vx∈M,PMx=x,故0=PPMx=Px。x⊥E所以M⊥E 思考题若P1,P2是投影算子,则PP2是投影算子当且仅当PP2=P2P 引理设H是 Hilbert空间,{P}是H上的一列投影算子并且P 点点收敛于P,即vx∈H,|Px-Px→0,则P是投影算子 证明Vx∈H, lim px=Px.由 Banach- Steinhaus定理,P是 有界线性算子.又vy∈H (Px, y)=lim(P x, y)=lim(x, p y)=(x, Py) P是自伴的.另一方面 ( P2-P)x=(p2-P, P+P, P-P2+P-P)x ≤KP-PPx+|PkP-P)x+kP-P)x→>0 故(P2-P)x=0,Vx∈H,即P2=P.P是幂等的 定理7设H为 Hilbert空间 (1)若Q}是一列两两正交(QQ,=0,≠的投影算子,则存在 投影算子P使得∑Qx→Px点点成立 (2)若{E是一列单调上升(EcEF,≤/的闭线性子空间并且 E=∪mE,则Px→Px点点成立 证明记P=∑Q,由定理6,利用数学归纳法不难证明 是投影算子.由正交性 (Ox, 0,x)=(@,x, x)=0(i+j) 故10 ∀ ∈x M ， P x x M = ，故 P P x P x = E M = E 0 。 x ⊥ E 所以 M ⊥ E . 思考题 若 1 2 P , P 是投影算子，则 P1P2 是投影算子当且仅当 P1P2 ＝ P2P1 . 引理 设 H 是 Hilbert 空间， {Pn }是 H 上的一列投影算子并且 Pn 点点收敛于 P ，即 ∀x ∈ H ， P x − Px → 0 n ，则 P 是投影算子. 证明 ∀x ∈ H , n→∞ lim P xn = Px . 由 Banach-Steinhaus 定理, P 是 有界线性算子. 又 ∀ ∈y H , (Px, y) = n→∞ lim ) (P x, y n = n→∞ lim ) (x, P yn = (x, Py) P 是自伴的. 另一方面 (P P)x 2 − = P P P P P P P P x n n n n ( ) 2 2 − + − + − ≤ (P P )(Px) − n + Pn P P x n ( − ) + P P x n ( − ) → 0 故 (P P)x 2 − =0, ∀x ∈ H , 即 P = P 2 . P 是幂等的. . 定理 7 设 H 为 Hilbert 空间. (1) 若 {Qi}是一列两两正交 (Q Q 0,i j) i j = ≠ 的投影算子, 则存在 投影算子 P 使得 1 n i i Q x Px ∑ = → 点点成立. (2) 若 {Ei}是一列单调上升( , E Ei j i j ⊂ ≤ )的闭线性子空间并且 1 i i E E ∞ = =∪ , 则 En P x → P xE 点点成立. 证明 D 1 记 ∑= = n i Pn Qi 1 , 由定理 6, 利用数学归纳法不难证明 Pn 是投影算子. 由正交性 (Q x,Q x) i j = (Q Q x, x) j i =0 ( i ≠ j ) 故