+[ F1 F2 F3 图3-1 定理1设E是R中的 Lebesgue可测集.∫是E上的连续函数连续.则∫是E上 Lebesgue可测函数 证明设a∈R,记E{f<a}={x∈E:f(x)<a},我们证明,存在R中的开集G 使得 E{f<a}=E∩G 事实上,对任意x∈E{∫<a},由于∫(x)<a并且∫在x连续,故存在x的邻域 U(x,61),使得当y∈U(x,6)并且y∈E时,成立f(y)<a.即 E∩U(x,o1)cE{f<a} 令G=∪U(x,6,,则G是开集(2)式表明E∩GcE{f<a另一方面,包含关系 x∈E{f<a E{∫<a}cE∩G是显然的.因此(1)式成立.(1)式表明对任意a∈Rl,E{f<a}是 Lebesgue可测集.因此∫是E上 Lebesgue可测函数■ 定理2( Lusin鲁津)设E是R”上的 Lebesgue可测集,∫是E上ae有限的 Lebesgue可 测函数则对任意δ>0,存在E的闭子集E,使得∫是E。上的连续函数(即f。在E 上连续),并且m(E-E)<6 证明分两步证明(1)先设∫是简单函数即f=∑l5,其中E12….E4是互不相 交的L可测集,E=∪E,由23定理6,对任意给定的δ>0,对每个1=1…,k,存在83 图 3—1 定理 1 设 E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集. f 是 E 上的连续函数连续. 则 f 是 E 上 Lebesgue 可测函数. 证明 设 a ∈ , 1 R 记 E{ f < a} = {x ∈ E : f (x) < a}.我们证明, 存在 n R 中的开集G , 使得 E{ f < a} = E ∩G. (1) 事实上, 对任意 x ∈ E{ f < a}, 由于 f (x) < a 并且 f 在 x 连续, 故存在 x 的邻域 ( , ) x U x δ ,使得当 ( , ) x y ∈U x δ 并且 y ∈ E 时, 成立 f ( y) < a. 即 E U(x, ) E{ f a}. ∩ δ x ⊂ < (2) 令 ( , ), { } ∪x E f a x G U x ∈ < = δ 则G 是开集. (2)式表明 E ∩G ⊂ E{ f < a}. 另一方面, 包含关系 E{ f < a} ⊂ E ∩G 是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意 a ∈ , 1 R E{ f < a} 是 Lebesgue 可测集. 因此 f 是 E 上 Lebesgue 可测函数. ■ 定理 2 (Lusin 鲁津)设 E 是 n R 上的 Lebesgue 可测集, f 是 E 上 a.e.有限的 Lebesgue 可 测函数. 则对任意δ > 0, 存在 E 的闭子集 , Eδ 使得 f 是 Eδ 上的连续函数(即 Eδ f 在 Eδ 上连续), 并且 ( ) δ . m E − Eδ < 证明 分两步证明. (1) 先设 f 是简单函数, 即 , 1 ∑= = k i i Ei f a I 其中 E Ek , , 1 " 是互不相 交的 L 可测集, . 1 ∪ k i E Ei = = 由§2.3 定理 6, 对任意给定的δ > 0, 对每个i = 1,", k, 存在 X Y F1 0 x      x0 − δ x0 + δ F2 F3  1 a 2 a a3