E,的闭子集F,使得 m(e-F 6 k i=1…,k. 令E=UF,则E。是E的闭子集并且 m(E-E)=m(U(, -F))smE,-F)<8 由于f1,=∑al,由例2知厂是E上的连续函数 (2)一般情形.设∫是E上的L可测函数不妨设∫是处处有限的若令 (∫ 则g是有界可测函数,并且∫连续当且仅当g连续.故不妨设∫有界.由§3.1推论10,存在 简单函数列{}在E上一致收敛于∫.对任给的δ>0,由已证的情形(1),对每个f存在 E的闭子集F,使得f在F上连续并且m(E-F)<,令E=∩F,则E是E的 闭子集,并且 m(E-E)=m(∪(E-F1))≤∑m(E-F1)<6 由于每个f都在E上连续并且{fk}在E。上一致收敛于∫,因此∫在E。上连续 例3仍考虑例1中的 Dirichlet函数D(x)设Q={1,n2,…}是有理数集.对任意 6>0,令 E=R 则E。是闭集,并且 m(R-EA)=川∪V-2,r"2 F-) 由于E。中不含有理数,因此D(x)在E恒为零.所以D(x)在E8上连续84 Ei 的闭子集 , Fi 使得 ( ) , i 1, , k. k m Ei − Fi < = " δ 令 , 1 ∪ k i E Fi = δ = 则 Eδ 是 E 的闭子集, 并且 ( ) ( ( )) ( ) . 1 1 − δ = − ≤ ∑ − < δ = = k i i i k i m E E m ∪ Ei Fi m E F 由于 ∑= = k i E i Fi f a I 1 , δ 由例 2 知 f 是 Eδ 上的连续函数. (2) 一般情形. 设 f 是 E 上的 L 可测函数.不妨设 f 是处处有限的.若令 ). 1 , ( 1 g g f f f g − = + = 则 g 是有界可测函数, 并且 f 连续当且仅当 g 连续. 故不妨设 f 有界. 由§3.1推论10, 存在 简单函数列{ }k f 在 E 上一致收敛于 f . 对任给的δ > 0, 由已证的情形(1), 对每个 k f 存在 E 的闭子集 Fk , 使得 k f 在 Fk 上连续,并且 . 2 ( ) k k m E F δ − < 令 , 1 ∩ ∞ = = k Eδ Fk 则 Eδ 是 E 的 闭子集,并且 ( ) ( ( )) ( ) . 1 1 − δ = − ≤ ∑ − < δ ∞ = ∞ = k k k m E E m ∪ E Fk m E F 由于每个 k f 都在 Eδ 上连续并且{ }k f 在 Eδ 上一致收敛于 f , 因此 f 在 Eδ 上连续. ■ 例 3 仍考虑例 1 中的 Dirichlet 函数 D(x). 设 { , , } Q = r1 r2 " 是有理数集. 对任意 δ > 0, 令 ). 2 , 2 ( 1 1 1 1 ∪ ∞ = + + = − − − i i i i i E R r r δ δ δ 则 Eδ 是闭集, 并且 . 2 ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 δ δ δ δ δ δ δ ≤ − − = =         − = − − ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = ∞ = + + i i i i i i i i i i i i m r r m R E m ∪ r r 由于 Eδ 中不含有理数, 因此 D(x) 在 Eδ 恒为零. 所以 D(x) 在 Eδ 上连续