第15卷第3期 工 程 力 类 Vol.15 No.3 1998年8月 ENGINEERING MECHANICS Aug.1998 含椭圆孔压电材料 平面问题的复变函数解 高存法 董登科 (南京航空航天大学，南京210016)（飞机强度研究所，西安710065） 提要应用复变函数的方法，对于含有椭圆孔压电材料的平面问题，导出了在椭圆孔 外任一点作用任意集中裁荷时的复应力函数基本解；当孔周作用任意分布外载时，通过基本 解的迭加，得到了级数形式的近似解或封闭形式的解析解；同时，上述基本解对于应用边界 元法求解复杂边界压电材料的平面问题具有重要意义。 关键词压电材料，椭圆孔，平面问题，基本解，复变函数 引 言 压电材料因具有正、逆压电效应，常被用来制作各种智能传感元件。与常规材料类似， 由于压电材料内部的孔洞，夹渣等缺陷引起的局部应力集中和电量不均匀性常常是引起此 类元件非正常失效的关键因素之一·因此，研究含孔压电材料的应力集中问题具有重要的 工程意义。 对于含椭圆孔压电材料的平面问题，Sosa川，Chung et al分别应用复变函数法和 S女oh公式对其做了研究；但Sosa的研究仅限于压电材料在远场受均布外载作用时的情形， Chung et al的研究主要是针对孔周受一般载荷的情况。本文应用复变函数解析延展原理， 给出了在椭圆孔外任意点作用任意集中载荷时的复应力函数基本解；利用该基本解，得到 了孔周作用任意载荷时的一般解；更重要的是，该基本解可作为边界元法的基本解，以求解 复杂边界压电材料的平面问题。 *本文收精日期：199%年10月 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第巧 卷第3 期 199 8 年 8 月 工 程 E NG 环正E和[N G 力 学 州田C H A] 爪C S V o l . 15 N o . 3 A n g . 19 98 含椭圆孔压 电材料 平面问题的复变函数解 ’ 下当于学岁 之土 l不U ,了了石 董登科 (南京航空航天大学 , 南京 2 10 0 16 ) (飞机强度研究所 , 西 安 7 10 06 5 ) 提 要 应 用复变 函数的方法 , 对于含有椭圆孔压 电材料的平面 问题 , 导出了在椭圆孔 外任一 点作用任意集中载荷时的复应力函数基本解 ; 当孔周作用任意分布外载时 , 通过基本 解的迭 加 , 得到了级数形式的近似解或封闭形式的解析解; 同时 , 上述基本解对于应 用边界 元法求解复杂边界 压电材料的平面 问题具有重要意义 . 关健词 压 电材料 , 椭圆孔 , 平面问题 , 基本解 , 复变函数 一 、 5 ! 胃 压电材料因具有正 、 逆压电效应 , 常被用来制作各种智能传感元件 . 与常规材料类似 , 由于压电材料 内部的孔洞 , 夹渣等缺陷引起 的局部应力集 中和电t 不均匀性常常是引起此 类元件非正常失效的关键因素之一 因此 , 研究含孔压电材料的应力集中间题具有重要的 工程意义 . 对于含椭 圆孔压电材料的平 面问 题 , s os al ] , Chu 鹅 et 。 112 分别应用复变函数法和 S tr 曲 公式对其做了研究 ; 但 Sos a 的研究仅限于 压电材料在远场受均布外载作用时的情形 , Ch山唱 et al 的研究主要是针对孔周受一 般载荷的情况 。 本文应用复变函数解析延展原理 , 给出 了在椭 圆孔外任意点作用任 意集中载荷时的复应力函数基本解 ; 利用该基 本解 , 得到 了孔周作用任意载荷时的一 般解 ;更重要的是 , 该基本解可 作为边界元法的基本解 , 以求解 复杂边界压电材料的平面问题 . * 本文 收稿 日期 : 19 9 6 年 10 月
含椭圆孔压电材料平面问题的复变函数解 99 二、基本公式 考虑一横观各向同性压电材料，取其各向同性平面与x一y平面平行，下面我们研究 x-z平面内的二维问题。与文献[1一致，取坐标轴代换：x→x,2→x2,则x,-x2平 面内的应力0。，位移4，电场E,和电位移D,可表示为： {o,-o12,ci}=2Re∑L,4tp4(2)24=x,+44x (1) (uu)=2Re(p.9(z),Im>0 (2) (E,E,)=2Re2x4:0:a) (3) D,-D,}=2Re224,0,a,) (4) ps=a14+an-b元k,9k=(aart+aa-bm元t)l4g ,=-+gL+,K4=o。+6nah4,e)=dp.a/d4 6i4+6n 其中，a,b,6,分别为弹性常数、压电常数、介电常数；4：为互不相等的复常数，由特 征方程确定， 力，电位移及电场的边界条件可表示为： 2Re.()=-:ds (5) 2R24,ee,)k (6) 2Re22,o.e,)=-D.d (7) 2Re∑xpa)=E,dr (8) 其中，1,1，为边界上外力的直角坐标分量；D,为电位移的法向分量；E为电场的切向分 量，5为弧长 本文假定在边界上应力、电位移给定，因而引人下列矩阵： 11 {p}=(p1,p2,p) (9) f}=(d,d,-Dd)',f}=u,4,0Ed) ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
含椭国孔压 电材料平面问题的复变函数解 二 、 基 本 公 式 考虑一横观各向同性 压电材料 , 取其各 向同性平面 与 x 一 y 平面平行 , 下 面 我们研究 x 一 : 平面内的二维问题 . 与文献【1」一 致 , 取坐标轴代换 : x 一 x : , : 分 x : , 则 x , 一 x : 平 面 内的应力口。 , 位移 u , , 电场 E , 和电位移 旦可表示 为川: 、产. 、 , 产 ` ,且, 硬、了.气2 { 。 2 2 , 一 。 , 2 , 。 , , } = Z eR Z 毛` , 产* , 召; }必 * ( z ` ) z * 一 x : + 产* x Z k 二 l 3 { u , , u Z } = Z eR 艺{户* , 。 * } , * ( z * ) , hn 刀* > 0 、 、夕. 声、 内 产、. 了ù片月, .、 、2 3 (E : , E Z } = Z eR 艺 ` * 毛` , 产* }必 * ( z * ) k 二 1 3 {D , ,一 D Z } = Z eR 艺` * {产* , `}砂 . ( z * ) k = l = a : : 产丈+ a 12 一 b Z: 兄, , ( b Z; + b l 3 ) 1 孟 + b 22 q ` = ( a 1 2刀卜 a 2 2 一 b 2 2兄七 ) / 产* 占: ;尸卜 占二 尤* = (b 1 3 + 占l ; 兄* )户* , 沪 * ( z * ) = d尹* ( z * ) / dr 七 几礼 其中 , a , , b , , 占, 分别为弹性常数 、 压 电常数 、 介 电常数 ; 产* 为互不相等的复常数 , 由特 征方程1 确定 . 力 , 电位移及电场的边界条件可表示为: ` 、 尹、了夕. à气 ù 6 J 了.吸、 , eR .气 客 , 众 (z 几 , = 一 ’0tJ 2山 , eR客 产* , 众 (z * , = ’0tI ! “ 、 、尸. , 、尹. 7 了 0 .、 J 、 Z eR X 又* , * ( z * ) = 一 ’0tJ ds , eR客 一 , * `一 , = ’0sJ · ds 其中 , t l , t Z 为边界上外力的直角坐标分量 ; fD 为电位移 的法向分量; E : 为电场的切向分 量 ; ` 为弧长 。 本文假定在边界上应力 、 电位移给定 , 因而引人下列矩阵: {沪卜 (切: , 沪2 , p 3 ) 了 ( 9 ) , 月. ! l se -J ó飞J Pùó Kq P `,内乙 际比日阮 Kq ì 一 d A 一 ! l 胜 I l we l 产兄l 产兄1 刀又1 尸les l lL 一 1J. A 、f ’ } 一 (一 , Z ds , s0tJ ; dr ,一 sa0J ` ) r , 仃 ` 卜 ( u : , u : , 分 : ds ) 了
100 工程力学 其中，“T”表示矩阵转置，则式(2)，(5)~(8)可重新表示为： [A]{}+[A']{=f} (10) [A]K}+[A]{®}=f} (11) 可证：当4互不相等时，【A】,[A]均可逆，故有： {}+[S]{=[]{f) (12) {}+[d]{@}=[]f}》 (13) 其中，下列矩阵符号被引进： [=[A'][A]=[sw] [d]={A][a]=[dg] []=[A']=[] []=[A]=[Ag] 同时，式(12)，(13)又可展开为： )+套，P回-空 (14) pa)+2d,p,-2心 (15) 三、复势函数基本解 如图1所示，压电介质被一自由椭圆孔T削弱，在任 X2 意点2，处作用任意集中力1。+t如和集中点电荷2。，此时 复势函数可表示为： (z)=AIn(z-z0)+o(z) (16) b a 其中，2o=x1。+4xo,Po(2:)为(T:由T经映射： X1 2,=x1+4kx2所得)外部全纯的函数，且P0(⊙)=0，Ak为 图1椭圆孔受集中载荷 复常数。 把式(16)代人式(12)，(13)，并计算绕z。点旋转一周时相关量的增量：由静力平衡条件知， 外力主矢增量为-（化。+t如）；由高斯通量定理知，Dd=2。；由电场环流定理 知，E,d=0;由位移单值条件知，位移增量为零；而(z:-zko)的增量为2π；由此可得 确定A的代数方程： {A-S]a=,]U6) (17a 2n {A)-[d{A={0 (16) 其中 {A}=(A1,A2,A3) f6}=(2,-4,-2) 由式(17)得： 4=2aa-5不U 2n ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
10 工 程 力 学 其中 , “ T ” 表示矩阵转置 , 则式(2) ,( 5) 一 ( 8) 可重新表示 为: [A , ]{必} + [ A ’ l {砂} = 毛f , } ( 10 ) [注d ]{必} + [万 d ]{厌卜 {’/ d } ( 1 1) 可证: 当 产* 互不相等时 , 日 ’ 】 , A[ 寸 ]均可逆 , 故有 : {沪} + [S ] {砂卜 [才 ]{f , } ( 12 ) 毛必} + [J ] {厌} = [矛 ]{f d } ( 1 3 ) 其中 , 下列矩阵符号被引进: [S ] = [A ` ] 一 , [万 ’ ] = [ s , ] [’A ] = [A ’ l 一 , = [弋 ] [d ] = 【A 才 ] 一 , [万 才 ] = [d , ] [dA ] = [A 才 l 一 , = [璐 ] 同时 , 式( 12 ) , ( 13 )又可展开为: 、了.J J 透 . . 、ù 且.,1. 矛 ` . 了.、 、 3 3 , * (z * 卜 艺凡砚 . 吞万 = Z 戈’f, J 二 l 户 l 3 3 , * (z * 卜 艺心石五下 二 艺瞬刀 三 、 复势函数基本解 如图 l 所示 , 压电介质被一 自由椭 圆孔 厂 削弱 , 在任 意点 z 。 处作用 任意集 中力 lt 。 十 t Z。 和集中点电荷 Q 。 . 此时 复势函数可表示为: p * ( z * ) = A k in ( z * 一 z 。。 ) + p 二 。 (z 。 ) ( 1 6 ) 其中 , z * 。 = x : 。 + 户* x Z。 , p 二 。 ( z * ) 为 几 ( 几 由 r 经 映射: z * 二 x , + 产* x Z 所得 )外部全纯的函 数 , 且 式 。 ( co ) 二 众A * 为 复常数 . 图 1 椭 回孔受集中载荷 把式( 1 6 )代人式( 12) ,l( 3 ) , 并计算绕 z 。 点旋转一周时相关 t 的增量: 由静力平衡条件知 , 夕卜力 主矢 增量 为 一 ( t l 。 + it Z。 ) ; 由高斯 通里 定理 , ,知 , 乡几ds = 0Q ; 由 电场环 流定 理 知 , 乡 E , ds = ” ; 由位移单既 件知 , 位移增量 为零 ; 而 nI ( z * 一 2 . 。 ) 的增量为 2` ; 由此可得 确定 A * 的代数方程 : I A } 一 [ S ]{A } { A } 一 l d l{ A } 牛A’[ ]优} 艺瓜 { 0 } ( 1 7 a) ( l ’7b ) 其中 由式( 17 )得: { A } = ( A I , A Z , A , ) r ’f{0 } = ( t Z ,一 t : , 一 0Q ) r { , ) = 一 共(rJ ] 一 [: ]) 一 , l牙一伏 } 乙夕口
含椭圆孔压电材料平面问题的复变函数解 0创 同时，式(17a)又可展开为： (18) 又因保角映射函数： z=R:(S:+ms) (19) R=(a-iμb)/2,mk=(a+iμb)/(a-i4b) 分别把z,平面上椭圆孔T,外部保角映射为同一单位圆y的外部，并注意到： n(2-2)=n[R,(64-5o1-m-刀 550 =lR,0-基X座-5o】 (20) =nl-)+hlR,(2-5w】 k0 其中，5o为z的象，5o>1;又因521，ms1,所以 s1故R会-5训为y 外部全纯的函数，则由式(16)，(20)得： p()=A4n(1-)+p02),5.∈y外部 (21) 5k0 其中，Po(2)为y外部全纯的函数。 将P(5)向单位圆Y内部做下述解析延展： 。5∈y内部 (22) 则延展后，P(5)可表示为： p:(5x)=A,hn(1-3)- (23) 其中，Po(5)为除Y之外，处处全纯的函数. 在孔周上，54=o=e°，则由式(14)、(22)，其边界条件可表示为： p(o)-p(o)=0 (24) 把式(23)代人式(24)，得四Po(5)=0,由此得复势函数基本解： 6,-A-会）-宫，不0- (25) 四、孔周作用任意分布外载时的解 当集中载荷作用在孔周上时，5。=σ。，则由式(25)整理得： ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
含椭圆孔压 电材料平面问题的复变函数解 同时 ,式( 17 a) 又可展开为: A * 一 艺凡风 = 六客 “ `;f0 J 一 压 ( 1 8 ) 又因保角映射函数: z * = R * (` * + 。 * 杏夏 , ) R * = ( a 一 i召* b ) / 2 , 二* = ( a + 扭 * b ) / ( a 一 扭 ; b ) ( 19 ) 分别把 z * 平面上椭 圆孔 kr 外部保角映射为同一单位圆 r 的外部 ,并注意到: nI ( z * 一 z k 。 ) = nI [R 七 (芬 。 一 ` 。。 )( l 一 m k 杏 * ` * 。 = 、 R 七 “ 一 鬓 ,`会 一 ` * 。 , , = in “ 一 鑫 , · in【R * `会 一 ` 舌。 , , ( 2 0 ) 其中 , : t 。 为: * 。 的象 , }: k 。 } , , ; 又因 }: * } 之 , , }、 } 、 , ,所以 }李} 、 , , 故 。 【R * (李 一 ; k 。 )】为厂 }` * } 马* 外部全纯的函数 ,则由式( 16) , ( 2 0) 得: ` * 、 . _ 二 , _ 、 , _ _ . .I L * 尹* ( z k ) = A k l n (l 一 寻乙 ) + p 二屯( z * ) , 杏 * 。 y 外部 ( 2 1) ` 七。 ` 其中 , p 二(气 ) 为 r 外部全纯的函数 . 将 p * (芬 * ) 向单位圆 r 内部做下述解析延展: 启 _ 1 ` _ . ` _ 汽 “ 七 ’ 二 一去 `洪`刻 , “ * 任 ” 内 都 (2 2 ) 则延展后 , p * (` * ) 可表示 为: , * (` * 卜 A 七 in “ 一 鑫 , 一 X s, 凡I n ( , - 自 。 ` * ) + 尹 k。 (` * ) ( 2 3 ) 其中 , 汽 。 (` * ) 为除 r 之外 ,处处全纯的函 数 . 在孔周上 , ` * 二 。 二 。 eI , 则 由式( 14 ) 、 ( 2 2) , 其边界条件可表示为: 、了、产.. 4 . f ù 了`, ` 、 、了. p 奋( 。 ) 一 p 夏( a ) = o 把式〔23 )代人式(24 ) , 得’[] 尹* 。 (` * ) = 0 , 由此得复势函数基本解 : 否 * 、 尹k L白去 ) = 入介i n 叹i 一 气丁一) 一 ` * o 艺 s , 风I n ( , -众 , 四 、 孔周作用任意分布外载时的解 当集 中载荷作用在孔周上时 , 头 。 二 口 。 , 则 由式( 25) 整理得:
102 工程力学 p6.)=4a.+4-2-京，不h-会 (26) =A6.+(4-2,4加1-2） 把式(18)代人式(26)得： ,Ai*品字A-会 (27) 又因 1，放有0一受分-宫授，所以当孔周作用任套分布的外酸 4,(S),t2(S),n(s)时，由式(27)和迭加原理得： p.《6)=A4+2a5 (28) 其中 .2,间-4间-，2加a (29) 当外载给定时，完成式(29)的积分，得ak,-m,，再由式(28)即得P[5(2】. 五、算 例 1.自由椭圆孔远处受均布载荷时的解 X2 如图2所示，自由椭圆孔远处受均布的机械载荷 D σm,口2，σ2和电载荷D,D,,则由迭加原理，复势函 数可表示为： Pg(zx)=Cz4+P(zk） (30) 6 其中，C.为复常数，由∞处的外载及回转确定；C2:对 x 应于无孔平面在∞处均匀受载时的复势函数；P0(?x)对 图2椭圆孔受均布载荷 应于有孔平面在孔周作用分布外载t1(S),12(s),2.(s)时 的复势函数，其中1(s),1,(s),2.(s)为无孔平面远处受载 时，在椭圆孔相应位置上产生的载荷，参考图3，这些载 荷可表示为： t=i cosa+oi sin a 2 t2=o sin a+o cosa 2n=Dn=D°cosa+D,sina 00 把式(31)代人式(29)，并应用下列关系式： 图3外载分量间的关系 ds cosa=dxz (31a) ds sina =-dx (31b) ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
102 工 程 力 学 尹* (` * ) = A * I n 芬 * + A * I n ( l 一 玉、 ` * ’ 3 一 艺 s , 凡I n (` - 玉、 ` * ` = A * I n 杏 * + ( A * 3 一 艺 s , 风) , n ( , - ( 2 6 ) 臀 ) , k 把式( 1 8 )代人式 ( 2 6 )得: p * (` * ) = ` 。 nI ` * · 六 `客 、 、 , in “ 一 瓮 , ( 2 7) 又 因 }叫 、 : , 故有 , (n , 一 孚) = 一交级翻 · , 所 以 当孔 周 作用任 意分 布 的外载 }` * } ` , 霄 n ` 。 t , ( s ) , t : ( s ) , 么 ( s ) 时 , 由式( 2 7) 和迭加原理得: , * (芬 * ) = A * in ` * + Z a * . 一 。 兵 ” ( 2 8 ) 其中 a k 一 _ , = 一 兴 { [’Ak , , 2 ( , ) 一 成 2 , ; ( : ) 一 从 3么 ( , ) ] 。 · , 艺用 11 ` y ( 2 9 ) 当外载给定时 , 完成式( 2 9) 的积分 , 得气 一。 , 再由式( 28 )即得 p * g 七 (z * )] . 五 、 算 例 , . 自由椭国孔远处受均布载荷时的解 如 图 2 所示 , 自由椭圆孔远处受均布的机械载荷 口 几 , 口 鑫 , 口几和电载荷 D厂 , 鳄 , 则 由迭加原理 , 复势函 数可表示为: p * ( z * ) = C k z . + p * 。 ( z * ) (3 o ) 其中 , c , 为复常数 , 由的 处的外载及回转确定; ` . kz 对 应于无孔平面在 。 处均匀受载时的复势函数 ; p 。。 (z * ) 对 应于 有孔平 面在孔周作 用 分布外载 t : ( s ) , t : ( s ) , 忿( s ) 时 的复势函数 , 其中 t : (s) , t : (s) , 忿 (s) 为无孔平面 远处受载 时 , 在椭圆孔相应位置上产生的载荷 ,参考 图 3 , 这些载 荷可表示 为: t , = 。 二e o s a + 。 几s i n a t : = 。 孤s i n a + 。 孔e o s a Q 。 = D , = D 厂co s a + D 犷s i n a 把式 (3 1 )代人式( 29 ) , 并应用下列关 系式: ds co sa 二 dx Z d s s i n a = 一 dx - 图 2 椭圆孔受均布载荷 图 3 外载分t 间的关 系 ( 3 l a) ( 3 l b )
含椭圆孔压电材料平面问题的复变函数解 103 x=acos0 (31c) x2=bsin0 (31d) sin0=号(o1-j 2 (31e) cose=(o+) (31fD 2 do=-ido (31g) 和留数定理可得： a=2,a.=0 (n22) (32) 其中 =),(a)=(aD-1bD) 把式(32)代人式(28)，得P0(5)(此时A=0),再代人式(30)得： ,,)=c+25e,) (33) 式(33)与Sosa应用Cauchy积分计算的结果一致。 2.整个孔周作用均布压力9n时的解 此时 t ds=g cosads=g dx, 12ds=g sin ads=-9.dx 同理可得 p(2x)=ak,-6(2) (34) 其中 a1=-29.（aii+ibAa) 3.整个孔周作用均布逆时针转向剪应力τ时的解 此时 t ds =-t sin ads adx 1,ds r cosads xdx2 (35) o:a)=itb-a1:2,） 若令a=b,并对式(35)取极限：2mt_M,即得无限平面坐标原点作用逆时针转向集 中力偶M时的解： (2）=Cm2 (36) 其中 c-M4+A,1-u) 8π ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
含椭圆孔压 电材料平面问题 的复变函数解 x l = a e o s o x Z = b s i n o s `n o = 合 `口 一 ’ 一 a , 一“ = 合 `口 一 ` + 。 ) d o = 一 竺 口 ( 3 l e ) ( 3 l d ) C ù于1 `,0 ,几. 曰J ù . 气1 2 j é 3 ù1`矛L 和留数定理可得: 3 “ k, 一 , = 艺戈 lJ , 。 丸 一 。 = 0 ( 。 : 2) 其中 ` : = 奋 (一; + ,” 。 : ) , ` 2 = 合 (一: 一 `” 。 : ) , ` 3 = 合 (aD : 一 `” D : ) 把式( 3 2 )代人式( 2 8 ) ,得 p 七。 (` * ) (此时 A * = 0 ) , 再代人式( 3 0 )得: 3 , * ( z * ) = c* z * + 艺’#A 心芬石 , ( z * ) ( 3 3 ) 式( 3 )与 Sos a 应用 Cau C hy 积分计算的结果一致 . 2 . 整个孔周作用均布压力 q 。 时的解 此时 t 一 ds = q 。 co s如s = q 。 dx Z t Z ds = q 。 s in 如石 = 一 g f dr l 同理可得 p . ( z * ) = a * , 一 : ` 不 , ( z * ) ( 3 4 ) 其 中 一 , 一全 , , ( · , ; , + , , , 、 2 3 . 整个孔周作用均布逆时针转向剪应 力 r 时的解 此时 lt dr 二 一 公 is n a d 夕二 记工 l 几dr 二 公 c o s如 s 二 心 2 ( 3 5 ) 沪* ( z * ) 若令 a 二 b , 并对式(35 )取极限 : 中力偶 M 时的解 : = 合 · ( `” A ; 】 一A “ 2 ,`夏 ’ `一 , li m Z瓜 Z r a斗 O = M , 即得无限平面坐标原点作用 逆时针转 向集 沪* ( z * ) = 呱石 ’ ( 3 6 ) 其中 c _ = 些塑鱼竺丛巡上垒业 ~ 8汀
104 工程力学 4.任意集中力偶作用时的解 当椭圆孔外任一点z。处作用任一集中力偶M时，复势函数可表示为： (Z)=C(zx-20)+(z) (37) 同理可证，此时有如下结果： P(2)=、 c51 (38) R(5。-m)5g-50台 参考文献 1 Sosa H A.Plane problem in piezoelectric media with defects.Int.J.solids struct,1991;28(4):491-505 2 Chung M Y and Ting T C T.Piezoelectric solids with an elliptic inclusion or hole.Int.J.solids struct, 1996,33(23)3343-3361 3 】D克劳斯著.电磁学.北京：人民邮电出版杜，1979 4 Muskhelishivili N.1.数学弹性力学的几个基本问题.北京：科学出版社，1953 THE COMPLEX FUNCTIONS FOR PLANE PROBLEMS OF PIEZOELECTRIC MATERIAL WITH AN ELLIPTICAL HOLE Gao Cunfa Dong Dengke (Nanjing University of Acronautics and Artronautic)(Aircraf Strength Rescarch Institute) Abstract Based on complex function method,the fundamental solution of the complex functions due to arbitrary concentrated loads acting on a piezoelectric material with an elliptical hole has been given in this paper.By using the superposition of the fundamental solution,the solutions for distributed loads acting on the hole surface are obtained in series-form or closed-form. In addition,this fundamental solution is very useful to solve some problems in piezoelectric materials by BEM. Key words piezoelectric material,elliptical hole,plane problem,fundamental solution, complex function ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
104 工 程 力 学 ℃ , ó 、产. 7 八0 (3 母 . 任意集中力偶作用时的解 当椭 圆孔外任一点 z 。 处作用任一集中力偶 M 时 , 复势函数可表示 为: 沪* ( z * ) = c , ( z * 一 z * 。 ) 一 , + 尹; 。 ( z * ) 同理可证 ,此时有如下结果: p * ( z * ) = 气`又 。 R * (杏孟 。 一 。 * ) ` * 一 ` k 。 艺与殊 自 。 l (否{ 。 一 砚) (` J 。 `一 l ) 参 考 文 献 S o sa H A . P l an e P obr 】em in P i e z o 心 lec itr c m ed i a 初ht de 丘沈t s . ntI . J . so l ids 曲 m ct , 19 9 1夕8( 4 ) : 4 9 1 一 50 5 C h l mg M Y an d T ing T C T . iP e z oe l eC itr o so l ids 诩ht an el itP o inc lus i on or h 0 1 e . ntI . J . so il ds tS ’rU以 , 19 96 ; 33( 2 3 ) : 334 3 一 336 1 J D 克劳斯著 . 电磁 学 . 北京: 人民邮电出版社 , 1 97 9 Mu s k h e l i s h i , 11 1 N . 1 . 数学弹性力学的几个基本问题 . 北京: 科学出版社 , 19 5 3 T H E C O M P L E X F U N C T IO N S F O R P L A N E P R O B L E M S O F P I E Z O E L E C T R I C M A T E R I A L 丫VI T H A N E L L I P T I C A L H O L E G ao C仙血 D oD g D e n沙e 困闷吨 U血. iyt of A “ . . 西.c . 因 内山网. 西.c) 《相政” 丘 S。 切吕山 R. 。 颐么 加西加加》 A bs tr ac t B as ed on c o 扰LP lex fo 以无On 洲油od, het 血 dD翻此耐 al 5 0】西 on of 此 伪娜 lxe 丘 m C it osn d u e ot abr itr 娜 c o n c翩 ltr at de of ads 朋垃堪 on a vie oez l郎 itr c m at 日 n ia iw ht an e ilP it喇 hol e h as b en g iv en in 面 5 p a Per . B y su吨 het s u详幻扣 s it on of het 丘山 d 别田峪 n t ia os l iut o n , ht e so l iut osn for id s itr bu et d lo ad s a C it gn on ht e ho le sur fa ce aer ob t画吐ed in s ier es 一 伪n ” or clo s ed ·几n 叭 . nI ad id it on , ht i s ifm d 田叭 e in al s o l iut on 1 5 v e yr us e fu l ot s o vl e s ome p r曲l ems in p i e oez leC 七以c m at ier al s b y B EM . K e y w o r d s Pi e z oe 】e 。川e ma t e n al , e ll itP e al ho le , Pl aen Pr o b l . , 丘m d 别叮 e n t al s o l u t ion , 伪找甲lex fo n c o o n
