由(4知道级数∑g4(x)在R”上一致收敛记其和为g(x),则g(x)是R"上的连续函数 而(5)表明在F上g(x)=f(x).并且 ()s∑(x)s3∑ x∈ 因此当∫有界时,定理的结论成立 若f(x)无界,令以(x)=tg/(x),则(x)≤由上面所证,存在R上的连续函 数v,使得=0.令g(x)=tgv(x).则g是R上的连续函数并且g=f 定理5( Lusin鲁津)设E是R"上的 Lebesgue可测集,∫是E上ae有限的 Lebesgue 可测函数.则对任意d>0,存在R上的连续函数g,使得 m({x∈E:f(x)≠g(x)})<d 并且supg(x) supl/(x) 证明由定理2,对任意δ>0,存在E的闭子集F,使得∫在F上连续并且 m(E-F)<d.由定理4,存在R”上的连续函数g,使得当x∈F时,g(x)=f(x)并且 g(x)=supf(x)≤sup(x) 由于{x∈E:f(x)≠g(x)}cE-F.因此 m({x∈E:f(x)≠g(x)})≤m(E-F)<d 思考题在直线上的情形,用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明 小结本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系本节的主要结果是 Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin定理表明, Lebesgue可测函数可以用连续函数在某种意义下逼 近.由于连续函数的具有较好的性质,比较容易处理,因此这个结果在有些情况下是很有用 的.本节还证明了 Tietze扩张定理,它也是一个很有用的结果 习题习题三,第29题一第31题.86 由(4)知道级数 ∑ ∞ =1 ( ) k k g x 在 n R 上一致收敛. 记其和为 g(x), 则 g(x) 是 n R 上的连续函数. 而(5)表明在 F 上 g(x) = f (x). 并且 , 3 2 3 ( ) ( ) 1 1 1 M M g x g x k k k k  =      ≤ ∑ ≤ ∑ ∞ = − ∞ = x ∈ . n R 因此当 f 有界时, 定理的结论成立. 若 f (x) 无界, 令 ( ) tg ( ), 1 x f x − ϕ = 则 ϕ(x) ≤ . 2 π 由上面所证, 存在 n R 上的连续函 数ψ, 使得ψ = ϕ. F 令 g(x) = tgψ(x) . 则 g 是 n R 上的连续函数并且 g f . F = ■ 定理 5 (Lusin 鲁津) 设 E 是 n R 上的 Lebesgue 可测集, f 是 E 上 a.e.有限的 Lebesgue 可测函数. 则对任意δ > 0, 存在 n R 上的连续函数 g ,使得 m({x ∈ E : f (x) ≠ g(x)}) < δ . 并且sup g(x) sup f (x) . x R x E ∈ n ∈ ≤ 证明 由定理 2, 对任意 δ > 0, 存在 E 的闭子集 F , 使得 f 在 F 上连续并且 m(E − F) < δ . 由定理 4, 存在 n R 上的连续函数 g, 使得当 x ∈ F 时, g(x) = f (x).并且 sup g(x) sup f (x) sup f (x) . x R x F x E ∈ n ∈ ∈ = ≤ 由于{x ∈ E : f (x) ≠ g(x)} ⊂ E − F. 因此 m({x ∈ E : f (x) ≠ g(x)}) ≤ m(E − F) < δ . ■ 思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理 5 的另一证明. 小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是 Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼 近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用 的. 本节还证明了 Tietze 扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第 29 题—第 31 题