★工程数学丛书 复变函数 与积分变换（第三版） ● 华中科技大学数学系 斋 高等教育出版杜
序 在高等学校理工科专业的数学教育体系中，“工程数学”一直是属 于具有重要地位的课程系列，当前，节新之风正吹遍高等教育界：课程 重组，内容改造与学时调整的呼声口益高涨.在此形势下，工程数学课 程经受了严峻的考验，它作为学习现代科学技术所不可缺少的重要基 础课，其地位丝毫没有动摇 然而，这绝不意味着现存的“上程数学”课程体系已经完美无缺；更 不意味着数学教育界除了墨守成规之外别无所为.恰好相反，面对现代 科学技术飞速发展的形势，面对教育界对数学训练质量的愈来愈高的 期待，数学工作者革新“工程数学”课程的任务更为紧迫！止是意识到时 代的需要与自己的职责，我们全力推出这套“下程数学”教材早献给读 者 华中科技大学数学系几十年来-…直在组织力量探索“上程数学”课 程的新的内容体系与教学方法，先后编与了百余万字的教材与讲义，在 多年使用过程中不断提烁，逐步趋于完善，应该说，本套教材止是这一 长期探索过程的产物，它凝结了华中科技大学数学系几代教师的心血、 当然，具体执笔的教师对教材的最终成型作出了决定性的贡献 本套教材先分《线性代数》、《概率论与数理统计》、《计算方法》、《复 变函数与积分变换》和《数学物理方程与特殊函数》五册出版，编者在取 材上允分考虑到新世纪对科技人员数学知识的要求：在内容处理上力 求联系理工科专业的实际需要，注重培养学生的基本运算能力、分析问 题与解决问题的能力：在表述上力求清晰易读，便于教学与自学，本套 教材配备了较丰富的例题与习题，它们大多源于教师在自身教学中的 积累，既具有明显的启发性，义具有典型的应州意义，书未所附的习题 答案与提示供教师与学生在教学中参考.本套教材可供高等学校理工 科各专业（非数学）使用. 本套教材的编写自始至终得到华中科技大学教务处及数学系的女
序 持，也得到华中科技大学数学系全体教师的协助与鼓励.高等教育出版 社的宝贵支持，使本套款材得以顺利出版、对此，我们一并表示衷心的 感谢. 刘次华 2003年5月于武汉
第二版前言 本书是在《复变函数与积分变换》（高等教育出版杜1999牛出版》 的基础上，广泛吸取校内外教师的意见后修订而成的.从这几年使用 第1版教材的高校教师的反馈情况来看，普遍认为本教材取材合理、叙 述清楚、简明精要、易于教学、每章后的小结使于学生提纲挈领地掌握 本章内容.因此，新版在主要内容和结构框架上未作天的改动，但从教 学角度出发对语句逃行了仔细的推敲，收写了一些陈述，调整了例、习 题的配置. 总的来说，新版保特了原书简明精要、逻辑严漢、论述清晰、例习题 丰膏、实用性强、使于自学等特色.另与本教材配套的学习辅导教材即 将由高等教育出版社出版。 对曾使用过第】版教材的各位教师和读者表小示衷心的感谢，正是 依据你们使用后的意见，作者在第2版中修正.了不少错漏，使得本书更 趋完善. 本书共分九章，外加两个附录，其中第·、二、三、四、五及第七章由 李红教授执笔；第六、八、九章及附录由谢松法副教授执笔.胡适耕教授 审阅、修改，并作了详尽的具体指导 编者 2003年5月于华中料技大学
第一版前言 复变函数课程的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主 要研究对象是解析函数 复变函数论是一门古老面富有生命力的学科.早在19世纪， Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已给这门学科奠定了坚实的 理论基础.作为一种有力的工具，复变函数论广泛地应用于自然科学的 众多领域，如理论物理、空气动力学、流体办学、弹性力学、地质学及自 动控制学等等 一般而言、积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另-一个函数的 变换.这里所说的积分变换是指傅里叶变换与拉普拉斯变换，它马复变函 数有着密切的联系.它的理论与方法不仅在数学：的许多分支中，而且在H 它自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用，它已成为不可缺少 的运算工具， 复变函数又称复分析，是实变函数微积分的推广与发展.因此它不 仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而月在研究问趣的方 法与逻辑结构方面也很类似，当然，复变函数也有月身的特点，有自已 的研究工具和方法，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而 加深理解，同时须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理 论和方法， 积分变换与复变函数一样，也是在实变函数微积分的基础上发展 起来的，因此在学习中也应特别注意分清异同点，这样才能抓住要点、 融会贯通· 编写本书的主要扫的是为理工科本科生提供一本比较系统完整的 “复变函数与积分变换”教材.编者一方而汇总了国内同类教材的主要 优点：另一方面融合了我校众多教师长期讲授该门课程的经验体会，力 求思路清晰、推证简洁且可读性强，从而满足广大师生的教、学需求
第一版前言 本书在每一章后精心设计了“小结”，可帮助读者更清楚明了地把 握学习要点，更深刻地理解该章的主要学习内容.大部分章节还给出了 思考题，帮助读者对所学内容进行检验，启发并训练读者的独立思考能 力与分析能力，全书习题是经过教学实践中不断积累更新而成，其内容 涵盖了全书主要讲授内容的基本概念、基本理论和基本方法.既有~般 的基础习题，也有难度较大的提高题、书末除对计算题给出答案外，还 对有些必要的摊题给出了提示，其目的在于帮助读者尽快掌握本书所 讲授的内容 本书适当地介绍了本学科与其它学科之间的联系，给出了一些实 际应用问题以帮助读者加深对课程的理解，培养解决实际问题的能力， 从而达到学为所用的最终目的 目录中打“”号的章节、可根据各专业的不同需要选用.在本书的 完成过程中，自始至终得到了本校数学系领导和同仁]的大力支持，没 有他们的热情鼓励和帮助，本书不可能如期顺利出版，在此向他们表示 衷心的感谢！ 本书共分九章，外加两个附录，其中第一、二、三、四，五及第七章出 李红副教授执笔；第六、八、儿章及附录由谢松法副教授执笔，胡适耕教 授审阅、修改，并作了详尽的具体指导， 编者
目 录 第二版前言………… (1) 第一版前言…… (3) 第一章复数与复变函数……………… ………… (1) 81.1复数 (1) 81.2复数的.二角表示 (5) 1.3平面点集的·…般概念………… …(15) §1.4无穷大与复球面……………… ……………(19) 1.5复变函数…………………… ….………(22) 本章小结 (27) 思考题………… (28) 习题-·…… (28) 第二章解析函数 (31) 82.1解析函数的概念 (31) $2.2解析函数和调和函数的关系………(37) 2.3初等函数… (41) 本章小结 (51) 思考题……… (52) 习题二 (52) 第三章复变函数的积分 (55) 3.1复积分的概念…………… (55) 3.2柯西积分定理……………… ·… (60) 3.3柯西积分公式………………… (67) 3.4解析函数的高阶导数 (72) 本章小结 (76) 思考题 (77)
2 目 录 习题三 …………(77) 第四章解析函数的级数表示 ……………(79) S4.1复数项级数…… + (79) 4.2复变函数项级数………………(82) S4.3泰勒级数……………… (88) 4.4洛朗级数……………………………………… (94) 本章小结 (99) 思考题……………… (100) 习题四…… (100) 第五章留数及其应用………………………(102) 5.1孤立奇点 (102) §5.2留数 (111) 85.3留数在定积分计算中的应用 (120) “85.4对数留数与辐角原理 ……………………(126) 本章小结… (132) 思考题……… (132) 习题五……… …(133) 第六章共形映射… .……………(135) 6.1共形映射的概念 …………(135) $6.2共形映射的基本问题 …………………(139) 6.3分式线性映射 … …………………(142) §6.4几个初等函数构成的共形映射 …………………(155) 本章小结……… (164) 习题六……… (165) ·第七章解析函数在平面场的应用 ……………(167) §7.1复势的概念 (167) 87.2复势的应用 (173) §7.3用共形映射的方法研究平面场 (178) 本章小结………… (181) 思考题……… (182)
目录 3 习题七… (182) 第八章傅里叶变换………………… (183) 8.1傅里叶变换的概念 (183) $8.2单位脉冲函数(6函数)…………………………(192) §8.3傅里叶变换的性质 …………………………(197) 本章小结… (209) 习题八…… (210) 第九章拉普拉斯变换…………… …………(213) §9.1拉普拉斯变换的概念 ………………(213) 9.2拉氏变换的性质………… ……………(217) 89.3拉普拉斯逆变换 ……… (227) §9.4拉氏变换的应用及综合举例 …… (230) 本章小结…………… …………… (234) 习题九…… (235) 附录1傅氏变换简表…… (238) 附录2拉氏变换简表 (241) 习题答案· (246)
第一章复数与复变函数 复变函数论中所研究的函数的出变量与因变量均取复数.因此，首 先对于复数域以及复变量的函数要有清晰的认识.本章论述复数的基 本概念、复数的四则运算、复数的三角表示、平面点集的一般概念及其 复数表示，以及复变量连续函数.复数的概念、四则运算以及三角表示 在现行中学数学课本中已经涉攻，们可能有的读者未曾学到，因此这里 仍从头开始，由于复数全体可以同平面上的点的全体作成一一对成，所 以平面点集以后经常要用到.这甩仅介绍平面点集的··般概念，学习将 某些简单的平面点集用含复变数的等式或不等式来表示的方法，关于 复变函数，本章主要讨论连续函数的性质.许多定义与结果形式【：看与 高等数学中所学的颇为相似，但意义已不尽机同.希望读者在开始学习 时就特别留意， $1.1复数 §1.1.1复数的基本概念 我们将形如x=x十y的数称为复数.其中i称为虚数单位，并规 定2=i·i=一1.或i=√二1；x与y是任意实数，依次称为x的实部 (Rcal)与虚部(Imaginary),分别表小为 Rez=x,Im之=y, 例如，对复数x=2十i,有 Re=v2,Im-1. 当y=0时，之=x+iy=x十i0,我」就认为它是实数x;当3二0 时，=x十iy=0+iy,我们称它为纯虚数，并且就写作iy.例如2+i0就 是实数2；0+3i是纯虚数，可以马战3i;而0+0i即可看作实数0，也可