下面我们将给出鲁津定理另一种形式.为此,先作一些准备 引理3若A,BcR"是两个闭集并且A∩B=⑧,a,b∈R,a<b则存在R”上的 个连续函数∫,使得几A=a,fn=b并且a≤f(x)≤bx∈R 证明容易证明,若A是闭集,则d(x,A)作为x的函数在R"上连续,并且 d(x,A)=0当且仅当x∈A(见第一章习题第34题).因此,若令 f(r ad(x, B)+bd(x, A) d(, B)+d(, a 容易验证∫满足所要求的性质■ 定理4( Tietze扩张定理)设F是R"中的闭子集,∫是定义在F上的连续函数.则存在 R”上的连续函数g,使得g=∫,并且supg(x)=sp(x) 证明先设supf=M<+∞0,令 A={-Msf≤-1B,M ≤f≤M} 则A,B是两个闭集并且A∩B=.由引理3,存在R”上的连续函数g1,使得 M 并且 2 f(x)-g1(x)≤M,x∈F 对函数∫-81应用引理3,注意此时-8的上界是否M因此存在R”上的一个连续函 数g2,使得 g2(x)= M.x∈R f(x)-81(x)-g2|s2M M、x∈F. 这样一直作下去,得到R上的一列连续函数{gk},使得 M,x∈R",k=1,2,…, (4) (x)-2(x)=1|3M,x∈F,k=1285 下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备. 引理 3 若 A, B ⊂ n R 是两个闭集并且 A∩ B = ∅, a,b ∈ , 1 R a < b.则存在 n R 上的 一个连续函数 f , 使得 f a, A = f b B = 并且 a ≤ f (x) ≤ b, x ∈ n R . 证 明 容易证明 , 若 A 是闭集 , 则 d(x, A) 作 为 x 的函数在 n R 上连续 , 并 且 d(x, A) = 0 当且仅当 x ∈ A(见第一章习题第 34 题). 因此, 若令 . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) d x B d x A ad x B bd x A f x + + = 容易验证 f 满足所要求的性质.■ 定理 4 (Tietze 扩张定理)设 F 是 n R 中的闭子集, f 是定义在 F 上的连续函数. 则存在 n R 上的连续函数 g, 使得 g f , F = 并且sup g(x) sup f (x) . x R x F ∈ n ∈ = 证明 先设sup = < +∞. ∈ f M x F 令 }, 3 { M A = −M ≤ f ≤ − }. 3 { f M M B = ≤ ≤ 则 A, B 是两个闭集并且 A ∩ B = ∅. 由引理 3, 存在 n R 上的连续函数 , 1 g 使得 , 3 1 M g A = − . 3 1 M g B = 并且 ≤ x ∈ M g x , 3 ( ) 1 . n R , . 3 2 ( ) ( ) f x − g1 x ≤ M x ∈ F 对函数 1 f − g 应用引理 3, 注意此时 f − g 的上界是 . 3 2 M 因此存在 n R 上的一个连续函 数 2 g , 使得 g x ≤ ⋅ M , x ∈ 3 2 3 1 ( ) 2 . n R , . 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) 2 f x g1 x g2 M  M x ∈ F      − − ≤ ⋅ = 这样一直作下去, 得到 n R 上的一列连续函数{ }, gk 使得  ∈      ≤ ⋅ − g x M x k k , 3 2 3 1 ( ) 1 , n R k = 1,2,", (4) , , 3 2 ( ) ( ) 1 f x g x M x F k k i i  ∈      −∑ ≤ = k = 1,2,". (5)