grad f(x0,y2=0)=f2(x0,yV0=0)i+/,(x0,y0-0)j+f(x,y0,=0)k 与向量r=几女 dx dx 正交,即与曲线在(x02y0,0)点的切向量正交,因此 grad f(x0,y0,=0)可看作是曲线在(x0,y0,-0)点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1,这个法平面是由 gradS(x0,y0,=0)与 grad(x0,y0,0)张成的,因此 grad f(x0,yo,=0)可以由 gradS(x0,y0,=0)和 grad H(x0,y,=0)线性表出,或者说, 存在常数A0,{0,使得 gradf(xo, yo, =0)=no grad G(xo, yo, =0)+Ho grad H(xo, yo, =) 这就是点(x0,y0,0)为条件极值点的必要条件。 将这个方程按分量写开就是 f2(x0,yo,0)-40G2(x0,yo,=0)-{0H2(x0,yo,-0)=0, f(x0,yo,=0)-G,(x0,y0,=0)-H,(x,y0,-0)=0 f2(x,y,0)-20G2(x0,y0,=0)-40H2(x0,y0,=0)=0. 于是,如果我们构造 Lagrange函数 L(,y, =)=f(,, =)-iG(,y, 3)-uH(x,y,=) (A,称为 Lagrange乘数),则条件极值点就在方程组 f -2Gr-uh f,-1G,-H,=0 f2-6G2-HH2=0 G=0. 的所有解(x0y0,-0,10,4)所对应的点(x0,y20)中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法,称为 Lagrange乘数法 2.作为一个例子,现在用 Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题,即 求函数 F(x,,=) 在约束条件 y+z=1 x+2y+3=6 下的最小值(最小值的平方根就是距离)。为此,作 Lagrange函数 L(x,y,,,)=x2+y2+22-A(x+y+2-1)-(x+2y+3z-6), 在方程组 Ly=2y--2A=0 34=0, y+z-1=0, 2y+3z-6=0 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以x、y、z后相加,再利用第四、第五 式得到000 = x 000 i + y 000 j + z zyxfzyxfzyxfzyxf 000 ),,(),,(),,(),,(grad k 与向量 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx dz dx dy τ ,,1 正交，即与曲线在 点的切向量正交，因此 可看作是曲线在 点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1，这个法平面是由 与 张成的，因此 可以由 和 线性表出，或者说， 存在常数 ),,( 000 zyx zyxf 000 ),,(grad ),,( 000 zyx zyxG 000 ),,(grad zyxH 000 ),,(grad zyxf 000 ),,(grad zyxG 000 ),,(grad zyxH 000 ),,(grad 00 λ ,μ ，使得 zyxf 000 ),,(grad =λ0 zyxG 000 ),,(grad + μ 0 zyxH 000 ),,(grad ， 这就是点 为条件极值点的必要条件。 ),,( 000 zyx 将这个方程按分量写开就是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = .0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( 00000000000 00000000000 00000000000 zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf z z z y y y x x x λ μ λ μ λ μ 于是，如果我们构造 Lagrange 函数 = − λ − μ zyxHzyxGzyxfzyxL ),,(),,(),,(),,( （λ, μ 称为 Lagrange 乘数），则条件极值点就在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =−−= =−−= =−−= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 H G HGfL HGfL HGfL zzz z yy y y xxx x μλ μλ μλ 的所有解 ),,,,( λ μ 00000 zyx 所对应的点 中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法。 ),,( 000 zyx 2．作为一个例子，现在用 Lagrange 乘数法来解决本节开始提出的问题，即 求函数 222 ),,( ++= zyxzyxF 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作 Lagrange 函数 ),,,,( ( )632()1 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−−++−++= ， 在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =−++ =−−= =−−= =−−= .0632 ,01 ,032 ,022 2 ,0 zyx zyx zL yL xL z y x μλ μλ μλ 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以 x 、、 zy 后相加，再利用第四、第五 式得到 2