可比行列式符号的几何意义（二维情况）… 334 六用外积来理解多重积分的变量变换公式… 335 七行列式符号的几何解释… 336 八一般的斯托克斯公式 338 习题答案 342 索 引 361 人名索引…。 365
第十二章 数项级数 §1级数的收敛性 读者已经在初等数学中知道：有限个实数u1,u2,…,un相加，其结果是一 个实数.本章将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.例如，在第 二章提到〈庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那 一部分的长度“加”起来： +是+员+…++… 这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面 由“无限个数相加”的表达式 1+(-1)+1+(-1)+ 中，如果将它写作 (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…, 其结果无疑是0，如写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+…=1+0+0+0+…, 其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加” 是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，“无限个数相加”不能简单地引 用有限个数相加的概念，而需建立它本身严格的理论. 定义1给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1+u2+…+un+… (1) 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中un称为数项级数(1)的通项， 数项级数(1)也常写作：∑4，或简单写作u 数项级数(1)的前n项之和，记为 Sn=4=41+2+…+, (2) 2= 称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和。 定义2若数项级数(1)的部分和数列{Sn}收敛于S(即lim S=S),则称
第十二章数项级数 数项级数(1)收敛，称S为数项级数(1)的和，记作 S=u1+u2+…+un+…或S=∑un 若{Sn}是发散数列，则称数项级数(1)发散， 例1讨论等比级数（也称为几何级数） a+ag+ag2+…+aq”+… (3) 的收敛性(a≠0). 解q≠1时，级数(3)的第n个部分和 S=a+ag+…+ag-1=a.1-g 1-q 因此， (i)当q1时，lim S=oo,级数(3)发散. (ii)当q=1时，Sn=na,级数发散.。 当q=-1时，S2k=0,S2k+1=a,k=0,1,2,…,级数发散。 总之，|q|<1时，级数(3)收敛；q≥1时，级数(3)发散. 0 例2讨论数项级数 1 12+2:3+…+n(m++ (4) 的收敛性 解级数(4)的第n个部分和 .=2+23+++ 1 =(1-2)+(分-+…+(0-m+） 1-n+1 由于 照s。=m(1-n十i)=1, 因此级数(4)收敛，且 12+23+…+n(n+D+…=1. 0 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它的部分和数列{S}来确 4
§1级数的收敛性 3 定，因而也可把级数(1)作为数列{Sn}的另一种表现形式.反之，任给一个数列 {an},如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 之，=a1+(a2-a1+(a-ag）+…+(an-a)+. (5) 这时数列{an}与级数(5)具有相同的敛散性，且当{an}收敛时，其极限值就是级 数(5)的和. 基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质推出下面有关 级数的一些定理 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数(1)收敛的充要条件是：任给正数 e,总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p,都有 um+l+um+2++umtpN)和po,有 um,+1+umn+2+…+um,+p。≥e0 (7) 由定理12.1立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件 推论若级数(1)收敛，则 limu =0. 例3讨论调和级数 1+分+}+…++… 的敛散性， 解这里调和级数显然满足推论的结论，即 limu lim 1=0. 但令p=m时，有 =2 因此，取0=，对任何正整数N,只要m>N和力=m就有(7)式成立.所以 调和级数是发散的 例4应用级数收敛的柯西准则证明级数1收敛。 n
第十二章数项级数 证由于 um+1+m+2+…+m+p 1 1 1 =(m+1y+(m+2+…+ (m+p)2 N及对任意正整数力，由上式就有 |um++un+2+…+u+pN及对任意正整数p恒有(6)式成立.由此可见，一个级数 是否收敛与级数前面有限项的取值无关.从而我们可得到以下定理！ 定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 由此定理知道，若级数∑un收敛，其和为S,则级数 un+1+u+2+ (8) 也收敛，且其和Rn=S-S.·(8)式称为级数∑un的第n个余项（或简称余项）， 它表示以部分和S,n代替S时所产生的误差 定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不 改变它的和， 证设∑un为收敛级数，其和为S.记 v1=u1+…+儿m,2=n,t1+…+un2’…, g=%-1+1+…+n’… 现在证明公4，加括号后的级数习(“，1+…+“)=∑也收敛，且其和 b1 也是S.事实上，设{Sn}为收敛级数∑um的部分和数列，则级数∑vk的部分和
§1级数的收敛性 5 数列{Sm,}是{Sn}的一个子列.由于{Sn}收敛，且1imSn=S.故由子列性质， {S%,}也收敛，且imS,=S,即级数∑uk收敛，且它的和也等于S 0 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如 (1-1)+（1-1)+…+(1-1)+…=0+0+0+…=0 收敛，但级数 1-1+1-1+… 却是发散的， 习 题 1.证明下列级数的收敛性，并求其和数： ()6+6+6+…+5m-45m+n+…, 2)(分+号）+（空+）++（品+）+… (3)aa+ia+2 (④ga*2-2/+1+a: 5)822 2.证明：若级数∑un发散，c≠0，则∑cun也发散. 3.设级数∑un与∑vn都发散，试问∑(wn+a)一定发散吗？又若n与(n=1,2, …)都是非负数，则能得出什么结论？ 4.证明：若数列1a,}收敛于，则级数∑(a。-a+1)=a1-a. 5.证明：若数列{bn}有1imbn=o,则 (1)级数∑(b+1-bn)发散； (2)当6,0时，级数（合6）= 6.应用第4,5题的结果求下列级数的和： (a会a+-a+n: 1 2)(-10+12a品 n(n+1) (3)含+aD+ 2n+1 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性： 0架， (2)2”-'a 2n2+1: (3)-1 (4)2 √n+m
