模型结构介绍 张继平（北京大学） 章璞（上海交通大学） 2021年12月3日 有限群的表示 ,有限维Hopf n投射 范畴，加法范砖的复形范畴，微分分次代数范畴，拓扑空间范畴，都有自然的（闭）模型结构模型 范畴中的思想方法概括、发展、并影响了某些数学领域中的思想方法.例如，V.Voevodsky获 Fields奖的工作N,现在，模型结构在诸如表示论、高阶K-理论、同伦论、代数拓扑、理论 计算机科学中的同伦类型论中，都有重要的应用，也成为前沿的研究对象 Daniel gray ouillen(19402011)1964年以偏微分方程方面的工作获哈佛大学博士学位 不久，受D.Km的影响，他研究代数拓扑和代数学.1967年他引入模型范畴并以此研究同伦 论：1971年他用有限群模表示论证明拓扑学中的As猜想：1972年他建立高阶K理论， 中引入正合范畴：1976年他证明Sc心猜想：主理想整环上的n元多项式环上的有限生成投 射模都是自由模(A.A.Suslin也独立地得到这一结果)，1978年他获Fields奖 文献[Q]清晰简洁，是这一理论很好很快的入门书.和可是这方面的专著文献 旧3是有帮助的综述性文章 这个讲义的初稿基于我们2010年关于余挠对和正合范畴的笔记手稿.此次由于系列讲座 的推动，添加Quillen模型结构方面的内容.在这个短课中，我们将介绍（闭）模型结构的基本 概今和性质，说明模型结构与闭模型结构之间的关系，证明Ab范畴上相容的闭模型结构与 ,二元组之间 对应的名定理。从 一对遗传、完备、相容的余挠对构造HO 组.介绍正合范畴及其基本性质：给出Frobenins范畴上的自然的（闭）模型结构.我们也将从 .(0 ‹U² (ÆåÆ) Ÿ‚ (˛°œåÆ) 2021 c 12  3 F âÆ˛(4).(⁄(4).âÆߥ D. Quillen 3 [Q1] •⁄\ (èÎÑ [Q2]). kÅ+L´âÆ,kÅë Hopf ìÍâÆ,g\ìÍâÆ, Dz Gorenstein › âÆ, \{âÆE/âÆ,á©©gìÍâÆ,ˇ¿òmâÆ, —kg,(4).(.. âÆ•géê{V)!u–!øKè , ÍÆ+ç•géê{.~X, V. Voevodsky º Fields ¯Ûä [V]. y3ß.(3ÃXL´ÿ!p K-nÿ!”‘ÿ!ì͡¿!nÿ OéÅâÆ•”‘a.ÿ•ß—k­áA^ßè§èc˜ÔƒÈñ. Daniel Gray Quillen (1940-2011) 1964 c±†á©êßê°ÛäºMÃåÆƨƆ. ÿ»,… D. Kan Kè, ¶Ôƒì͡¿⁄ìÍÆ. 1967 c¶⁄\.âÆø±dÔƒ”‘ ÿ¶1971c¶^kÅ+L´ÿy²ˇ¿Æ• Adams flé¶1972 c¶Ô·p K-nÿߟ •⁄\‹âƶ1976c¶y² Serre flé: ÃnéDz n ıë™Ç˛kÅ)§› —¥gd (A. A. Suslin è’·/˘ò(J). 1978c¶º Fields ¯. ©z [Q1]òfl{',¥˘ònÿÈ–ÈØ\Ä÷. [H1] ⁄ [Hir] ¥˘ê°;Õ.©z [H3] ¥kêœn„5©Ÿ. ˘á˘¬–vƒu·Ç 2010 c'u{LÈ⁄‹âÆ)PÃv.dgduX˘å ̃, V\ Quillen .(ê°SN. 3˘á·ë•ß·ÇÚ0(4).(ƒ Vg⁄5üß`².(Ü4.(Ém'X. y² Abel âÆ˛ÉN4.(Ü Hovey n|ÉmòòÈAÕ¶½n; lòÈ¢D!!ÉN{LÈE Hovey n |. 0‹âÆ9Ÿƒ5ü¶â— Frobenius âÆ˛g,(4).(. ·ÇèÚl 1