第23卷第2期 邢台学院学报 Vol 23 No2 2008年6月 OURNAL OF XNGTAIUNNERSITY Jun 2008 压电材料平面问题的 基本解在复变函数中的应用 靳静 (石家庄铁道学院研究生分院河北石家庄 050043) 摘要：从压电平面问题的基本方程出发，应用复变函数的方法，导出了无限介质受任意集中载荷作用时的复势函数 基本解，这些结果可作为边界元法的基本解，以求解具有复杂边界压电体的平面问题。 关键词：压电材林平面问题：基本解：复变函数 中图分类号：0343 文献标识码：A文章编号：1672一4658(2008)02-0116-02 1引言 6马=长H=4∈Tu (4) 压电材料因其良好的力电耦合特性而广泛应用于换能 D马=-w∈Tn9=p∈ 器、传感器和致动器等电子元件，因而有关压电材料的力学 其中σ问e。4ED和中分别为应力、应变、位移、电 问题越来越引起人们的关注。但由于材料本身的机一电耦 场强度、电位移和电势：手为体积力和电荷密度；C 合效应，各向异性以及物理或几何的非连续性，使得问题的 ∈k卡ω分别表示弹性常数，压电常数、介电常数，给 求解非常复杂，因此为工程设计人员提供一个完整的可靠 定面力和表面电荷密度，马为边界「的外法线方向余弦， 性分析的理论依据，以便于工程人员的使用和对元器件的 且下UTu=Ug=. 优化设计，是研究人员急需解决的问题。文献[]从横观 压电材料平面问题基本方程简化为 各向同性压电介质平面问题基本方程出发，得到无限平面 dx da 在集中力和点电荷作用下的边界元解法，文献[2]得到了 ax az -十=0 平面问题的一般解在T心祛中的应用，文献【3]通过对 dxy a 状态方程进行Fau变换，获得了无限压电介质受单位 +E=0 (5) ax 集中力和集中点电荷作用时的平面问题基本解。文献[4] aD z 从一般解出发，求出了压电材料半平面内部作用集中力和 0x=9 点电荷时的Gen函数.本文应用复变函数的方法，分别 Ju 给出了无限压电材料平面问题的复势函数基本解。 Ex-0x az = 2基本方程 E、中 压电材料的平衡方程为 ax (6) cij十f=0 (1) az (Di-9=0 几何方程为 x=fix z 5 az e1=分(5+9动 au (2) a:=fa ax+az+iz (E=-9i au ao 本构方程为 【x=aaz十a家+名x (7 oi=Ckek1一iE (3) au (D=91EH∈kE D.=Si ax+$zEz 边界条件为 au ao D=B(ax十R-1x [收稿日期12007一11一14 [作者简介]新静(1980一，女，河北石家庄市人，毕业于河北农业大学，在读颈士生，主要从事工程力学的研究.E一ml血n的5@0日m 2016 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
[ 收稿日期] 2007-11 -14 [ 作者简介]靳 静(1980 -), 女,河北石家庄市人, 毕业于河北农业大学,在读硕士生, 主要从事工程力学的研究.E-mail:jinjing05@sina.com 压电材料平面问题的 基本解在复变函数中的应用 靳 静 (石家庄铁道学院研究生分院, 河北石家庄 050043) 摘 要:从压电平面问题的基本方程出发, 应用复变函数的方法, 导出了无限介质受任意集中载荷作用时的复势函数 基本解。 这些结果可作为边界元法的基本解, 以求解具有复杂边界压电体的平面问题。 关键词:压电材料;平面问题;基本解;复变函数 中图分类号:O343 文献标识码:A 文章编号:1672 -4658(2008)02 -0116 -02 1 引言 压电材料因其良好的力电耦合特性而广泛应用于换能 器 、传感器和致动器等电子元件 ,因而有关压电材料的力学 问题越来越引起人们的关注 。但由于材料本身的机 -电耦 合效应 、各向异性以及物理或几何的非连续性 , 使得问题的 求解非常复杂 , 因此为工程设计人员提供一个完整的可靠 性分析的理论依据 , 以便于工程人员的使用和对元器件的 优化设计 , 是研究人员急需解决的问题 。文献 [ 1]从横观 各向同性压电介质平面问题基本方程出发 , 得到无限平面 在集中力和点电荷作用下的边界元解法 。文献 [ 2]得到了 平面问题的一般解在 Trefftz法中的应用 。文献 [ 3]通过对 状态方程进行 Fourier变换 , 获得了无限压电介质受单位 集中力和集中点电荷作用时的平面问题基本解 。文献 [ 4] 从一般解出发 , 求出了压电材料半平面内部作用集中力和 点电荷时的 Green函数 。本文应用复变函数的方法 , 分别 给出了无限压电材料平面问题的复势函数基本解 。 2 基本方程 压电材料的平衡方程为 σij, j+fi =0 Di, i-q=0 (1) 几何方程为 εij = 1 2 (ui, j +uj, i) Ei =-φ, i (2) 本构方程为 σij =Cijklεkl -ekijEk Di =eiklεkl +∈ ikEk (3) 边界条件为 σijnj =ti∈ Γt, ui =ui∈ Γu Dini =-ω∈ Γω, φ=φ∈ Γφ (4) 其中 σij, εij, ui, Ei, Di和 φ分别为应力 、应变 、位移 、电 场强度 、电位移和电势 ;fi, q为体积力和电荷密度 ;Cijkl, ekij, ∈ ik, ti, ω分别表示弹性常数 、压电常数 、介电常数 、给 定面力和表面电荷密度 。nj为边界 Γ的外法线方向余弦 , 且 Γt∪ Γu =Γω ∪ Γφ =Γ。 压电材料平面问题基本方程简化为 σx x + τzx z +fx =0 τxy x + σz z +fz =0 Dx x + Dz z =q (5) εx = u x εz = ω z rxz = ω x + u z Ex =- φ x Ez =- φ z (6) σx =c11 u x +c13 ω z +e31 φ z σz =c13 u x +c33 ω z +e33 φ z τzx =c44( u z + ω x )+e15 φ x Dz =e31 u x +e33 ω z -ε33 φ z Dx =e15 ( u x + ω x )-ε11 φ x (7) · 116· 第 23卷第 2期 邢 台 学 院 学 报 Vol.23.No.2 2008年 6月 JOURNALOFXINGTAIUNIVERSITY Jun.2008
靳静：压电材料平面问题的基本解在复变函数中的应用 3基本公式推导 4无限介质平面问题复势函数基本解 考虑一横观各向同性压电体，设其各向同性平面平行 如图1所示，坪面内%点受任意集中力X+Y和 于一平面，且沿轴方向处于平面应变状态，则对其x- 集中点电荷Q昀为单位厚度上的载单位厚度上的载荷) 平面内的二维问题，其面内应力场、位移场和电位移场可 作用，此时复势函数可表示为： 表示为三个复势函数Pk(,(k=123多下同)的线性组 Pk()=A四-面) (15) 合，其中Pk()由下列边界条件确定 其中=音十“kA为常复数，确定如下： 2Re Pk()=- 3 2Re 9k()三 ds (8) 入kPk() D ds 3 2RR()=u 图1无限压电介质含集中荷载 49k()=v (9) 把式(15分别代入式(12).(13)，并计算绕名点旋转 一周时相关量的增量。由位移单值条件知，位移增量为零： 2Re K9k()= 由力平衡条件知，外力主矢增量为一(X+Y):由高斯定 其中“R"表示取实部：X和y分别为边界上的外力和 理知 中=Q由电场环流定理知。 年d-0:而ra- 位移的直角坐标分量：D和E分别为电位移的法向分量和 Z0)的增量为2x由此可得确定A的代数方程： 电场的切向分量：为边界上的弧长：其余为已知常数 现引入下列矩阵： 《-[(=(多 (16) 11 R B (-[-(0 [= [= 其中 kk -(44月 (》=(y-x 同时式(16又可展开为： 4A=1月 Ak号 (17) 2π台 当名点作用逆时针转向集中力偶M时，可证： 9k()=M(-6) (18) 其中M=M(AM+iMe)(1-ek), 其中表示矩阵转置，则式(8，(9汉可表示为： [政9+[(9=〈 (10) 参考文就 [以9+比(g=( 【刂丁皓江，王国庆，陈伟球.压电材料平面问题的基本解[手 (11) 中国科学，199727(3：224-228 可证当k不相等时，[日，[均可逆，故由式(10，(11) 【2]金吞根，等.压电材料平面问题的一般解及其在Te法 中的应用[」.自然科学进展，200212(9,713一719 [3引丁皓江，王国庆，梁剑.压电介质平面问题的一般解和基本 (12) 解[」.力学学报.19968(4,441-448 9+K9=[以 13) [4丁皓江，等.压电介质半平面的Gren晒数解[.中国科 其中[小=[∧h=[-,[d=[G闭=[- 学，199727(5,392-396 [B=[0-[a.[i=[-[ 【5高寸法崔得密.压电介质平面问题的基本解[」.应用力 学学报。199916(1)：140-143 式(12)又可展开为 【6克劳斯.电磁学1M.北京：人民邮电出版社.1979 ()+PK=月 [7刀M uskhelish ivilN数学弹性力学的几个基本向题IM. (14) 北京：科学出版社1953 ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.dki.net
3 基本公式推导 考虑一横观各向同性压电体 , 设其各向同性平面平行 于 x-z平面 , 且沿 z轴方向处于平面应变状态 , 则对其 xy平面内的二维问题 ,其面内应力场 、位移场和电位移场可 表示为三个复势函数 φk(zk), (k=1, 2, 3;下同 )的线性组 合 , 其中 φk(zk)由下列边界条件确定 2Re∑ 3 k=1 φk(zk)=- ∫ s 0 Ynds 2Re∑ 3 k=1 μkφk(zk)=- ∫ s 0 Xnds 2Re∑ 3 k=1 λkφk(zk)=- ∫ s 0 Dnds (8) 2Re∑ 3 k=1 pk(zk)=u 2Re∑ 3 k=1 qkφk(zk)=v 2Re∑ 3 k=1 Kkφk(zk)= ∫ s 0 Efds (9) 其中 “Re”表示取实部 ;Xn, Yn和 u, v分别为边界上的外力和 位移的直角坐标分量 ;Dn和 Ef分别为电位移的法向分量和 电场的切向分量 ;s为边界上的弧长 ;其余为已知常数 。 现引入下列矩阵 : H = 1 1 1 μ1 μ2 μ3 λ1 λ2 λ3 U = p1 p2 p3 q1 q2 q3 k1 k2 k3 fa = - ∫ s 0 Ynds, ∫ s 0 Xnds, ∫ s 0 Dnds T fb = u, v, ∫ s 0 Eids T φ = φ1 , φ2 , φ3 T 其中 T表示矩阵转置 ,则式 (8), (9)又可表示为 : H φ + H φ = fa (10) U φ + U φ = fb (11) 可证当 μk不相等时 , H , U均可逆 , 故由式 (10), (11) 得 φ + B φ = ∧ fa (12) φ + F φ = G fa (13) 其中 ∧ = ∧ kj = H -1 , G = Gkj = U -1 B = H -1 H , F = U -1 U 式 (12)又可展开为 φk(zk)+∑ 3 j=1 Bkjφj(zj)=∑ 3 j=1 ∧ kjfαj (14) 4 无限介质平面问题复势函数基本解 如图 1所示 , x-y平面内 Z0点受任意集中力 X+iY和 集中点电荷 Q(均为单位厚度上的载单位厚度上的载荷 ) 作用 ,此时复势函数可表示为 : φk(zk)=Akln(zk -zk0) (15) 其中 zk0 =x0 +μky0;Ak为常复数 , 确定如下 : 图 1 无限压电介质含集中荷载 把式 (15)分别代入式 (12)、(13),并计算绕 Z0 点旋转 一周时相关量的增量 。由位移单值条件知 , 位移增量为零 ; 由力平衡条件知 , 外力主矢增量为 -(X+iY);由高斯定 理知 n∮ds=Q;由电场环流定理知 , ∮Etds=0 ;而 ln(Zk - Zk0)的增量为 2πi, 由此可得确定 Ak的代数方程 : A - B A = 1 2πi ∧ f 0 j A - F A = 0 (16) 其中 A = A1 , A2 , A3 T fj 0 = Y, -X, Q T 同时式 (16)又可展开为 : Ak -∑ 3 j=1 BkjAj = 1 2πi∑ 3 j=1 ∧ kjfj 0 (17) 当 Z0 点作用逆时针转向集中力偶 M时 ,可证 : φk(zk)=cMk (zk -zk0) -1 (18) 其中 cMk =iM(∧ k1 +i∧ k2 )(1 -iμk)/8π。 参考文献: [ 1] 丁皓江, 王国庆, 陈伟球.压电材料平面问题的基本解 [ J] . 中国科学, 1997, 27(3):224-228. [ 2]金吾根, 等.压电材料平面问题的一般解及其在 Trefftz法 中的应用[ J] .自然科学进展, 2002, 12(9):713 -719. [ 3]丁皓江, 王国庆, 梁剑.压电介质平面问题的一般解和基本 解[ J] .力学学报, 1996, 28(4):441 -448. [ 4]丁皓江, 等.压电介质半平面的 Green函数解[ J] .中国科 学, 1997, 27(5), 392-396. [ 5]高寸法, 崔得密.压电介质平面问题的基本解 [ J] .应用力 学学报, 1999, 16(1):140-143. [ 6]克劳斯.电磁学[ M] .北京:人民邮电出版社, 1979. [ 7] MuskhelishiviliNI.数学弹性力学的几个基本问题[ M] . 北京:科学出版社, 1953. · 117· 靳 静:压电材料平面问题的基本解在复变函数中的应用