第83讲重积分的计算法(3) 357 f(,y, z)dv (831) 若用垂直于z轴的平面去截(831)式中的区域截痕的边界曲线L的方程设为 F(x,y,h)=0 (83.2) 当方程832)中的F(x,y,h)=0,无论h为何值只要z=h能与相截所得的F(x,y,h) 0都为同一个分析表达式,采用先重(先对x,y)后单(后对z积分)法求解 侧H4求如++5三≤1,一≤≤ 解z=h(-5≤h≤分截2得截痕边界曲线:L:{a 故I a2dxdy.其中D:+≤1-二为椭圆盘其长短半轴分别为 √1-号1-三(-号≤x≤号D的面积为 Ⅰ=|2z2·ab(1-2)dz=2nab(x2-2)d 17 240 abc (2)设(1)式中在xOy平面上投影为D,若通过D的内点与x轴平行的任何直线与a只 有两个交点:(x,y,z1(x,y))与(x,y,z2(x,y)),z1(x,y)≤x2(x,y),且对任意的(x,y)∈D, z1(x,y)与z2(x,y)的表达式的形式都不改变.也就是说,的上顶曲面与下顶曲面都不是分片 函数(注意到:例2中的』不满足此条件),这时,用先单(先对z积分)后重(后对x,y积分)的方 法 例15化r=「fx,y)为累次积分,是曲面2-==x+y,与:=x+y( ≥0)所围成的立体 解2-z=x2+y2是顶点在(0,0,2)、开口向下的旋转抛物面.z2=x2+y2(x≥0)即 z=√x2+y2是圆锥面在xOy面上方的那一半 求Dxy:由 得2 x2+ 解得x=1,2=-2(含去代人曲面方程得交线Lx=11,移反嫩Dn为x +y2≤1 在D,内恒有x(x,y)=√x+y2<2-(x2+y)=:(x,y),(x,y)=√x+y 为下顶,x2(x,y)=2-(x2+y2)为上顶.所以 (x2+y2 f(r, y, z)dz=d d f(r, y, z)dz. 注愈在上面例子中,由于Dx内,总有21(x,y)≤x2(x,y),所以两顶曲面不相交.但在下 面例16中在投影区域D,内两顶曲面相交,故要分块积分 例16化I=f(x,y,2)d为累次积分由马鞍面z=2,柱面r2+y2=ar(a>