《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）应力和位移的复势函数方法

力与位移的复势表达 1.复势应力函数 可化为面力 平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U,满 V4=0 引入2=x+y豆=x-y Oz 二1， 8 02二i, ax =1, =-i (1) 8x ay 可得 aU aU az aU az U, 8x 8z 8x 0 0x (3-1) aU aU az aU az =l ay dz dy o dy

力与位移的复势表达 1. 复势应力函数 0 4  U = 平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满 足 可化为面力 引入 z x iy = + z x iy = − 1, ; 1, z z z z i i x y x y     = = = = −     (1) 可得 , , U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U y z y z y z z           = + = +                         = + = −              (3-1)

aU ∂U =2 aU aU ∂U ∂U +i 2 (3-2) Ox dy dy 82 由3-1)式，得： a'U aU 、2 a dx2 2 U, (3-3) V2U=4 ∂2J 8z8Z (3-4) 相容方程74U=0为 ∂4J =0 0z20z2 (3-5) 积分两次 XMuNMw0gW

积分两次 2 2 4 . U U z z   =   (3 -4) 0 2 2 4 =   z zU (3 -5) 由(3 -1)式，得 ： 2 , 2 . U U U U U U i i x y z x y z       + = − =       (3 -2) 2 2 2 2 2 2 , , U U U U x z z y z z           = + = − −               (3 -3) 相容方程 0 4  U = 为

U=(z)+(z)+()+f4() (2) 其中、、、f4均表示任意函数。左边U是实函 右边四项一定两两共轭，即 (@)=f(a),(@)=(a) 故U=f()+或(2)+(2)+z5(2) 令f)9ee59e)，得古萨公式 U=Re[Ep(=)+0(2)] (3-6) 0(2),(2)称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势 wXaH心yW

故 1 2 1 2 U f z zf z f z z f z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 其中f 1、f 2、f 3、f 4均表示任意函数。左边U是实函数， 右边四项一定两两共轭，即 3 1 4 2 f z f z f z f z ( ) ( ), ( ) ( ) = = 令 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2 2 f z z f z z = =   ，得古萨公式 1 1   ( ), ( ) z z 称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势 1 2 3 4 U f z zf z f z zf z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) (2) U z z z = + Re ( ) ( )    1 1  (3-6)

应力复势 不计体力 a'U aU aU ,= (3-7) Oxay 注意到式(3-4)得 a'U OU aU o,+0x= 十 =4 0x2 0y2 0z0z 将式(3-6)代入得 o,+ox=2[p(z)+0(2】=4Rep(z) (3-8) 由式(3-7) 0,-0:+2irw= u-a2℃-29 XuM人NMw心Yy

应力复势 不计体力 注意到式(3-4)得 2 2 2 2 2 y x 4 U U U x y z z      + = + =     将式(3-6)代入得 由式(3-7) 2 2 2 2 2 2 2 2 y x xy U U U i i i U x y x y x y           − + = − − = −           2 2 2 2 2 , , x y xy U U U y x x y       = = = −     (3-7) 1 1 1 2[ ( ) ( )] 4Re ( ) y x      + = + =    z z z (3-8)

注意到式(3-2)得 o,-0x+2iry=2[zp(z)+0(2)] (1) 设4(2)=0(z) 0,-0.+2inw=2[E0(2)+y4(a)] (3 式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。 位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律 Ou =o,-o,=(a+,)-1+a E (2) =0,-ox=(ox+0,)-(1+V)ox (3) KLUXK6K6D64620M小Y

注意到式(3-2)得 1 1 设   ( ) ( ) z z =  式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。 位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (1)      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (3-9) ( ) (1 ) x y x y y u E x        = − = + − +  (2) ( ) (1 ) y x x y x v E y        = − = + − +  (3)

G E (4) 2(1+V) 将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得： m=2e+a可-0+兴+0n =-2fee-o同-0w4 (5) 式中f及万为任意函数。将式（⑤）代入式(4)，用式(1-7) 的第三式及式(1-1)，得 d(y)_ dy d(x)=w（常数) dx 积分得刚体位移：f(y)=-oy,2(x)=vo+ox 小KLU6B466以w小Y

将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得： 式中f1及f2为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)中 的第三式及式(1-1)，得 d ( ) d ( ) 1 2 d d f y f x y x − = = (常数) 积分得刚体位移： 1 0 2 0 f y u y f x v x ( ) , ( ) = − = +   1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) (1 ) ( ), 2 ( ) ( ) (1 ) ( ), U Eu z z f y x U Ev i z z f x y         = + − + +          = − − − + +        (5) 2(1 ) xy E v u x y         + = +     (4) G xy 

若不计刚体位移，由式（⑤）组合得( 注：强度问是 与刚体位移无关) e+对间-：g+号) (6) 将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边 (1+V) 5u+)ae)网w回 (3-10) 这就是位移复势。 对平面应变，E→ 1-v wX△M40/W

若不计刚体位移，由式(5)组合得 （注：强度问题 与刚体位移无关） 将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边除以 (1+ν) 这就是位移复势。 对平面应变， 2 1 E E  → − 1    → − ( ) ( ) ( ) 1 4 1 U U E u iv z i x y       + = − + +       (6) ( ) 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 E u iv z z z z       − + = − −  + + (3-10)

复应力函数的确定程度（数学上完全确定，力学上看 哪些部分不影响应力和佐移) 1应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知， 4Repi(=)=o,+ox, (1) 2[30"(=)+wi(z)]=o,-o:+2it (2) 设 4Reg2()=o,+ox> (1) 2[zp2(z)+2(2】]=o,-0x+2ity (2) 可见p(2)与9(2)具有相同的实部，只可能相差一个任 虚常数 (=()+iC, (3) KLU656864w心gM

复应力函数的确定程度(数学上完全确定，力学上看 哪些部分不影响应力和位移) 1 应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知， 设 2 ( )z 1 可见 与 ( )z 具有相同的实部，只可能相差一个任意 虚常数 4Re , 1 ( ) y x     z = + (1) 2 ( ) ( ) 2  1 1  y x xy z z z i        + = − + (2) 4Re , 2 ( ) y x     z = + (1’) 2 ( ) ( ) 2  2 2  y x xy z z z i        + = − + (2’)   2 1   (z z iC ) = + ( ) , (3)

C为任意实常数。积分得 2()=(z)+iCz+r (4) Y=A+iB 由式(3)有p2(z)=p"(z) ，比较式(2)与(2)可 见 W(2)=y(z) (5) 积分得 42(2)=4(2)+Y (6) Y'=A'+iB' 故 p,(z)代以p,z)+iCz+y, 4(z)代以(z)+y, (A) WXNi4以w0小W

C为任意实常数。积分得  = + A iB 由式(3)有 2 1     ( ) ( ) z z = ，比较式(2)与(2')可 见 积分得     = + A iB 故 2 1    ( ) ( ) z z iCz = + + (4) 2 1     ( ) ( ) z z = (5)    2 1 (z z ) = + ( )  (6) 1 1 1 1 ( ) ) , ( ) ( ) , z z iCz z z       + +   +   代以 代以 (A)

(A)型代换不改变应力。（常设其为零或(0）=0) 2:位移确定时，则应力完全确定，不容许有(A)型以 代换。考察()型代换如何才不致改变位移。将式 进行(A)型代换 5a+网ia9og日sf7-7 (7) 位移确定，必须 C-a旦1-F=0 (8) Y和y中 只有一个为 任意常数役 不改变位移只能将 为，由 确定 个XW△人Mw心小N

3 0, 0 1 C     − = − =  + 且 ' (8)    '  (A)型代换不改变应力。（常设其为零或 1  (0) 0 = ） 2：位移确定时，则应力完全确定，不容许有(A)型以外 代换。考察(A)型代换如何才不致改变位移。将式(1 进行(A)型代换 位移确定，必须 不改变位移只能将 1 1 1 3 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 E iCz u iv z z z z            − −   + = − − + + −     + + + +   (7) 和 中 只有一个为 任意常数,设 为 , 由 确定