P成衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 第五节映射 厚德博学笃志精算 数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线 性代数中的线性变换概念等等都是我们所熟知的概 念.这些概念的精确意义事实上都有赖于本节中所讨 论的映射概念。 求实务实 踏实 扎实
第五节 映射 数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线 性代数中的线性变换概念等等都是我们所熟知的概 念.这些概念的精确意义事实上都有赖于本节中所讨 论的映射概念
P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义1.5.1设F是从集合X到集合Y的一个关系。如果对于每 一个x∈X存在唯一的一个y∈Y使得xFy,则称F是从X到Y的 一个映射，并且记作F:X→Y。换言之，F是一个映射，如果对 于每一个x∈X: (1)存在y∈Y,使得xFy; (2) 如果对于y,y,∈Y有xy和xy2,则y=y2。 求实务实 踏实扎实
定义 1.5.1 设 F 是从集合 X 到集合Y 的一个关系。如果对于每 一个 x X 存在唯一的一个 y Y 使得 xFy ，则称 F 是从 X 到Y 的 一个映射，并且记作 F ： X Y → 。换言之，F 是一个映射，如果对 于每一个 x X ： （1）存在 y Y ，使得 xFy ； （2）如果对于 1 2 y y Y , 有 1 xFy 和 2 xFy ，则 1 2 y y =
P放衣罗 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.5.2设X和Y是两个集合，F:X→Y（读做F是从X 厚德博学笃志精算 到Y的一个映射)。对于每一个x∈X,使得xEy的唯一的那个 y∈Y称为x的像或值，记作F(x);对于每一个y∈Y,如果x∈X 使得xFy,(即y是x的像)，则称x是y的一个原像。（注意：y∈Y 可以没有原像，也可以有不止一个原像。) 定理1.5.1 设X,Y和Z都是集合。如果F:X→和G:Y→2， 则G。F:X→：并且对于任何x∈X,有G。F(=F)以。 求实务实 踏实扎实
定义 1.5.2 设 X 和Y 是两个集合，F X Y : → （读做F 是从X 到 Y 的一个映射）。对于每一个 x X ，使得 xFy 的唯一的那个 y Y 称为 x 的像或值，记作 F x( ) ；对于每一个 y Y ，如果 x X 使得 xFy ，（即 y 是 x 的像），则称 x 是 y 的一个原像。（注意：y Y 可以没有原像，也可以有不止一个原像。） 定理 1.5.1 设 X Y, 和 Z 都是集合。如果 F X Y : → 和G Y Z : → ， 则G F X Z : → ；并且对于任何 x X ， 有G F x G F x ( ) = ( ( ))
P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定理1.5.2设X和Y是两个集合，f:X→Y。如果A,BcY, 则 (1)(AUB)=f(A)U (B): 2(0B)=()(B) (3)f(A-B)=f(A)-(B) 求实务实 踏实扎实
定理 1.5.2 设 X 和Y 是两个集合，f X Y : → 。如果 A B Y , ， 则 （1） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − = ； （2） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − = ； （3） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − − = −
P放衣罗 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.5.3设X和Y是两个集合，f:X→Y。如果Y中的每 厚德博学笃志精算 一个点都有原像（即f的值域为Y,亦即f(X)=Y),则称f是一 个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的 像是Y中不同的点（即对于任何x,x2∈X,如果x≠x2,则有 f(x)≠f(x),则称∫是一个单射；如果∫既是一个单射又是一 个满射，则称∫为一个既单且又满的映射，或者一一映射。 求实务实 踏实扎实
定义 1.5.3 设 X 和Y 是两个集合， f X Y : → 。如果Y 中的每 一个点都有原像（即 f 的值域为Y ，亦即 f X Y ( ) = ），则称 f 是一 个满射，或者称 f 为一个从 X 到Y 上的映射；如果 X 中不同的点的 像 是 Y 中不同的点（即对于任何 1 2 x x X , ，如果 1 2 x x ，则有 f x f x ( 1 2 ) ( )），则称 f 是一个单射；如果 f 既是一个单射又是一 个满射，则称 f 为一个既单且又满的映射，或者一一映射
P放衣学 精品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定理1.5.3设X和Y是两个集合，又设f:X→Y。如果f是 厚德博学笃志精算 一个一一 映射，则f便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写 为f1:Y→X),并且是既单且又满的。此外我们还有： f-1。f=ix和fof1=y 定理15.4设X,Y和Z都是集合，f:X→Y,g:Y→Z。如果f和g 都是单射，则g0f:X→Z也是单射；如果f和g都是满射，则g0f:X→Z 也是满射。因此，如果∫和g都是一一映射，则go∫：X→Z也是一一映射。 求实务实 踏实扎实
定理 1.5.3 设 X 和Y 是两个集合，又设 f X Y : → 。如果 f 是 一个一一映射，则 1 f − 便是一个从Y 到 X 的映射（因此我们可以写 为 1 f Y X : − → ），并且是既单且又满的。此外我们还有： 1 X f f i − = 和 1 Y f f i − = 定理 1.5.4 设 X Y, 和 Z 都是集合， f X Y : → ，g Y Z : → 。如果 f 和 g 都是单射，则 g f X Z : → 也是单射；如果 f 和 g 都是满射，则 g f X Z : → 也是满射。因此，如果 f 和 g 都是一一映射，则 g f X Z : → 也是一一映射
P放大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义1.5.4设X和Y是两个集合，A是X的一个子集。映射 f:X→Y和g:A→Y如果满足条件gcf,即对于任何a∈A有 f(a)=g(a),则称g是∫的限制，也称f是g的一个扩张，记作 g=f八4。特别地，恒同映射ix:X→X在X的子集A上的限制 ix4:A→X称为内射。这时我们有对于任何a∈A,ia(ad)=a。 求实务实 踏实扎实
定 义 1.5.4 设 X 和Y 是两个集合， A 是 X 的一个子集。映射 f X Y : → 和 g A Y : → 如果满足条件 g f ，即对于任何a A 有 f a g a ( ) = ( ) ，则称 g 是 f 的限制，也称 f 是 g 的一个扩张，记作 A g f = 。特别地，恒同映射 : X i X X → 在 X 的子集 A 上的限制 : X A i A X → 称为内射。这时我们有对于任何a A i a a = , X A ( )
P成名学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.5.5设X1,X2,…Xn是n≥1个集合，1≤i≤n,从笛 厚德博学笃志精算 卡儿积X=X1×X2×…X,到它的第i个坐标集X,的投射（或称第i 个投射)卫：X→X,定义为对于每一个 x=(x,x,…xn)∈X,p,(x)=x 定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系。从集合X 到它的商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为对于每一个 x∈X,p(x)=[x]R。 求实务实 踏实扎实
定 义 1.5.5 设 1 2 , , X X X n 是 n 1个集合，1 i n ，从笛 卡儿积 X X X X = 1 2 n 到它的第i 个坐标集 Xi 的投射（或称第i 个投射） : i i p X X → 定义为对于每一个 x x x x X p x x = = ( 1 2 , , , n i i ) ( ) 。 定义 1.5.6 设 R 是集合 X 中的一个等价关系。从集合 X 到它的商集 X R/ 的自然投射 p X X R : / → 定义为对于每一个 , ( ) R x X p x x =
P成大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 小结 厚德博学笃志精算 本节将映射定义作为一种特别的关系，从理论上说是十 分清晰的，这使得理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任 何未经定义的对象. 求实务实 踏实 扎实
小结 本节将映射定义作为一种特别的关系，从理论上说是十 分清晰的，这使得理论系统中除了“集合”和“元 素”不再有任 何未经定义的对象