、契比雪夫大数定律( Chebyshev Law of Large Number) Theorem42设相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn,…分别具有均值 E(X1),E(X2)…,E(Xn)…及方差D(X1)D(2)…D(Xn)…若存在常数C,使 D(X)≤C,(k=1,2,),则对于任意正整数E,有 imP∑X-∑E(X4<G}=1 (LetX1,X2,…,Xn, sequence of independent random variables with the mean E(x1),E(X2)…,E(Xn) variance(X1),D(X2)…D(Xn),…, suppose there exists a constant C, such that D(X)sC, (k=1, 2, . ) then for any value 8>0 Xk E(X4)<E}=1) Proof:由于H1,X2,…,Hn,…相互独立,那么对于任意的n>1,X,X2,…,Xn相互 独立。于是 D∑x,)=∑x,)sS 令=1∑x4,则由契比雪夫不等式 Chebyshev inequali)有 1≥Pp-E()<e}21-02)21-C 令n→∞,则有 lim Ply,-E(Y, ) <E=1 lim p X4=∑E(x)< n→∞ Corollary4.1设相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn,…有相同的分布,且E(Xk)=, D(x,)5G(k=12)存在则对于任意正整数,有mPx-A<}=1.(e X,x2,",Xn,.be a sequence of independent and identically distributed random variables, and E(X=H, D(X=0,(k=1, 2,. ) exist then, for any value 8>0 Iim p Xk-山<E}=1.) 定理42我们称之为契比雪夫大数定理( Chebyshev Law of Large Number),推论41是 它的特殊情况,该推论表明,当n很大时,事件∑X4-<E的概率接近于1。一般地 我们称概率接近于1的事件为大概率事件( large probability event),而称概率接近于0的事件 为小概率事件( small probability event),在一次试验中大概率事件几乎肯定要发生,而小概率 事件几乎不可能发生,这一规律我们称之为实际推断原理 fact infer principle) 三、贝努里大数定律( Bernoulli law of large number) Theorem4.3设m是u次独立重复试验中事件A发生的次数,P是事件A在每次试验中49 二、 契比雪夫大数定律（Chebyshev Law of Large Number） Theorem 4.2 设相互独立的随机变量 X1 , X2 ,  , Xn ,  分别具有均值 ( ), ( ), , E X1 E X2  E(Xn ), 及方差 ( ) D X1 ( ), , D X2  D(Xn ), ，若存在常数 C ，使 D(X )  C,(k =1,2, ) k ，则对于任意正整数  ，有 ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n k k n k k n E X n X n P （Let X1 , X2 ,  , Xn ,  be a sequence of independent random variables with the mean ( ), ( ), , E X1 E X2  E(Xn ), and variance ( ) D X1 , ( ), , D X2  D(Xn ),，suppose there exists a constant C , such that D(X )  C,(k =1,2, ) k ，then for any value   0， ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n k k n k k n E X n X n P ） Proof： 由于 X1 , X2 ,  , Xn ,  相互独立，那么对于任意的 n 1，X X Xn , , , 1 2  相互 独立。于是 n C D X n X n D n k k n k  k  = = =  1 2 1 ( ) 1 ) 1 ( 令 = = n k n X k n y 1 1 ，则由契比雪夫不等式（Chebyshev inequality）有   2 2 1 ( ) 1 ( ) 1    n D Y C P Y E Y n  n − n   −  − 令 n →， 则有 lim  − ( )  =1 →  n n n P Y E Y 即 ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n k k n k k n E X n X n P . Corollary 4.1 设相互独立的随机变量 X1 , X2 ,  , Xn ,  有相同的分布，且 E(Xk ) =  ， ( ) ,( 1,2, ) D Xk   2 k =  存在，则对于任意正整数  ，有 1 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P .（Let X1 , X2 ,  , Xn ,  be a sequence of independent and identically distributed random variables，and E(Xk ) =  ， ( ) ,( 1,2, ) D Xk =  2 k =  exist ,then,for any value   0 ， 1 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P .） 定理 4.2 我们称之为契比雪夫大数定理（Chebyshev Law of Large Number），推论 4.1 是 它的特殊情况，该推论表明，当 n 很大时，事件        −  =   n k Xk n 1 1 的概率接近于 1。一般地， 我们称概率接近于 1 的事件为大概率事件(large probability event)，而称概率接近于 0 的事件 为小概率事件(small probability event)，在一次试验中大概率事件几乎肯定要发生，而小概率 事件几乎不可能发生，这一规律我们称之为实际推断原理(fact infer principle)。 三、 贝努里大数定律（Bernoulli Law of Large Number） Theorem 4.3 设 m 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中