教师 教 案 课程名称：漫话数学建模 课学时：32 课程组所在学院：数学科学学院
教 师 教 案 课 程 名 称：漫话数学建模 课 学 时：32 课程组所在学院：数学科学学院
课程名称 漫话数学建模 授课 班级 理、工、管、文 课程代码 A1011620 专业 修课人数 基础通识类()：核心通识类（√）；交叉通识类( ):学科通识类() 课程类别 学科基础课()：学科拓展课()：专业核心课()：个性化课程() 理论课( );实践课（√） 课堂讲授为主（√）：实验为主()： 是否采用 授课方式 自学为主()：专题讨论为主()： 是 多媒体授课 其他： 考试( )考查（√） 考核方式及 是否采用 成绩构成及比例： 否 成绩构成 双语教学 平时(30%)+课堂(30%)+建模论文(40%) 学时分配 讲授32学时；实验 学时：上机 学时；习题 学时；课程设计 学时 名称 作者 出版社及出版时间 教材 数学建模（第二版） 徐全智、杨晋浩 高等教育出版社，2008年1月 数学模型建立与实践系列教材() 徐全智 科学出版社，2019年末即将出版 ·数学认识与实践（讲义） 1.数学之美 吴军 人民邮电出版社，2012年5月 参考书目 2.数学模型建立与实践系列教材 李明奇 科学出版社，2017年即将出版 ()·数学方法与实践（讲义） 授课时间 第1周一第16周 本课程系面向理、工、管、文、医学生开设的数学类通识课，旨在使学生体会应用数学 学科的现实性、实践性、工具性，在各学科领域呈现的原创力。采用问题驱动式教学方式训 练学生的思考分析能力，用典型案例帮助学生体验运用数学解决各领域问题过程中呈现的不 明确性、不唯一性、主观性及试错性等原创特性，进而从科学认识规律训练学生掌握数学创 新思维及方法，力促培养学生有效地思考、交流、做出恰当判断和辨别价值等通识能力。 注重对学生道德品质熏陶，避免学术不端。实现无试卷、无考场、过程化的非标准考试 考核模式，要求学生“做自己的事，写自己的文章”，养成实事求是的科学研究态度
课程名称 漫话数学建模 授课 专业 理、工、管、文 班级 课程代码 A1011620 修课人数 课程类别 基础通识类( )；核心通识类( √ )；交叉通识类( )；学科通识类（ ） 学科基础课（ ）；学科拓展课（ ）；专业核心课（ ）；个性化课程( ) 理论课( )；实践课( √ ) 授课方式 课堂讲授为主（ √ ）；实验为主（ ）； 自学为主（ ）；专题讨论为主（ ）； 其他： 是否采用 多媒体授课 是 考核方式及 成绩构成 考 试( )考 查(√ ) 成绩构成及比例： 平时（30%）+课堂（30%）+ 建模论文（40%） 是否采用 双语教学 否 学时分配 讲授 32 学时；实验 学时；上机 学时；习题 学时；课程设计 学时 教材 名称 作者 出版社及出版时间 数学建模（第二版） 徐全智、杨晋浩 高等教育出版社, 2008 年 1 月 数学模型建立与实践系列教材（I） - 数学认识与实践（讲义） 徐全智 科学出版社, 2019 年末即将出版 参考书目 1.数学之美 2.数学模型建立与实践系列教材 （II）- 数学方法与实践（讲义） 吴军 李明奇 人民邮电出版社, 2012 年 5 月. 科学出版社, 2017 年即将出版 授课时间 第 1 周—第 16 周 本课程系面向理、工、管、文、医学生开设的数学类通识课，旨在使学生体会应用数学 学科的现实性、实践性、工具性，在各学科领域呈现的原创力。采用问题驱动式教学方式训 练学生的思考分析能力，用典型案例帮助学生体验运用数学解决各领域问题过程中呈现的不 明确性、不唯一性、主观性及试错性等原创特性，进而从科学认识规律训练学生掌握数学创 新思维及方法，力促培养学生有效地思考、交流、做出恰当判断和辨别价值等通识能力。 注重对学生道德品质熏陶，避免学术不端。实现无试卷、无考场、过程化的非标准考试 考核模式，要求学生“做自己的事，写自己的文章”，养成实事求是的科学研究态度
充分发挥本课程特点，合理有效应用典型案例，将“课程思政”融入课堂内外及各教学 环节，培养学生运用数学于各类科学技术领域，形成解决复杂问题能力，突出培育求真务实、 实践创新、精益求精的工匠精神，锤炼学生踏实严谨、耐心专注、吃苦耐劳、追求卓越等优 秀品质，成长为心系社会、有时代担当的专业人才。 第一章 序言 一、教学内容及要求(4学时) 认知数学的科学性及应用性，了解数学的文化性、工具性及技术性，了解本课程教学的 实践性，了解教学目标、教学理念及教学方法 二、教学重点、难点及解决办法 转变学生视数学学习等同“做习题”的学习观念，引导学生尝试从新的角度去了解数 学，认知数学，激发学生学习数学的兴趣 三、教学设计 1设计以下问题与学生共同讨论，帮助学生对自己的数学认知、学习理念、学习方法开 始有所反省，提高眼界，培养审视、分析问题的大格局、大视野 1)数学是什么？ 2)数学就在那里，你在哪里？ 3)你心目中的数学？ 4)你热爱数学吗？ 5)中国有西海吗？蜘蛛有奶吗？ 2.通过“创意平板折叠桌”等案例的介绍，开拓学生对数学的工具性、技术性及应用 性的视野」 3.通过对陈省身、杨振宁、林家翘等数学物理大师的工作简介，帮助学生认知数学学科， 加深拓展学生对数学的认识及理解， 4.通过“月上柳梢头，人约黄昏后”、“仰望星空，满天繁星”等小案例，了解数学的 文化性，思维训练的有效性，提高对实际问题的认知能力：利用案例“大夫的决策”使学生 理解“数学是一种科学语言”.在案例讨论与学习中体现课程思政的发展逻辑分析思辨能力， 增强理论自信和文化自信，逐渐培养学生能够形成观点、诠释观点等方面的听说读写“新四 会”能力 课程序言预期达到教学效果，使学生深刻理解以下论述： “从认识论的观点来看，人们应该给数学科学以无上的地位.”一一J勒雷 “自然界的事物基本上都很简单，所有的基础原理及主要问题都可以用数学方式表达
充分发挥本课程特点，合理有效应用典型案例，将“课程思政”融入课堂内外及各教学 环节，培养学生运用数学于各类科学技术领域，形成解决复杂问题能力，突出培育求真务实、 实践创新、精益求精的工匠精神，锤炼学生踏实严谨、耐心专注、吃苦耐劳、追求卓越等优 秀品质，成长为心系社会、有时代担当的专业人才。 第一章 序言 一、教学内容及要求（4 学时） 认知数学的科学性及应用性, 了解数学的文化性、工具性及技术性, 了解本课程教学的 实践性, 了解教学目标、教学理念及教学方法. 二、教学重点、难点及解决办法 转变学生视数学学习等同“做习题”的学习观念, 引导学生尝试从新的角度去了解数 学, 认知数学, 激发学生学习数学的兴趣. 三、教学设计 1.设计以下问题与学生共同讨论, 帮助学生对自己的数学认知、学习理念、学习方法开 始有所反省, 提高眼界, 培养审视、分析问题的大格局、大视野. 1) 数学是什么？ 2) 数学就在那里, 你在哪里? 3) 你心目中的数学？ 4) 你热爱数学吗? 5) 中国有西海吗？蜘蛛有奶吗？ 2. 通过 “创意平板折叠桌”等案例的介绍, 开拓学生对数学的工具性、技术性及应用 性的视野. 3. 通过对陈省身、杨振宁、林家翘等数学物理大师的工作简介, 帮助学生认知数学学科, 加深拓展学生对数学的认识及理解. 4. 通过“月上柳梢头, 人约黄昏后”、 “仰望星空, 满天繁星”等小案例, 了解数学的 文化性, 思维训练的有效性, 提高对实际问题的认知能力；利用案例“大夫的决策”使学生 理解“数学是一种科学语言”. 在案例讨论与学习中体现课程思政的发展逻辑分析思辨能力, 增强理论自信和文化自信, 逐渐培养学生能够形成观点、诠释观点等方面的听说读写“新四 会”能力. 课程序言预期达到教学效果, 使学生深刻理解以下论述： “从认识论的观点来看, 人们应该给数学科学以无上的地位.” ——J.勒雷 “自然界的事物基本上都很简单, 所有的基础原理及主要问题都可以用数学方式表达
这是一个应用数学家的信仰.”一应用数学大师林家翘 第二章数学的应用 一、教学内容及要求(6学时) 了解数学的抽象性和逻辑性；了解数学研究对象的多样性与内部的统一性；了解数学应 用的广泛性与描述的精确性.了解应用数学过程的五个阶段性工作：识别和剖析问题、提取数 学结构、描述数学问题、科学计算、解释评判结论 二、教学重点、难点及解决办法 学习数学理论知识与应用数学有极大差异，需转变学生的学习理念和学习方法建模过 程的五个阶段性工作是应用数学的重要环节，且涉及到对数学的全面认知，仅依靠老师抽象 讲授学生很难理解，选择恰当的案例，采取教师讲授引导并结合学生探究式、体验式等授课 模式尚可取得良好效果 三、教学设计 通过两个建模案例介绍，引导学生体验从实际问题中提取数学结构的过程，探究 “学着用”数学与“学习”数学有根本差异，对数学模型及数学建模有初步概要的了解，为 后续引进数学模型概念做好感性铺垫 帮助学生了解到建模过程的以下特征： 1)不明确性，问题没有设定具体需解决的问题和求解的条件： 2)不唯一性，模型不唯一、方法不唯一，没有唯一正确解答答案： 3)主观性，描述实际研究对象的规律性带有较强的主观性： 4)试错性，是原创性的工作过程，需要不断探索、试错并纠错 案例1：人口增长模型尝试建立数学模型预测人口数量变化， 1.问题前期分析 问题1影响1时刻某地区的人口总数变化的最显著因素应包括哪些？ 问题2你们准备考虑哪些因素？将考虑哪些变量？ 问题3用什么变量描述人口变化情况？人口密度还是人口总数？ 引导学生尽可能多的列出影响因素基础上，讨论确定仅考虑出生和死亡对人口变化的 影响，并用人口总数描述地区人口变化 2.建立数学模型 问题4在时间段北，什△]内出生和死亡所致人口数量变化与哪些变量有关？ 讨论结论出生率和死亡率、人口基数、时间间隔△1的长短 1)固定时间长度为单位1的条件下，建立差分方程人口模型
这是一个应用数学家的信仰.”—— 应用数学大师林家翘 第二章 数学的应用 一、教学内容及要求（6 学时） 了解数学的抽象性和逻辑性; 了解数学研究对象的多样性与内部的统一性;了解数学应 用的广泛性与描述的精确性.了解应用数学过程的五个阶段性工作: 识别和剖析问题、提取数 学结构、描述数学问题、科学计算、解释评判结论. 二、教学重点、难点及解决办法 学习数学理论知识与应用数学有极大差异, 需转变学生的学习理念和学习方法.建模过 程的五个阶段性工作是应用数学的重要环节, 且涉及到对数学的全面认知, 仅依靠老师抽象 讲授学生很难理解, 选择恰当的案例, 采取教师讲授引导并结合学生探究式、体验式等授课 模式尚可取得良好效果. 三、教学设计 通过两个建模案例介绍, 引导学生体验从实际问题中提取数学结构的过程, 探究 “学着用”数学与 “学习”数学有根本差异, 对数学模型及数学建模有初步概要的了解, 为 后续引进数学模型概念做好感性铺垫. 帮助学生了解到建模过程的以下特征： 1）不明确性, 问题没有设定具体需解决的问题和求解的条件； 2）不唯一性, 模型不唯一、方法不唯一, 没有唯一正确解答答案； 3）主观性, 描述实际研究对象的规律性带有较强的主观性； 4）试错性, 是原创性的工作过程, 需要不断探索、试错并纠错. 案例 1：人口增长模型 尝试建立数学模型预测人口数量变化. 1. 问题前期分析 问题 1 影响 t 时刻某地区的人口总数变化的最显著因素应包括哪些？ 问题 2 你们准备考虑哪些因素？将考虑哪些变量？ 问题 3 用什么变量描述人口变化情况？人口密度还是人口总数？ 引导学生尽可能多的列出影响因素基础上, 讨论确定仅考虑出生和死亡对人口变化的 影响, 并用人口总数描述地区人口变化. 2.建立数学模型 问题 4 在时间段[t, t+ t] 内出生和死亡所致人口数量变化与哪些变量有关？ 讨论结论 出生率和死亡率、人口基数、时间间隔t 的长短. 1）固定时间长度为单位 1 的条件下, 建立差分方程人口模型
2)在N趋于等的情况下，离散问愿连续化建立微分方程大晋=b-d,得到Mathus人 口模型Nt)=Noe",t≥0 3.数学模型分析 问题5以上两个人口模型哪个更“好”？ 问题6怎样评判模型的优与劣？ 引导学生分析两个模型，使学生理解不同的假设建立模型不同，有不同的适用范围，并 且察觉Malthus模型的不合理之处，讨论得出假设“净相对增长率r是常数”不合乎实际背 景，并提出猜想“人口净增长率与人口数量有关” 4.数学棋型改进 问题7怎样描述增长率和人口数的关系？ 试错：将“人口净增长率”视为人口量的函数)，不能求出人口函数： 主观设置函数：将净增长率r看成人口数N的线性函数r(W)=a+cN,建立微分方程，求 解得Logistic人口模型 NoKert K t≥0 K+(e”-)1+(-1en 5.数学模型分析与检验 对此模型做数学分析和实际检验，研讨得结论：Malthus模型适合描述初期高速变化的人 口数量，Logistic人口模型则适合描述较长时间内，增长速度出现拐点的人口变化情况.帮助 学生认识到数学模型没有“对错”，只有适用于否 通过关于分析人口模型的不断演化和发展，在区分模型不同的同时，体会研究成果的局 限性，培训学生实事求是的科学精神和辩证唯物主义意识观 案例2：桌子能放稳吗？ 1.课堂探究环节 此案例以问题牵引讨论为主，促使学生参与并体验如何将一个似乎与数学无关的问题 抽象为典型数学问题的全过程，竭力开拓学生的思维 实际问题：小李的方形书桌在固定位置怎么都放不平稳，有什么办法可以将桌子放稳 吗？ 问题1你考虑怎样置放桌子？ 如，将桌子固定在一个小范围不做移动， 只让其绕中心转动 随机置放 沿水平方向平移抬动（抬动）
2）在t 趋于零的情况下, 离散问题连续化建立微分方程 b d dt dN N 1 , 得到 Malthus 人 口模型 N(t) = N0ert, t ≥0. 3.数学模型分析 问题 5 以上两个人口模型哪个更“好”？ 问题 6 怎样评判模型的优与劣？ 引导学生分析两个模型, 使学生理解不同的假设建立模型不同, 有不同的适用范围, 并 且察觉 Malthus 模型的不合理之处, 讨论得出假设“净相对增长率 r 是常数”不合乎实际背 景, 并提出猜想“人口净增长率与人口数量有关”. 4.数学模型改进 问题 7 怎样描述增长率和人口数的关系？ 试错：将“人口净增长率”视为人口量的函数 r(N), 不能求出人口函数； 主观设置函数：将净增长率 r 看成人口数 N 的线性函数 r(N)=a+ c N, 建立微分方程, 求 解得 Logistic 人口模型 , 0 ( 1) 1 ( 1) ( ) 0 0 0 t rt e N K K rt K N e rt N Ke N t 5.数学模型分析与检验 对此模型做数学分析和实际检验, 研讨得结论：Malthus 模型适合描述初期高速变化的人 口数量, Logistic 人口模型则适合描述较长时间内, 增长速度出现拐点的人口变化情况.帮助 学生认识到数学模型没有“对错”, 只有适用于否. 通过关于分析人口模型的不断演化和发展, 在区分模型不同的同时, 体会研究成果的局 限性, 培训学生实事求是的科学精神和辩证唯物主义意识观. 案例 2：桌子能放稳吗？ 1.课堂探究环节 此案例以问题牵引讨论为主, 促使学生参与并体验如何将一个似乎与数学无关的问题 抽象为典型数学问题的全过程, 竭力开拓学生的思维. 实际问题：小李的方形书桌在固定位置怎么都放不平稳, 有什么办法可以将桌子放稳 吗？ 问题 1 你考虑怎样置放桌子？ 如, 将桌子固定在一个小范围不做移动, 只让其绕中心转动. 随机置放 沿水平方向平移抬动（抬动）
问题2造成桌子放不稳的原因是什么？ 桌子四条腿不等长？地面不平？ 问题3明确解决什么问题？ 将一张四条腿等长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使它放稳？ 引导学生关注问题中的关键词“不平”和“放稳” 问题4什么是放稳？如何从数学角度描述？ 分析结果 倣稳→四条腿同时着地一→四条腿与地面的距离均为零 问题5如何用数学语言描述不平的地面？ 寝室的地面不平，但可以将地面视为连续曲面，在Ox)z坐标系中用一个连续二元函数 =(x,y)表示 问题6如何描述桌子腿与地面的接触？ 桌子是刚体，四条腿等长且位置是相对固定的，将与地面的接触看成几何上的点接触 问题7曲面需要满足什么条件吗？ 地面较平坦（曲面弯曲程度不高），相对于地面方桌的腿足够长 帮助学生理解到以上4条是为建立数学模型做的理想化假设，虽然主观但具有一定合理 性！才可能对实际问题进行如下数学抽象 数学抽象分别表示用A、B、C、D四条腿的底端点，4个点构成一个正方形平面，且 4点与地面距离均为零 数学问题连续曲面上是否存在由四点构成的正方形平面？ 问题8怎样用数学语言描述各种置放方案？ 水平方向连续平移方案：将正方形平面沿水平方向移动，4个角是否能与任意连续曲面 相接？ 随机置放方案：注意到方桌中心位置随机变动，且桌子的边沿与水平线的夹角也是随机 变化，这是随机数学应用问题，较难描述 绕中心转动方案：四点构成的正方形围绕中心连续转动，是否一定能与任意连续曲面四 点相切？ 2.翻转课堂环节 在介绍完案例2之后，课余研讨反转问题的基础上，为以小组为单位在课堂上组织讨论 发言，并考核各组成绩 四、作业 1.课余思考题：结合桌子放稳的条件，对第三种旋转方案考虑如何描述4条腿与地面的 距离变化？ 2.以小组为单位研讨《桌子放稳》课堂反转问题，任选其中1~2问做准备，课堂上每小 组做报告发言，作为课堂考核成绩依据
问题 2 造成桌子放不稳的原因是什么? 桌子四条腿不等长? 地面不平? ...... 问题 3 明确解决什么问题? 将一张四条腿等长的方桌放在不平的地面上, 问是否总能设法使它放稳？ 引导学生关注问题中的关键词“不平”和“放稳”, 问题 4 什么是放稳? 如何从数学角度描述？ 分析结果 放稳 四条腿同时着地 四条腿与地面的距离均为零 问题 5 如何用数学语言描述不平的地面？ 寝室的地面不平, 但可以将地面视为连续曲面, 在 Oxyz 坐标系中用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示. 问题 6 如何描述桌子腿与地面的接触？ 桌子是刚体, 四条腿等长且位置是相对固定的, 将与地面的接触看成几何上的点接触, 问题 7 曲面需要满足什么条件吗？ 地面较平坦（曲面弯曲程度不高）, 相对于地面方桌的腿足够长. 帮助学生理解到以上4条是为建立数学模型做的理想化假设, 虽然主观但具有一定合理 性！才可能对实际问题进行如下数学抽象. 数学抽象 分别表示用 A、B、C、D 四条腿的底端点, 4 个点构成一个正方形平面, 且 4 点与地面距离均为零. 数学问题 连续曲面上是否存在由四点构成的正方形平面? 问题 8 怎样用数学语言描述各种置放方案? 水平方向连续平移方案: 将正方形平面沿水平方向移动, 4 个角是否能与任意连续曲面 相接? 随机置放方案: 注意到方桌中心位置随机变动, 且桌子的边沿与水平线的夹角也是随机 变化, 这是随机数学应用问题, 较难描述. 绕中心转动方案: 四点构成的正方形围绕中心连续转动, 是否一定能与任意连续曲面四 点相切? 2.翻转课堂环节 在介绍完案例 2 之后, 课余研讨反转问题的基础上, 为以小组为单位在课堂上组织讨论 发言, 并考核各组成绩. 四、作业 1. 课余思考题：结合桌子放稳的条件, 对第三种旋转方案考虑如何描述 4 条腿与地面的 距离变化？ 2. 以小组为单位研讨《桌子放稳》课堂反转问题, 任选其中 1~2 问做准备, 课堂上每小 组做报告发言, 作为课堂考核成绩依据
1)怎样理解桌子放稳？如何从数学角度加以描述？ 2)造成桌子放不稳的原因有哪些，为什么？ 3)“任意两条腿与地面距离之和均为零”是否为放稳桌子的充分必要条件？ 4)课件中如何描述地面的“不平”、桌腿与地面的“接触”以及“桌子是刚体”，请阐述 其合理性 5)如果减少课件中4条的部分假设，可以解决原问题吗？ 6)在该范例中的假定条件下，桌子可以放平吗？ 7)课件里“仅让桌子绕中心转动，将其放稳”抽象为了什么数学问题？你们认可吗？ 8)课件里有三种放置方法，还可以有其它不同的方法吗？你们将如何评价并选择解决 问题的思路？ 五、参考资料 1.数学与国家实力，张恭庆（北京大学数学科学学院教授、中国科学院院士、第三世界 科学院院士) 2.我在剑桥学说话：使用语言的能力决定人的发展潜力，濮实： http://mp.weixin.qq.com/s?biz=MjM5MzQxOTgzNQ=&mid=200049310&idx=1&sn=f18abd dbd5387186ba9eecbe7befc5ad&scene=2&from=timeline&isappinstalled=0#rd 六、教学后记 从学生第一次完成作业情况来看，教学效果良好，引起全体学生极大的学习兴趣，有 称“几次课颠覆了自己的世界观”，开拓了学生的视野，避免“以点带面”、“人云亦云”， 增强理论自信、文化自信.但课堂上留给学生深入讨论和思考的时间不够充裕，部分学生对 教学目标领悟不太到位 第三章数学模型与数学建模 一、教学内容及要求(6学时) 理解数学模型概念，了解数学建模及其过程的阶段性工作：了解建模解答的不唯一性： 了解三类数学建模基本方法：了解模型的可转移性 二、教学重点、难点及解决办法 建立数学模型是应用数学的关键而重要环节，正确理解数学模型概念非常重要，但学生 理解此概念很困难，往往出现理解偏差，致建模偏离方向或失败.按照一般讲授数学知识理 论的教学方法难有成效，采用结合前述案例循序渐进，帮助学生反复体会其内意，并在后继 课堂教学及课后作业练习中不断强化理解和掌握 三、教学设计
1) 怎样理解桌子放稳? 如何从数学角度加以描述？ 2) 造成桌子放不稳的原因有哪些, 为什么? 3) “任意两条腿与地面距离之和均为零”是否为放稳桌子的充分必要条件？ 4) 课件中如何描述地面的“不平”、桌腿与地面的“接触”以及“桌子是刚体”, 请阐述 其合理性. 5) 如果减少课件中 4 条的部分假设, 可以解决原问题吗？ 6）在该范例中的假定条件下, 桌子可以放平吗？ 7）课件里“仅让桌子绕中心转动, 将其放稳”抽象为了什么数学问题？你们认可吗？ 8）课件里有三种放置方法, 还可以有其它不同的方法吗？你们将如何评价并选择解决 问题的思路? 五、参考资料 1. 数学与国家实力, 张恭庆 (北京大学数学科学学院教授、中国科学院院士、第三世界 科学院院士) 2. 我在剑桥学说话：使用语言的能力决定人的发展潜力 , 濮实： http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MzQxOTgzNQ==&mid=200049310&idx=1&sn=f18abd dbd5387186ba9eecbe7befc5ad&scene=2&from=timeline&isappinstalled=0#rd 六、教学后记 从学生第一次完成作业情况来看, 教学效果良好, 引起全体学生极大的学习兴趣, 有 称“几次课颠覆了自己的世界观”, 开拓了学生的视野, 避免“以点带面”、“人云亦云”, 增强理论自信、文化自信. 但课堂上留给学生深入讨论和思考的时间不够充裕, 部分学生对 教学目标领悟不太到位. 第三章 数学模型与数学建模 一、教学内容及要求（6 学时） 理解数学模型概念, 了解数学建模及其过程的阶段性工作；了解建模解答的不唯一性； 了解三类数学建模基本方法；了解模型的可转移性. 二、教学重点、难点及解决办法 建立数学模型是应用数学的关键而重要环节, 正确理解数学模型概念非常重要, 但学生 理解此概念很困难, 往往出现理解偏差, 致建模偏离方向或失败. 按照一般讲授数学知识理 论的教学方法难有成效, 采用结合前述案例循序渐进, 帮助学生反复体会其内意, 并在后继 课堂教学及课后作业练习中不断强化理解和掌握. 三、教学设计
1.回顾前述案例“大夫的决策问题”、“桌子能放稳吗？”及“人口增长模型”，与学 生一道总结出数学应用过程： (1)科学地识别和剖析问题： (2)建立数学模型： (3)对研究中所选择的模型求解数学问题： (4)对有关计算问题提出算法设计和计算机程序： (⑤)解释原问题的结论并评判这些结论. 进而强调数学模型(Mathematical Model)是重结果：数学建模Mathematical Modeling)则 是重过程 2.给出数学模型定义：关于现实对象基于一定目的抽象、简化的，具有对象本质属性的 数学结构 1)强调“数学结构”非一定为数学公式，列举“大夫的决策问题”是由数表描述： 2)强调数学模型是对现实对象简化而本质的描述，帮助学生形成观点：数学模型仅为 真实系统某一方面的理想化，决不可能是真实系统的重现 3)再次阐述数学模型概念：是对于现实世界的一个特定对象，为一个特定目的，根据其 特有规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构， 3.阐述数学建模：创立一个数学模型解决实际问题的全过程 1)运用数学的思维方法、数学语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程 2)数学建模方法是一种数学思考方法，是解决实际问题的一种强有力的工具： 4.缘承前课余思考题：“结合桌子放稳的条件，对第三种旋转方案考虑如何描述4条腿与 地面的距离变化？”，进行反转研讨讲授结合模式，帮助学生理解以上概念和观点 问题1对旋转方案如何描述4条腿与地面的距离变化？ 问题2以下结论是否成立？ 倣稳（←〉四条腿与地面的距离均为零←→任意两条腿与地面的距离之和均为零图 问题3可以仅用两个距离函数描述桌子放稳吗？共有多少种方案可供选择？ 问题4选择哪两对桌腿构建距离函数？ 0 问题5若“A、C两腿与地面距离之和为零”与“B、D两腿与地面距离之和为零” 同时成立，将桌子放稳可抽象成为什么数学问题？ 引进函数：)一A、C两腿到地面的距离之和： g()一B、D两腿到地面的距离之和：
1. 回顾前述案例“大夫的决策问题”、“桌子能放稳吗？”及“人口增长模型”, 与学 生一道总结出数学应用过程： (1) 科学地识别和剖析问题； (2) 建立数学模型； (3) 对研究中所选择的模型求解数学问题； (4) 对有关计算问题提出算法设计和计算机程序； (5) 解释原问题的结论并评判这些结论. 进而强调数学模型(Mathematical Model)是重结果；数学建模(Mathematical Modeling)则 是重过程. 2. 给出数学模型定义：关于现实对象基于一定目的抽象、简化的, 具有对象本质属性的 数学结构. 1）强调“数学结构”非一定为数学公式, 列举“大夫的决策问题”是由数表描述； 2）强调数学模型是对现实对象简化而本质的描述, 帮助学生形成观点：数学模型仅为 真实系统某一方面的理想化, 决不可能是真实系统的重现. 3）再次阐述数学模型概念：是对于现实世界的一个特定对象, 为一个特定目的, 根据其 特有规律, 做出必要的简化假设, 运用适当的数学工具建立的一个数学结构. 3. 阐述数学建模：创立一个数学模型解决实际问题的全过程. 1）运用数学的思维方法、数学语言去近似地刻画实际问题, 并加以解决的全过程. 2）数学建模方法是一种数学思考方法, 是解决实际问题的一种强有力的工具. 4. 缘承前课余思考题：“结合桌子放稳的条件, 对第三种旋转方案考虑如何描述 4 条腿与 地面的距离变化？”, 进行反转研讨讲授结合模式, 帮助学生理解以上概念和观点. 问题 1 对旋转方案如何描述 4 条腿与地面的距离变化？ 问题 2 以下结论是否成立？ 放稳 四条腿与地面的距离均为零 任意两条腿与地面的距离之和均为零 问题 3 可以仅用两个距离函数描述桌子放稳吗？共有多少种方案可供选择？ 问题 4 选择哪两对桌腿构建距离函数？ 问题 5 若“A、C 两腿与地面距离之和为零”与“B、D 两腿与地面距离之和为零” 同时成立, 将桌子放稳可抽象成为什么数学问题？ 引进函数： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和；
假定：*1将地面视为连续曲面，故)、g()都是连续函数 *2方桌腿足够长，任何位置至少有三条腿总能同时着地 数学问题：已知0、g()都是连续函数，0=0、g0)>0,且对任意0，都有 0)g(0)=0,求证：存在0o,使得∫0o)片g0o)=0. 问题6能联想到哪个数学定理？ 零点存在定理，令h(0=-g0),求证：存在0o,使得h()=0)-g0o)=0. 问题7满足零点定理条件吗？怎么办？ 有条件1)h()在[0，π]上连续；2)h0)0推知π/2)>0，gπ/2)=0， 且3)hπ/2=π/2)一g/2)>0成立 此案例注意引导学生充分理解建模的不明确性，能知悉在应用数学过程中常需要通过 探究分析原问题，去抽象出具体数学问题及相应的求解条件，充分体会“数学建模是原创性 的试错过程，需要不断探索、试错并纠错.” 四、作业 为鼓励学生“去做！去实践！学着用，干中学！”，进行尝试和实践，体会建模过程中 的原创性工作，以小组为单位完成作业：选择完成建模小案例中1~8题中任一题，严格要求 学生“做自己的事，写自己的文章”.采用学生互评和教师评阅相结合的判分形式，增强学 生的阅读与写作能力的同时，以检验学生是否具备客观科学的认知辨别态度及能力，正向锤 炼学生健全的人格和优良的品格 附录小案例1~8题 1)某晚23：00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于23：35分赶到现场，立即 测得死者体温是30.8c,一小时以后再次测量体温为29.1c,法医还注意到当时室温是28c, 建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间 2)一辆小轿车在一轮公共汽车的左侧并排行驶，当公共汽车向右转弯时，小轿车撞在 公共汽车的尾部左端.双方司机相互责怪，公共汽车司机认为自己车子尾部被撞，是因为小 轿车司机不小心造成.而小轿车司机则认为自己是直线正常行驶，责任不在自己.请你分析 原因，主要责任在何方？ 3)一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细 菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出1时刻的细菌数量： 4)两家公司出售同类商品，展开了激烈的价格战.一方公司聘请你帮助他们分析销售 量的变化情况，并制定相应对策.现请你考虑 α)他们的商品销售量主要受哪些因素的影响？ b)建立一个数学模型来描述销售量的变化情况. 5)森林失火了！为了估算失火造成的损失量，在对问题进行充分分析的基础上，请考虑
假定：*1 将地面视为连续曲面, 故 f(θ)、g(θ)都是连续函数. *2 方桌腿足够长, 任何位置至少有三条腿总能同时着地 数学问题：已知 f(θ)、g(θ) 都是连续函数, f(0)=0、g(0)＞0, 且对任意 θ, 都有 f(θ)g(θ)=0, 求证：存在 θ0, 使得 fθ0)=g(θ0)=0. 问题 6 能联想到哪个数学定理？ 零点存在定理, 令 h(θ)=f(θ)－g(θ), 求证：存在 θ0 , 使得 h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0. 问题 7 满足零点定理条件吗？怎么办？ 有条件 1）h(θ)在 [0, π]上连续; 2) h(0)＜0; 成立. 尚未满足条件. 分析：当θ=π/2 时, AC 和 BD互换位置, 故由f(0)=0、g(0)＞0推知f(π/2)＞0, g(π/2)=0 , 且 3）h(π/2)= f(π/2)—g(π/2)＞0 成立. 此案例注意引导学生充分理解建模的不明确性, 能知悉在应用数学过程中常需要通过 探究分析原问题, 去抽象出具体数学问题及相应的求解条件, 充分体会“数学建模是原创性 的试错过程, 需要不断探索、试错并纠错.” 四、作业 为鼓励学生“去做！去实践！学着用, 干中学！”, 进行尝试和实践, 体会建模过程中 的原创性工作, 以小组为单位完成作业：选择完成建模小案例中 1~8 题中任一题，严格要求 学生“做自己的事，写自己的文章”. 采用学生互评和教师评阅相结合的判分形式，增强学 生的阅读与写作能力的同时，以检验学生是否具备客观科学的认知辨别态度及能力，正向锤 炼学生健全的人格和优良的品格. 附录 小案例 1~8 题 1) 某晚 23:00 时, 在一个住宅内发现一具受害者尸体, 法医于 23:35 分赶到现场, 立即 测得死者体温是 30.80 c, 一小时以后再次测量体温为 29.10 c , 法医还注意到当时室温是 280 c, 建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间. 2) 一辆小轿车在一轮公共汽车的左侧并排行驶, 当公共汽车向右转弯时, 小轿车撞在 公共汽车的尾部左端. 双方司机相互责怪, 公共汽车司机认为自己车子尾部被撞, 是因为小 轿车司机不小心造成. 而小轿车司机则认为自己是直线正常行驶, 责任不在自己. 请你分析 原因, 主要责任在何方？ 3) 一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快, 目前器皿中有 100 个细菌, 每隔 5 分钟细 菌个数就会加倍, 请仔细分析实际情况, 建立一个函数表示出 t 时刻的细菌数量. 4) 两家公司出售同类商品, 展开了激烈的价格战. 一方公司聘请你帮助他们分析销售 量的变化情况, 并制定相应对策. 现请你考虑 a）他们的商品销售量主要受哪些因素的影响？ b）建立一个数学模型来描述销售量的变化情况. 5) 森林失火了！为了估算失火造成的损失量, 在对问题进行充分分析的基础上, 请考虑
a)哪些因素会造成损失？ b)你们是否接受这种说法：在消防队员到达之前，火势越来越大，火势蔓延速度与时间 成正比.为什么？ c)写出森林烧毁面积函数B()的表达式.并给出相应的假设条件，并阐述其合理性 在降雪过程中，清扫过的路面又会重新开始积雪.请你建立一个降雪函数，用来确 定除雪机己经开始工作后未清扫过路面的积雪厚度.其中除雪机开始工作时积雪厚度达到 0.5m,以后连续下了1个小时 8)在银行存储钱，可获得某种利率的利息.你有一笔余钱就立即存入，需要资金时又 会去提取部分.你帐户上的资金量不仅与你的存入量，取出量、存取日期有关，还取决于如 何记息。 假定存款每月按复利计息，每项存款在存入的第二个月初即开始得利，构造一个数学模 型用来计算你在任一时刻帐户上有多少钱？另一个问题是，为某种用途希望在12个月后提 取一笔资金，计划在12个月中分月存入，每月应存入多少？ 第四章数学创新思维方法 一、教学内容及要求(10学时) 1.数学创新思维(4学时) 了解几种数学创新思维：类比思维、发散思维、归纳思维、猜测思维、逆向思维、直觉 思维等，理解类比思维、掌握类比思维方法 3.数学创新思维方法(6学时) 掌握创新思维方法：提问题法、关键词联想法、问题分解法、小组群体思维（头脑风暴 法)并能用于应用数学的各环节 二、教学重点、难点及解决办法 本章内容是本课程的核心部分，是培养学生创新意识、创新能力的重要组成，即是重点 也是难点： 1.认识数学建模与求解数学应用题的差别： 2.理解几类数学创新思维，掌握几种创新思维方法是建模的重要组成部分，初学者很 难把握，更难成为自身的思维习惯并娴熟的应用。 3.问题的整体把握是一年级学生从未意识到的，对只会算题的学生而言是超过转型为 大学生非常重要的环节，且掌握概念和方法均较难， 基于案例分析，在课堂讲授和师生互动讨论时充分注意调动每个学生的思维，按照科学 认识规律训练学生的思维
a) 哪些因素会造成损失？ b) 你们是否接受这种说法：在消防队员到达之前, 火势越来越大, 火势蔓延速度与时间 成正比. 为什么？ c）写出森林烧毁面积函数 B(t)的表达式, 并给出相应的假设条件, 并阐述其合理性. 7) 在降雪过程中, 清扫过的路面又会重新开始积雪. 请你建立一个降雪函数, 用来确 定除雪机已经开始工作后未清扫过路面的积雪厚度. 其中除雪机开始工作时积雪厚度达到 0.5m, 以后连续下了 1 个小时. 8) 在银行存储钱, 可获得某种利率的利息. 你有一笔余钱就立即存入, 需要资金时又 会去提取部分. 你帐户上的资金量不仅与你的存入量, 取出量、存取日期有关, 还取决于如 何记息. 假定存款每月按复利计息, 每项存款在存入的第二个月初即开始得利, 构造一个数学模 型用来计算你在任一时刻帐户上有多少钱？另一个问题是, 为某种用途希望在 12 个月后提 取一笔资金, 计划在 12 个月中分月存入, 每月应存入多少？ 第四章 数学创新思维方法 一、教学内容及要求（10 学时） 1.数学创新思维（4 学时） 了解几种数学创新思维：类比思维、发散思维、归纳思维、猜测思维、逆向思维、直觉 思维等, 理解类比思维、掌握类比思维方法. 3.数学创新思维方法（6 学时） 掌握创新思维方法：提问题法、关键词联想法、问题分解法、小组群体思维(头脑风暴 法)并能用于应用数学的各环节. 二、教学重点、难点及解决办法 本章内容是本课程的核心部分, 是培养学生创新意识、创新能力的重要组成, 即是重点 也是难点： 1.认识数学建模与求解数学应用题的差别； 2. 理解几类数学创新思维, 掌握几种创新思维方法是建模的重要组成部分, 初学者很 难把握, 更难成为自身的思维习惯并娴熟的应用. 3.问题的整体把握是一年级学生从未意识到的, 对只会算题的学生而言是超过转型为 大学生非常重要的环节, 且掌握概念和方法均较难. 基于案例分析, 在课堂讲授和师生互动讨论时充分注意调动每个学生的思维, 按照科学 认识规律训练学生的思维
