好玩的数学 张景中主编 郁祖权著 黄澍指 中国古算解趣 展示“寓理于算，不证自明”的技艺 锤炼“小中见大，鸡刀宰牛”的功夫 2 131 P科学女恭
回总序 方法。 中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想， 曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助 于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法， 发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的《中国 古算解趣)，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺 术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沽酒等40余 个中国古算名题以题说法，讲解我国古代很有影响 的一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背 景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的 生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物。 读一读《好玩的数学》，玩一玩数学，是消闲娱 乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再 多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感觉。 举两个例子： 《中国古算解趣》第37节，讲了一个“三翁垂钓” 的题目。与此题类似，有个“五猴分桃”的趣题在世 界上广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政 道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国 科学技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题， 据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做 过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。 李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾 用高阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个 巧妙的解法。其实，仔细想想，有一个十分简单有趣 的解法，小学生都不难理解
好玩的数学 中国古算解趣 原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因 为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。 过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没 来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个， 就将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多 久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过， 还以为自己是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起 来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1 个，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子 都是这样…问这5只猴子至少摘了多少个桃子？第 5个猴子走后还剩多少个桃子？ 思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实 际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。 好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的 桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚 好均分成5堆，就容易算了。 想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够 被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个 桃子还了，可知5只猴子至少摘了3121个桃子。 容易算出，最后剩下至少1024-4=1020个桃子。 细细地算，就是： 设这1堆桃子至少有x个，借给它们4个，成为 x+4个。 5个猴子分别拿了a,b,c,d,e个桃子（其中 包括吃掉的一个)，则可得 a=(x+4)/5
◎总序 b=4（x+4)/25 c=16(x+4)/125 d=64(x+4)/625 e=256(x+4)/3125 e应为整数，而256不能被5整除，所以（x+4) 应是3125的倍数，所以 (x+4)=3125k(k取自然数) 当k=1时，x=3121 答案是，这5个猴子至少摘了3121个桃子。 这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似 变换法，也是数学方法论研究中特别看重的“映射-反 演”法。小中见大，也是数学好玩之处。 在《说不尽的π》的5,3节，谈到了祖冲之的密 率355/113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而 精确度很高。在所有分母不超过113的分数当中，和 π最接近的就是355/113。不但如此，华罗庚在《数 论导引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过 336的分数当中，和π最接近的还是355/113。后来， 在夏道行教授所著《π和e》一书中，用连分数的方法 证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和π最 接近的仍然是355/113，大大改进了336这个界限。 有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竞能把 8000这个界限提高到16500以上！ 根据π=3.1415926535897…，可得1355/113-π< 0.00000026677,如果有个分数q/p比355/113更接近π， 一定会有 vii
目 录 总序 前言 1苏武牧羊…1 为什么规定十九年七闰 祖冲之的贡献 2粒米求程…5 积黍起度 3排鱼求数…8 我国古代的计量制度 4三藏取经…12 数的传说 5洛书释数…16 杨辉和他的纵横图 6竿察求长…22 “九九表”自荐的故事 筹算和珠算 好玩的数学 7方田求积…26 《九章算术》 XV
8凫雁相逢…30 刘徽一中国第一代知名数学家 9书生分卷…35 胡术五、黄澍寻访程大位故居 好玩的数 10以碗知僧…40 珠算一代宗师一一程大位 11五渠灌水…44 更相减损术 12三女归宁… 49 最小公倍数 13环山相会… 52 从“三女归宁”到“环山相会” 五星同会 14三兵巡营…59 求周期 15船缸均载…64 怎样开平方 怎样记(a+b)·的公式 16圆田求积…70 刘徽剖圆 17系羊问聚…76 xvi
珠算宝典一—一《算法统宗》 18推车问里…80 祖冲之的“约率”和“密率” 连分数 19僧分馒头…89 “生金蛋的母鸡”一“今有术”简介 20客去忘衣…98 反比例和连比例 21互易推本…105 22诵课倍增…109 吴散与《九章算法比类大全》 23三等赔偿…112 衰分术简介 24浮晨增级…120 我国最早的数学选拔赛 25李白沽酒…123 递推公式a.+1=ca.+d的应用 26群羊逐草.…131 一次假设法 玩的数学 27隔墙分银…137 盈不足术简介 xvii
28蒲莞同高…143 二次假设法 29双鼎穿垣…150 盈不足术的应用与探究 30摊兔同笼…159 好玩的数学 我国古代的方程理论 31物不知数…166 从“物不知数”谈起 《孙子算经》 32古算摘奇…171 二谈“物不知数” 33韩信点兵…176 孙子定理 34三偷盗米…183 “大衍求一术”浅说 35百鸡问题…195 时日醇勤奋治学 陈景润解“百鸡问题” 36裤兔限歌…201 更相减损法和二元一次不定方程 xviii
1苏武牧羊 当年苏武去北边 不知去了几多年 分明记得天边月 二百三十五番圆 答曰：一十九年 选自（算法统宗》 蘇武绒年 11
好玩的数学 中国古算解趣 苏武是西汉的使者，在公元100年奉命出使匈奴，被匈奴 扣留并多方威胁诱降，始终坚贞不屈，大义凛然。后被流放北 海（今贝加尔湖）牧羊，生活非常艰苦，不知过了多少年月， 只记得天上月亮整整圆了235次，问苏武流放了多少年？ 这是一个简单的小学数学题，用算式表示就是 235÷12=19…7 本题不能答为十九年零七个月。因为根据中国农历十九年 应有七个闰月，所以苏武在北海流放了十九年，直到匈奴与汉 朝和好才遣送回国。 古往今来 为什么规定十九年七闰 这是一个必须解决的实际问题，千百年来汇集了几十代数 学家、天文学家的智慧和心血。 大家知道，地球绕太阳一周所需的日数为一年。月亮绕地 球一周所需的日数为一月。通常认为一年是360天，一月是 30天，这样一年共有360÷30=12个月。其实这是很不精确 的数据。 我国对历法的研究有着悠久的历史，积累了大量的数据， 有丰硕的研究成果。秦始皇统一六国以后，根据长期观测的数 据，定一年为3654天，一月为298天。依据这个结果须布 了统一的历法，叫颛顼历(zhuān如是传说中古代部族的领 袖，号高阳氏。实际上颛顼历在周朝末年已经制定，秦朝统一 施行)。这样一年应有 2