D01:10.16163/i.cki.221123/n.1989.04.005 第4两 东北师大学报自然科学版 No.4 .1889年 JOURNAL OF NORTHEAST NORMAL UNIVERSITY 1989 关于多值解析函数支点的判定条件 马骥良 (吉林师范学院) 摘要文献〔1)中讨论了如何对多位解析函效分出单值分支，即分出多值解析 函数的单位区域问题，纶出了关于根式函数√厂P()(P()是多项式)，对数 西数Ln,一般最函数：”及反三角函数1rcCo3z,Actg等的支点的求法判 定条件。本文应用正纯西数的性质及幅角原理给出某些更一般的多值函数支点 的几个充要条件，推广了〔1)结果. 关键词正纯函数，幅角原理，多位解析函数，支点。 鉴于(1〕中支点定义欠严格（参见〔2)，为后文应用，我们把文〔2~6)中关于支 点的严格定义统一表述如下： 定义点称为多值函数的支点，如果在2，的任意领域内总存在含。在其内部的可 求长Jorpan曲线C,使动点z沿C绕：。一周时，多值函数的分支从一支变到另一支. 引理〔1)有空平面上的不恒为零的正纯函数∫()在每个闭园引≤几<十内，至 多有限个零点和极点。 推论任何有穷点都不能是不恒为零的正纯函数的零点的聚点或极点的聚点. 定理1设f()为正纯函数，f()年0则点“。(，卡∞)是多值函数0=Imf() 的支点的充要条件是z,是∫()的苓点或极点 证明应用公式： w=Imf(2)=In f()+iArgf(2) 必要性，若（十∞）既不是f()的零点，也不是其极点，由推论知z,不是零点，也 不是极点的聚点，故存在不含f()的零点和极点的的邻域U:,于是，绕行属于U:。 而含点：o。在其内的任意可求长Tordan曲线C一周时，由幅角原理有： △eArgf()=士2π(N-P) 其中N,P分别是曲线C内f()的零点和极点的个数。 由曲线C的取法知N-P=0,故△cAr9f()=0. 于是，在U:。内沿任何含：，在内部的可求长Jora曲线一周时，函数 Lnf(2)=1nlf(=)+iArgf(=) 的分支不发生变化，故。不是工mf()的支点。 充分性·设：，是f()的m级零点（或m级极点)，由山零点和极点的孤立性知，对任 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第4 为J 东 北 师 大 学 报 自 然 科 学 版 N o . 4 , 1林 。年 J O U R N A L O F N O R T H E A S T N O R M A L U N I 、 r E R S I T Y 1 9 5 9 扮 关于多值解析函数支点的判定条件 马 骥 良 ( 吉林 师 范 学院) 摘要 文南《 1 ) 中讨论 了如 何时 多位 解析 诬, 数 分 出单值 分 支 , 即 分 出 多位 解析 函数 的单位 区域 问题 , 给 出 了关 于根 式 函数 了 ` 沪吞了 ( p (幻是 多项 式) , 付数 函 数 乃。 , 一殷 幂矛,数 : “ 及 反三 角函 数 ,行。 。 。 : : , A , , 。 t g : 等的 支点 的求法 和钊 定条 件 . 本 文 应 用 正 纯 压, 数 的性 质 及 幅 角原理 给 出某些 更一 般 的 多位 函 数 支 .汽 的 几个 充要 条件 , 推 广 了〔 l 〕结 果 . 关健词 正 纯 压,数 , 幅 角原理 , 多值 解析 函 数 , 支 点 。 了 鑫 鉴于〔 l 〕中支点定 义欠严 格 ( 参见 〔 2 〕) , 为后文应用 , 我 们把文比~ 6〕中关于 支 点的严格定义统一表述如下 : 定义 点: 。称为多值 函数 的支点 , 如果在 : 。 的任意领域 内总存在含 : 。 在其内 部的可 求长 J or 尸aI 、 曲线c , 使动点 : 沿c 绕 : 。 一周 时 , 多 值函数的分支从一支变到另 一支 . 引理 〔` 〕 有空平面上 的不恒为零的正 纯 函数 f (约 在每个闭 园 1引( 几 < + O 内 , 至 多有限个零点和极点 . 推论 任何有穷点都不能是不 恒为零的正 纯 函数的零点的聚点或极点的聚点 . 定理 1 设f (习为正纯 函数 . 厂( : ) 年 o 则点” . ( ` . 子 co ) 是多值 函数。 = L o f ( : ) 的支点的充要条件是。 。 是厂( : )的零点或极点 证明 应 用公式 : 。 , L o f ( ; ) = 一n ! f ( : ) 【+ 么A: g f ( : ) 必要性 , 若: 。 (笋 co 一 ) 既不是f (习的零点 , 也不 是其极点 , 由推论知: . 不是零点 , 也 不是极点的聚点 . 故存 在不含 f ( “ ) 的零点和 极点的: 。的邻域U : 。 , 于 是 , 绕行属于 U : . 而含 点 : 。 . 在 其 内的任意可 求长 J 。 , d “ 。 曲线 C 一周 时 , 由幅角原 理 有 : △ 。 A : g f ( : ) = 士 2 二 (N 一 P ) 其中N , P 分别是 曲线C 内f (习的零点和 极点的个 数 . 由 曲线C 的取法 知N 一 P = o , 故 △ 。 A : g f (习二 。 . 于 是 , 在U : 。 内沿 任何 含: 。 在内部的可求长 J 。 : d 。 ; 曲线 一周 时 , 函数 L o f ( : ) = I n } f ( : ) {+ 落A 丁g f ( : ) 的 分支不 发生变 化 . 故 : 。不 是 L o f (力的 支点 . 充分 性 ` 设 : 。是了( : ) 的、 级零点 (或。 级极点 ) , 由零 点和 极 点的 孤立 性 知 , 对任 DOI: 10. 16163 /j . cnki . 22 -1123 /n. 1989. 04. 005
22 东北师大学报自然种学版 1888年 何8，的邻域U,必存在2的邻域Ux。使得U,。含在U:。中且除：外可，。不含f()的其它 零点和极点，设C是在辽，，内的含2o在其内部的可求长Jordan曲线，则由篇角原理得： △eArgf()=士2m六 这表明动点沿曲线C绕：。转一周时，函数Lmf()从其一支变到了另一支，故z。是 函数Lmf()的支点. 定理2当正纯数∫()的零点和极点个数有限时，0点是函数Lmf()的支点的充 要条件是N一P十0，其中N,P分别是f(z)的零点和极点的个数。 证明因为f()的零点和极点的个数有限，我们考虑不包名所有这些琴点的∞点的 邻域以及这一邻域内包含所有竖点和极点在其内部的可求长Jordan曲线C,则当动点沿 曲线C绕∞点一周时（同时也是绕所有零点和极点一周)得： △eArgf()=±2x(N-P) 出此，当且仪当V-P+0时，oo点是函数Lmf(:)的支点. 撞论设∫()具有理函数，当且仅当()的分子，分母的多项式的次数不等时， p点为函数Lmf()的支点。 应用定理1、定理2及其推论而知西数Lm号二是仅有支点：=0及=6,0点不是 其空点1雨，b这0点都是随数二号的宝点， 定3设f(:)(年0)是亚纯函数，：。(：。≠∞)是多值函数〔f(z)(x不是整数) 韵支点的光要条件是，是f(z)的级零点或饥级极点，而m使a≠整数. 证明由公式 〔f(:)〕=e6()=8ti/(:】·e·4r1(x) 意定厘1我们得到：仅当z(十)是f()的零点或极点时，°，才可能是〔f())‘的支点， 又因为当绕z,沿不含其它零点和极点在其内部的Jordα曲线C一阔时，上式得到因子 。,4).所以，当且仅当e。(:)÷1时，。是〔f()〕的支点 由懈角原理，△：Ag∫(z)=士2m（如果，是m级零点或m级极点)，枚当且仪当 m+整数时，e“,4r1()=em+1,c是(f()”的支点 定理4当〔∫()〕”有有限个有穷支点时，∞点是(f())'的支点的允婴条件是( -P)+整数，其中，N,P分别表示是函数〔f()的支点的f()的零点和极点的个数. 证明类似于定理2之证明，考虑包含所有支点在其内部的Jorda曲线，再由定 理3的证明而知结论成立) 创10= (①=)1+ (u>2) 出于f(到=1一1+）上是亚纯函数（超越），其零点为：=1(1)，=-1 】-2 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
东 北 师 大 学 报 台 然 科 学 版 生吞仓仓年 何 : 。 的邻域 U : . , 必存 在: 。的邻域U I 。 使得 U 生 。 含在U : . 中且除: . 外U 二 . 不含f (力的其它 · 冬农和极点 f , 设a 是在U 公 。内的含 ` 。在其内部的可求长 J 。祖 a 。 曲线 , 勤 由娜角厦理 得 : 百 。 A r g f (习二 土 2。 “ 这表明动点: 沿 曲线C 绕 : 。转一周 时 , 函数乃 、 f (力 从其一支变到 了另一 支 , 故: 。 是 硒 数L o f (约 的支点 . 定理 2 当正纯 数了( : ) 的零点和 极点个数有限时 . 0 点是 函数加 f (幻的支点的充 要条件是N 一 P 祷。 , 其中N , P 分别是f ( : ) 的 零点和极点的个数 . 证明 因为f (约的零点和极点的个数有限 , 我们考虑不包含所有这些零点的co 点的 邻城 以及这一 邻域 内包含所有零点和 极点在其内部的 可求长 J o r 己a 。 曲线。 , 则当动点船 曲线 口绕 o 点一周时 ( 同时也 是绕所有冬点和极点一周) 得 : △ 。 A 犷g f ( : ) = 士 2二 ( N 一 P ) 由此 , 当且仅当N 一 尸砖。时 , o 点是函数乃 : f ( : ) 的支点 . 推论 设 f (力具有理 函数 , 当且仅当f (习的分子 , 分母 的多项式的次 数不等时 , . 点为函 数加f (约的支点 . 呀 朋定理 , 、 定理 2 及 郑 论而知` 数 “ 号鱿 ~ 仅有文点“ 一 吸 `一 ” , oA 不` 其。 ; 私。 二点都。 蜘鲁 的。 . 定班 3 设 f (习 (等 0) 是亚纯 函数 . : 。 ( : 。铸 二 ) 是多值函数〔f (习〕 ’ ( , 不 是整数 ) 的支点的充要条件是 : 。 是 f ( : )的。 级零点或二级极点 , 而 . 使解祷整数 , 证口 由公式 〔f ( : )〕 ` 二 , ’ 乙 ” f “ ’ 书 , ’ ` ’` . f “ ’ { · 。 ` ’ ` 了 ’ j ` ” 及班理 1 我 们得到 : 仅当 : . (笋 二 )是 f (习的 零点或 板点时 , : . 才可能是〔f (约〕 ’ 的支龙 , 又因 为当绕 : . 沿 不含 其它零点和极点在其内部的J 。 , , d a 。 曲线C 一周时 , 上 式 得 到 国子 产 廿 ` 。 孟 护 , 了` ” . 所以 , 当且 仅当。 ` ’ 八 。 ` r , f ` ’ ) 特 z时 , : . 是〔f ( : ) 〕 ` 的支点 由幅角原理 , △ 。 A : g 厂( )z 二 土 2。 二 (如 果: . 是二级零点或 , 级 极点 ) , 故当且 仅当 勿夕笋 整数时 , 。 ` “ “ ` 通 r 夕了“ ’ = 。 上 ’ ` “ “ ` 祷 l , : 。是〔f ( : ) 〕 ’ 的支点 . 定理 4 当〔f ( z) 〕 “ 有有限个 有穷支点时 . 0 点是〔f ( : ) 〕 ` 的支 点的充要条件是 (万 , 户 ) “ 笋 整数 . 其中 , N , P 分别表 示 是函数( f (力〕 ’ 的支点的 f (习的零点和极 点的个数 . 证 明 类 似于定理 2 之 证 明 , 考虑 包含 所有支 点在 其内部的J o 川。 、 曲线 , 再 由定 理 3 的证 明而 知结论 成立 ) 丫 , 一 扩共豁蚁 ( “ > 2 , 著 f ( : ) = ( l一 乡) ( l + : ) ’ · l se 诊 ; 是 亚纯 函数 (超 越 ) , 其零点为: = ” (l 级) , : = 一 1 何由于l
第4期 马翼良：关子多值解析函数支点的判定条件 23 （2级)；极点为=2kx(肠=0，土1，士2，…）（1级）山定理3，它们椰是函数D的支 点。o点是极点的极限点. 例2w=√Co82 它的支点为=至+kx(k=0,士1，土2…). ∞点都是这些支点的极限点， 创3w=√"1二in: 由f()=1-sm'的零点：=天十k(k=0,±1，士3，…)都是m=2级的，而《= 2 分照2=1，故零点都不是0的支点，从前o∞点也不是如支点，国数0无支点，它量山 两个“独立”单位分支coSz和一心os:纽成的函数。 应用上述定理，易于解决一些常见的初等多值函数的支点问题。例如： 1.根式函数√：，√p()(P()是多项式)，√R()(R()是有理函数)改 一般器函数等都：'是定理3,4的特例。 2.对数西数工，反正切函数4r(e这n法》 反双曲线正切函数Arc 平 -号牛)将都是定避1、2的特侧，并且可炎制地求得反正鲨西数。反会城 面数，这双曲正弦余弦函数的支点. 参考文献 1 A,N,马库要维奇.解析函数论简明教程.人民教育出版社，1961 2赵得春.关于函数支点的讨论.青海师院学报《自然科学报)，1981，(1)： 13 3华罗庚.商等墩学引论，二卷一分册 4余家米.复变函数.人民教有出版社，1979 5钟玉泉.复变函数论.人民教育出版社，1979 6李锐大.程其囊.复变函数论，人民教疗出版社，1979 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 4 期 马软良 : 关于多值解析函数文点的到定条件 讨 ( 级 2 ) , 极点为` 二 2希时 (石, 。 , 士 1 , 士 2 , : ) ( 1 级 ) 山定理 。 , 它们 都是函教切的支 点 . ao 点是极点的极限点 . 例 2 。 = 扩飞蔽落 - 它的支点为: 一 牛 十` : ( ` 一 “ , 土 ` , 土 2 , … 。 点都是这些支点的极限 点 . 倒 3 侧 二 扩 一 1二匆砂 : 由f ( “ ) 一 `一 “ ,` ’ : 的零点 ` 一 晋 、 十 ` 汀 ( ” 一 。 , 土 ` , 土 2 , … ) 都是“ 一 2 ` 的 , 而 “ - 冬 , . 、 = , , 故零点都不是 w 灼 支 点 , 从而 o 点也不 是。 支 点 , 函数。 无支点 . 它 是 山 才 两个 ` 独立 ” 单 位分支 C 。 ” 和 一 叻女 组成的 函数 ` 应用上述定理 . 易于解决一些常见 的初等多值函数的支点问题 . 例如 : 1 . 根式 函数 了 牙 , 了 , 丈石了 ( p (习是多项式 ) , 了 豆硬蔺厂(R ( 幻是有理 函数) 及 一般幕 函数等都 : ’ 是定理 3 , 4 的特例 . 2 · 对教。 抓一 ; 正 切 函数` 。 ` , ( 一 会枷 一 }姗) , 反双 。缘正切。 数 、 。 呵 ·扣资分 等都是定理 ’ 、 函称 , 反双 曲正弦余弦 函数的支点 . 2 的 特侧 , 并且 可类似地求 得反正弥函数 。 反余花 今 考 文 做 入 、 N , 马库要维奇 . 解析函数论简 明教程 . 人民教育 出版社 , 1 , 61 赵得春 . 关于 函数支点的讨论 . 青海师院学报 ( 自然科学报 ) , 1身创 l 、 3 华罗庚 . 高等教学引 论 , 二 卷一分 册 余 家荣 . 复变 函数 . 人 民教育出版社 , 1 0 7。 钟玉泉 . 复变 函数论 . 人民教育 出版社 , 1 9 7。 李锐夫 . 程其囊 . 复变函数论 , 人 民教育 出版社 , 10 7 9 ( 1 ) 全
24 东北师大学报自然科学版 18年 SOME DECISION CONDITIONS OF BRANCH POINT OF MANY-VALUED ANALYTIC FUNCTION Ma Jiliang Abstract In this paper,using Properties of meromorphic function and argument principle,we give some sufficient dan necessary conditions of the branch point,and improved seme results deseribed 1n〔1). Key words:Meromorphic function,Argument principle,Many-valued Analytic function,Branch point. 《人文地理学概论》书再版发行 东北师大地理系张文奎教授主编的《人文地理学概论》一书，于1989年6月由东北 师大出版，全书440千字，已发行22000余册。本书是根据国家教委1987年委托制订的地 理专业《人文地理学概论教学大纲》，在初版的基础上重新编写的。考虑到人文地理学 的研究内容与当前国内外关注的问题，副去了经济地理学内容，避免与各校专门开设的 经济地理导论课程重复。增加了“人文地理学的基本理论问题”、“历史地理学”、“人 文地理学与全球主要问题”等3章，其他某些章节也作了适当调整，使全书内容、体系 更为系统与完整。本书计11章，前3章论述了人文地理学的研究对象、任务和方法及发腰 史：第四章介绍了人文地理学有关人地关系论、区位论、行为论等基本理论问题。第 5至第10章分别阐述了人口地理学、聚落地理学、政治地理学、文化地理学、旅游地理 学、历史地理学等人文地理学的主要分支学科。最后一章论述了人文地理学与“全球主 耍问题”中的人口问题、环境问题、资源问题和国土整治问题。 作者在编著中参阅和研究了国内外大量参考文献，吸收了许多最新研究成桌，内容 丰言、资料翔实、文字流畅，是普通高等学校和成人高等学校地理专业的最好教材，也 可供科研单位及政府职能部门参考. (陈理竖) ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
东 北 师 大 学 报 自 然 科 学 版 协碑 1 T D R DO O O O O S M S S B F A E E H 浦 C C C I I I I N N N N T P O O M F A I N N Y 一 T T D V O A A A F E C C I I N N N U U Y L L 耳 ` 几碗“ g b 直 s t a 。 七 r I n t h i s p a p r o , u s i n g p r o p e r 七i e s o f m e r o m o r p h i c f u n c 七i o n a n d a r g u m e n 七 P r i n c i P l e , w e g i v e s o m e s u f f i e i e n 七 d a n n e o o s s a r y c . n d i 七i o n , 。 f t h e b r a n o h p o i n t , a n d i m p r o v e d o . m 。 亡e s u l t . d “ 日材l b 叨 1耳 〔z 〕 。 K e v w o r d s : M e r o m o r p h i c r u n e 七i o n , A 馆u m e n t p r i n e i p l e , M a n y 一v a l u e d A n a l y t i o f u n o 七i o n , B r a 耳比 p o i n t . 《 人文地理学概论 》 一书再版发行 东北师大地 理系张文奎教授 主编的 《 人文地理学概论 》 一 书 , 于 工9 8 9 年 6 月由 东北 师大 出版 . 全书4 40 千字 , 已发行2 2 。。。余册 . 本书是根据国家教委 1 9 8 7年委托制订 的地 理专业 《 人文地理 学概论 教学大纲 》 , 在初版的基 础上重新编写的 . 考虑到人文地理学 的研究 内容 与当前国内外关注的问题 , 删去 了经济地理 学内容 , 避免与各校专门开设 的 经济地理 导论课程重复 . 增加了 “ 人文地理学的基 本理 论阿题 ” 、 “ 历史地理学 ” 、 ` 人 文地 理学与全球主 要问题 ” 等 3 章 , 其他某些章节也作了适当调 整 , 使全书内容 , 体系 更为系统与完整 . 本书计1 章 , 前 3 章 沦述 了人文地理 学的研究对象 、 任务和方法及发展 史 ; 第四章介绍 了人文地理 学 有关人地 关 系论 、 区位论 、 行为论 等基 本理 论问题 . 第 5 至第 10 章分别阐述了人 口 地理 学 、 聚落地 理学 、 政治地理学 、 文化地理 学 , 旅游地理 学 、 历 史地理 学等人文地理 学的主 要分 支学科 . 最后 一章论述 了人文地理 学与 “ 全球主 要何题 ” 中的人 口问题 、 环境间题 、 资源 问题和 国 土整治间题 . 作者在编著中参阅和研究 了国 内外大量参考文献 , 吸收了许多最新研究成果 . 内容 丰富 、 资料翔实 、 文字流畅 , 是普通高等学校 和成 人高 等学校地理专业的最好教材 , 也 可供科研单位及政府职 能部 门参考 . 芬 (陈理坚 )