电子科技大学教务处 教师教案 课程名称：数学建模 授课对象：本科生（二年级） 课程类型：学科基础课 总学时数：64学时 学 分：4 讲授主题：哥尼斯堡七桥问题 计划学时：15分钟 授课教师：何国良 教师所在学院：数学科学学院
电子科技大学教务处 教 师 教 案 课程名称：数学建模 授课对象：本科生(二年级) 课程类型：学科基础课 总学时数：64 学时 学 分：4 讲授主题：哥尼斯堡七桥问题 计划学时：15 分钟 授课教师：何国良 教师所在学院：数学科学学院
哥尼斯堡七桥问题教案 哥尼斯堡七桥问题 选自第一章第1节：数学建模的基本概念 一、教学目标 1.知识目标： 理解利用数学建模思想、方法来解决实际问题的基本路径： 初步理解数学建模的概念和方法。 2.技能目标： 培养学生仔细观察问题的能力，训练分析问题、进行数学抽象与解决问题的能力， 培养数学抽象、理解能力：增强学生借助几何直观和图、符号等抽象形式来描述对象， 实现简化实际问题的能力。 3.思政元素： 激发学生不断探索的精神：让学生感受数学抽象之美，增强“用数学”的能力，进 一步激发“学数学”的能力；培养学生研究、解决问题和追求理论完美的科学精神。 二、教学内容 欧拉解决哥尼斯堡七桥有无回路的问题： 重点：将实际问题抽象为数学模型（图）。 难点：将实际问题抽象为图及一笔画问题求解。 三、学情分析 “数学模型”这个概念是《数学建模》课程中的最基本、最要的一个概念，它和“数 学建模”是有密切的关系。由于“数学模型”这个概念比较抽象（数学结构），一般同 学在初次接触这个概念时，普遍感觉很抽象、难以理解或领会其中要义，所以对这个概 念的正确理解，有助于更好地把握数学建模的后续若干教学、实践环节。 四、教学思想 突出学生的教学主体地位，通过引导学生主动观察、探索，进行创造性的研究式学 习，充分调动学生学习的主观能动性，培养学生的创新能力。让学生体会在发现、探索 中创造知识，而不是一味被动的接受。给予学生探索和发现的新奇感和成就感，从而调 动学生学习的兴趣和积极性。学生在探索问题、解决问题的过程中，注重数学思想与方
哥尼斯堡七桥问题-教案 1 哥尼斯堡七桥问题 选自第一章第 1 节：数学建模的基本概念 一、教学目标 1.知识目标： 理解利用数学建模思想、方法来解决实际问题的基本路径; 初步理解数学建模的概念和方法。 2.技能目标： 培养学生仔细观察问题的能力，训练分析问题、进行数学抽象与解决问题的能力， 培养数学抽象、理解能力；增强学生借助几何直观和图、符号等抽象形式来描述对象， 实现简化实际问题的能力。 3.思政元素： 激发学生不断探索的精神；让学生感受数学抽象之美，增强“用数学”的能力，进 一步激发“学数学”的能力；培养学生研究、解决问题和追求理论完美的科学精神。 二、教学内容 欧拉解决哥尼斯堡七桥有无回路的问题； 重点：将实际问题抽象为数学模型（图）。 难点：将实际问题抽象为图及一笔画问题求解。 三、学情分析 “数学模型”这个概念是《数学建模》课程中的最基本、最要的一个概念，它和“数 学建模”是有密切的关系。由于“数学模型”这个概念比较抽象（数学结构），一般同 学在初次接触这个概念时，普遍感觉很抽象、难以理解或领会其中要义，所以对这个概 念的正确理解，有助于更好地把握数学建模的后续若干教学、实践环节。 四、教学思想 突出学生的教学主体地位，通过引导学生主动观察、探索，进行创造性的研究式学 习，充分调动学生学习的主观能动性，培养学生的创新能力。让学生体会在发现、探索 中创造知识，而不是一味被动的接受。给予学生探索和发现的新奇感和成就感，从而调 动学生学习的兴趣和积极性。学生在探索问题、解决问题的过程中，注重数学思想与方
哥尼斯堡七桥问题-教案 法的传授，注重数学抽象的引入，注重几何与代数的完美结合，重视开拓学生视野，于 细微之处展现数学的精炼之美。 五、教学方法 采用问题驱动式与探究式相结合的教学方法，引导学生进行研究性学习。以问题驱 动思考，以思考促进探究，以探究培养能力。 将教师对知识的讲授，转化为问题驱动下学生对知识的探求。在教学过程中，通过 不断向学生抛出问题，与学生互动，吸引学生兴趣，启发学生思考，充分调动学生学习 的积极性。在讲解问题过程中，运用分析的方法，循序渐进介绍解决哥尼斯堡七桥问题 的完美方案。 通过展现哥尼斯堡七桥问题的完整解决过程，在向学生呈现数学的奇妙之处的同时， 逐渐融入进行科学研究的思维方法和追求卓越的精神品质。 六、课程资源 1教材： 徐全智，杨晋浩，《数学建模》（第二版），高等教育出版社。 2.网络资源： (1)慕课(MOOC):资源共享课：http:/www.icourses.cn/sCourse/course4137.html (2)在线交互式电子书： http://222.197.165.70:8181/markbook/guajie.jsp?BID=12083417 七、教学安排 本次教学过程的大体流程是： 问题能舌一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次。最后仍回到起始地点？ 一笔画问题 欧拉开创了 图论与拓扑 科学 度 精神 和点相连的边的条数为偶数！ 2
哥尼斯堡七桥问题-教案 2 法的传授，注重数学抽象的引入，注重几何与代数的完美结合，重视开拓学生视野，于 细微之处展现数学的精炼之美。 五、教学方法 采用问题驱动式与探究式相结合的教学方法，引导学生进行研究性学习。以问题驱 动思考，以思考促进探究，以探究培养能力。 将教师对知识的讲授，转化为问题驱动下学生对知识的探求。在教学过程中，通过 不断向学生抛出问题，与学生互动，吸引学生兴趣，启发学生思考，充分调动学生学习 的积极性。在讲解问题过程中，运用分析的方法，循序渐进介绍解决哥尼斯堡七桥问题 的完美方案。 通过展现哥尼斯堡七桥问题的完整解决过程，在向学生呈现数学的奇妙之处的同时， 逐渐融入进行科学研究的思维方法和追求卓越的精神品质。 六、课程资源 1.教材： 徐全智，杨晋浩，《数学建模》(第二版)，高等教育出版社。 2. 网络资源： (1)慕课(MOOC)：资源共享课：http：//www.icourses.cn/sCourse/course_4137.html (2)在线交互式电子书： http：//222.197.165.70：8181/markbook/guajie.jsp?BID=12083417 七、教学安排 本次教学过程的大体流程是：
哥尼斯堡七桥问题-教案 具体教学过程设计如下： 首先介绍哥尼斯堡七座桥的基本特点，然后引出问题著名的哥尼斯堡七桥问题：“有 没有一次性走遍这七座桥又回到起点的方案？” 接着讨论人们求解这个问题所作的努力、传统方法所面临的困难及其其局限性 不能用穷举的办法来获得问题的解答。 由于人们对提出的问题没有得到满意的结果，大家向数学家欧拉寻求帮助。这里加 入对欧拉的介绍，向同学们展示欧拉在科学研究道路上不断学习、严于律己、不屈不挠 的学习、研究精神。 接下来重点介绍欧拉是如何运用数学建模的思想来解决问题的： 欧拉没有亲自去走那七座桥，而是通过反复思索、提炼出“人们除了桥以外，可以 在岛上，河岸上随便走来走去，不算违背在桥上只走一遍”的规律。 以此规律基础上，欧拉把河岸和小岛均抽象为一个个的点，而把人们要走遍的、关 键的七座桥，抽象为七条边。这一抽象就把“有无走遍这七座桥一次仅且一次”的问题 就变成了“能否用笔，一次性把这七条边的图形画出来”的问题，也就是我们常说的“一 笔画问题”。 这样的转换方式，也就是我们说的数学的抽象，这样的抽象将实际问题转换成数学 问题，使得问题变得简单一这体现了数学的“抽象美”。 接着说明这还不是“欧拉七桥问题”的高潮部分。欧拉伟大的地方还在于下面的这 个更精妙的环节。 对于一笔画的问题，不同于人们自然的想法一用笔和纸画画，欧拉采取新的数学 工具来完美地解决它。欧拉通过分析发现：对于每一个点来讲，如果要一笔把和它相连 的边都不重复地画出来再回到这个点的话，那和这个点相连边的条数应该是一偶数！ 在这样的数值结果基础上，为了更一般地描述、解决这类问题，欧拉首次提出了“度” 的概念一和一个点相连边的条数。 基于前面的讨论，从一点出发又回到起点，则每个点度数都应该是“偶数”才可以。 回到我们的哥尼斯堡七桥问题，对于这七座桥，由于和河的两岸、小岛相连的桥的座数 都是奇数！所以结论是一我们不可能找到一种方法，一次性走遍这七座拱桥又回到出 发点的方案的！ 这样一来，欧拉完美的解决了这个问题。欧拉以这个问题为出发点，继续研究类似 的，从而开创了两个著名的学科：“图论”和“拓扑学”。这里充分体现了研究、解决
哥尼斯堡七桥问题-教案 3 具体教学过程设计如下： 首先介绍哥尼斯堡七座桥的基本特点，然后引出问题著名的哥尼斯堡七桥问题：“有 没有一次性走遍这七座桥又回到起点的方案？” 接着讨论人们求解这个问题所作的努力、传统方法所面临的困难及其其局限性—— 不能用穷举的办法来获得问题的解答。 由于人们对提出的问题没有得到满意的结果，大家向数学家欧拉寻求帮助。这里加 入对欧拉的介绍，向同学们展示欧拉在科学研究道路上不断学习、严于律己、不屈不挠 的学习、研究精神。 接下来重点介绍欧拉是如何运用数学建模的思想来解决问题的： 欧拉没有亲自去走那七座桥，而是通过反复思索、提炼出“人们除了桥以外，可以 在岛上，河岸上随便走来走去，不算违背在桥上只走一遍”的规律。 以此规律基础上，欧拉把河岸和小岛均抽象为一个个的点，而把人们要走遍的、关 键的七座桥，抽象为七条边。这一抽象就把“有无走遍这七座桥一次仅且一次”的问题 就变成了“能否用笔，一次性把这七条边的图形画出来”的问题，也就是我们常说的“一 笔画问题”。 这样的转换方式，也就是我们说的数学的抽象，这样的抽象将实际问题转换成数学 问题，使得问题变得简单——这体现了数学的“抽象美”。 接着说明这还不是“欧拉七桥问题”的高潮部分。欧拉伟大的地方还在于下面的这 个更精妙的环节。 对于一笔画的问题，不同于人们自然的想法——用笔和纸画画，欧拉采取新的数学 工具来完美地解决它。欧拉通过分析发现：对于每一个点来讲，如果要一笔把和它相连 的边都不重复地画出来再回到这个点的话，那和这个点相连边的条数应该是——偶数！ 在这样的数值结果基础上，为了更一般地描述、解决这类问题，欧拉首次提出了“度” 的概念——和一个点相连边的条数。 基于前面的讨论，从一点出发又回到起点，则每个点度数都应该是“偶数”才可以。 回到我们的哥尼斯堡七桥问题，对于这七座桥，由于和河的两岸、小岛相连的桥的座数 都是奇数！所以结论是——我们不可能找到一种方法，一次性走遍这七座拱桥又回到出 发点的方案的！ 这样一来，欧拉完美的解决了这个问题。欧拉以这个问题为出发点，继续研究类似 的，从而开创了两个著名的学科：“图论”和“拓扑学”。这里充分体现了研究、解决
哥尼斯堡七桥问题-教案 问题的要有不断钻研的科学精神。 八、内容小结 欧拉首先分析七座桥的特点，然后把七座桥抽象为七条边的图形，从而将七座桥变 成了一笔画的问题，接下来利用“度”的概念完美地解决了这个一笔画问题。这样的过 程就是数学建模的过程—欧拉抽象出的“图”就是一个典型的数学模型。欧拉以此为 基础进一步开创了两门崭新的学科一“图论”和“拓扑学”。 九、教学评价与反思 本教学片段的亮点主要有： ()教学过程中注重思考方法论的传授，注重学生科研素养的训练，注重引导和启发 学生，重视开拓学生视野 (2)在引导学生理解数学建模案例的生成、发展过程，体会数学在这其中所展示的惊 人魅力：增强学生借助几何、代数来解决实际问题的意识。 (3)通过设计问题情境，让学生明确任务，引导学生不断探索，实现解决实际问题。 让学生能够对知识点之间的联系，以及来龙去脉和应用有个清晰认识。 (4)通过这个例子也可以让学生体会到，为解决实际问题，我们不能仅停留在实际问 题的表面，而应该采取一些抽象的数学办法来解决它一这也就是数学建模的思想。当 然这个过程一般不会是一帆风顺、水到渠成的，它需要我们反复思考、不断去尝试，需 要有不断钻研的科学精神
哥尼斯堡七桥问题-教案 4 问题的要有不断钻研的科学精神。 八、内容小结 欧拉首先分析七座桥的特点，然后把七座桥抽象为七条边的图形，从而将七座桥变 成了一笔画的问题，接下来利用“度”的概念完美地解决了这个一笔画问题。这样的过 程就是数学建模的过程——欧拉抽象出的“图”就是一个典型的数学模型。欧拉以此为 基础进一步开创了两门崭新的学科——“图论”和“拓扑学”。 九、教学评价与反思 本教学片段的亮点主要有： (1)教学过程中注重思考方法论的传授，注重学生科研素养的训练，注重引导和启发 学生，重视开拓学生视野。 (2)在引导学生理解数学建模案例的生成、发展过程，体会数学在这其中所展示的惊 人魅力；增强学生借助几何、代数来解决实际问题的意识。 (3)通过设计问题情境，让学生明确任务，引导学生不断探索，实现解决实际问题。 让学生能够对知识点之间的联系，以及来龙去脉和应用有个清晰认识。 (4)通过这个例子也可以让学生体会到，为解决实际问题，我们不能仅停留在实际问 题的表面，而应该采取一些抽象的数学办法来解决它——这也就是数学建模的思想。当 然这个过程一般不会是一帆风顺、水到渠成的，它需要我们反复思考、不断去尝试，需 要有不断钻研的科学精神
