·202 北京科技人学学报 1993年N0.1 所谓机器人工作空间、即：固定在机器 人操作机末端执行器（或称手抓.末杆）上 某参考点P,在机器人运动过程中、所有可 能达到的位置点的集合，或者说所有的可达 点占有空间的体积，这一空间称为机器人操 作机的总空间，记为W(P)。在总空间内 末端执行器可以从任何方位到达的，点所构成 的空间称为灵活工作空间，记为W(P)。总 空间去掉灵活空间所余下的空称为附属工 图】多杆操作机简图 作空间，记为W(P)。 Fig.1 Multi-link manipulator 如图】所示、设在该操作机末杆（即n杆上固定有参考点P。·则当P,点与S。坐 标系一起绕乙。轴旋转时在S。,坐标系中形成工作空间为W。-(P人该工作空间是 个圆.记作C。,。继之、n-1杆带动C。.绕乙。-，轴转动在S,-:坐标系中形成P.的 T作空间为一环状面，i记作W。,(P.)或Tous(P)。再由n-2杆带动Tours(Pn) 绕Z。,轴转动、在S。-,坐标系中形成工作空间为旋转体，记作W。-,(P,) 或SR(P,)。这样、再连续绕前面的各轴旋转得到的P,点的工作空间仍然是旋转体，丁 是绕乙，-，轴旋转作S,-,,坐标系中形成的工作空间是： W,+wP,)=R(Z。,n,W。,P月 12求解工作空间的包络法 为了求解和确定工作空间旋转体的边界曲和边界曲线，本文利用分组包络法辅之 以图示求解和表达机器人工作空间，其基本方法是：自工作空间的形成可以看出，对具 有n杆的操作机、在第n杆上的参考点P。米说、当固联坐标系S,带动P,绕乙，轴旋 转时形成·条在S,,坐标中的曲线C(如果第n个关节为移动副则得~条线。为了 便F叙述，下面都假定该关节为旋转关节)·C。随S。,~起绕L。,轴旋转时形成 曲间G。.·该曲面再绕乙：轴旋转、形成单参数曲面族，记作G小该曲面族的包 络记作G。·它就是C作空间W,(P,)的界限曲面∑wn,（Pn可简i心为Σw,.再 令G。,为母面、与S。,起绕乙。，轴旋转形成曲面族G。义可得任Sn4坐标中 的包络，称作G。的次包络、记作G。。它就是1作空间W。,(P)的界限曲 面Σw,《P,)…。此下上、就可得到W。(P,)(即在S。坐标中W。(P,)的界限 曲面Σw,(P),也就是G。的n一2次包络、其方程可多次运用单参数曲面族的包络公 式顺序求得，这将是非常繁琐的。下面给：一种利用上述包络法的分组解法川。它的基本 思想是： (1)将操作机的前关节（或前杆）划为第】组在第关节上置参考点P,(即腕2 0 2 北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 3 年 N o . 2 所谓机器 人工作空间 , 即: 固定 在机器 人操 作机末端执行器 (或称手抓 , 末杆 ) 卜 某参考点 尸 , 在机器 人运 动过程 中 , 所有可 能达到的位置点的集合 , 或者说所有的 可达 点 占有空间 的体积 , 这 一 空间称 为机 器 人操 作机的总 空间 , 记为 伴 ( )P 。 在总 空间 内 末端执行器 可以 从 任何方位到达 的点所构成 的空 问称 为灵活 工作空间 , 记为 讨尸飞)P 。 总 空 间去掉 灵活空间 所余 下的空间称为附属 工 作空 间 , 记 为 甲()P 。 如 图 1 所 示 , 设 在 该 操 作机 末 杆 ( 即 八一 叹 丫 , 了钱、 一 \ 了 犷二 图 1 多杆操作 机简图 F i g . l M u l ti 一 Ii n k m a n i p u l a t o r 。 杆 卜固 定 有参 考点 尸 ,, , 则 当 尸 ,, 点 ’ j s 。 坐 标 系 一 起绕 Z 。 轴旋 转 时 在 s , : , 坐标 系 中形 成 1 一 作空间 为 砰 , , 一 ( p , J .) 该 F 作 空 问是 一 个圆 , 记 作 C , , 。 继 之 , ” 一 l 杆 带动 C 。 , , 绕 Z , 一 , 轴 转动 在 s, , 一 : 坐标 系 中 形成 尸 。 的 工 作空 间 为 一 环 状 面 , 记 作 附 , 、 : ( 尸 , , ) 或 T o r u s (尸 , , ) 。 再 由 。 一 2 杆带 动 T O ” sr (尸 , , ) 绕 Z , 一 2 轴 转 动 , 在 S ,, 一 、 坐 标 系 中 形 成 工 作 空 间 为 旋 转 体 , 记 作 W ,: , ( 尸 , , ) 或 S R (尸 。 ) 。 这 样 , 再连 续 绕前 18 的各轴 旋转 得 到 的 尸 , , 点的 工 作空 间仍然 是旋转体 , 一 r 是绕 Z , 一 , 轴 旋转 在 S , , 一 , , 二 、 、 坐标 系 中形 成的 工作空间是 : 附 。 一 (, 、 , , ( p 。 ) 一 R 、 、 t (Z , · () , , )[ `f , , ( p , )] 1 . 2 求解工作空 间的 包络法 为 了求解 和 确定 〔 作空 l句旋 转 体 的边 界曲 面 和边 界 曲线 , 本 文利用 分 组 包络 法辅 之 以 图示 求 解 和 表 达机 器 人 I 一 作空 间 , 其基 本 方法 是: 自 仁作 空 间的 形 成 可 以 看 出 , 对具 有 。 杆 的操作机 · 在第 。 杆 卜的参 考 点 尸 , 来说 , ` 场k[] 联 坐标 系 S ” 带 动 尸 , , 绕 Z ,, 轴旋 转时 形成 一 条在 S 坐 标 中的曲线 〔 ( 如 果第 ,` 个关 节为移 动副 则得 一 条 改线 。 ” l 为 了 尸 便 厂叙述 , 卜面 都瑕 定 该关 节为旋 转 关 节) , C 随 S 尸 G 。 该曲面 再绕 Z 轴旋 转 , 形成 尸 , , 1 吐 单参数 曲 面族 , 一 起绕 记作 轴旋 转时形 成 - 该 曲 l’ 族 的包 它 就 是 I几作 空 间 体 , , _ 飞 (尸 , , ) 的 界 限 曲 面 乙 , (尸 , : )( ` ,了简 记为 艺, , ’ 气一G 曲络 记lft 作G 令` 。 。 为 母面 , 的 包络 , 称 作 G ` j s , 一 起绕 Z 轴 旋转 形 成 曲 面 族 {G 的 一 飞次包络 , 。 如此 下去 , 月 、 记作 氛 , , 。 )I , . 它 就 是 l _ 作空 间 附 又 可 得在 S (尸 ,, ) 的界 限曲 3 ) 。 再 坐标 中 就可 得到 计 也就是 G 的 n 一 2 次包 络 , 、产.、口. 面 艺w 。 _ ; ( 尸 。 曲面 艺。 , 。 ( p , , 式顺序求 得 , 思 想是: I , , . 这 将是非 常 繁琐 的 [ p , . ) ( 即在 5 .。 坐标中 体 ,: 一 2 ( p 。 ) 的 界 限 具 方程 可多 次运 用 单参数 曲 面 族 的 包络 公 卜面 给 出 一 种 利用 卜述 包络 法的 分组 解法 l] 。 它的 基 本 (l ) 将操 作 机的 前 几关 节 咬或 前 沛=)t 划 为第 l 组 在第 几关 节 卜置参考点 尸 、 ( 即 腕