教学内容( Contents Chapter Four大数定律和中心极限定理 Large number law and Central Limit Theorem) §4.1大数定律 Large number law) 人们在长期的实践中发现,事件发生的频率具有稳定性,也就是说随着试验次数的增多, 事件发生的频率将稳定与一个确定的常数。对某个随机变量X进行大量的重复观测,所得到 的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性,由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重 复试验的条件下呈现出来的,因而反映这方面规律的定理我们就统称为大数定律 契比雪夫不等式( Chebyshev inequality) Theorem4.1设随机变量X的均值E(X)及方差D(X)存在,则对于任意正数E,有不 等式 X P{X-E(Y)P}≤ 或 P{X-E(X)ke}≥1 (If the mean E(X)and variance D(X)of the random variable X are known, then for any value 8>0 PI X-E(XRES(X) X-E(x)ke}≥ D(X) 我们称该不等式为契比雪夫( Chebyshev)不等式 Proof::(我们仅对连续性的随机变量进行证明)设f(x)为X的密度函数,记E(X)= D(X=O PllX-E(X)PE)=f(x)dx< [(x-p-f(r)dr D(X) (x-)f(x)dx≤ 从定理中看出,如果D(X)越小,那么随机变量X取值于开区间(E(X)-E,E(X)+ε)中的 概率就越大,这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心( distribution center)(E(X)的集中程度的数量指标 利用契比雪夫不等式,我们可以在随机变量X的分布未知的情况下估算事件 X-E(X)k}的概率 Example41设随机变量X的数学期望E(X)=10,方差D(X)=0.04,估计 P⑨2<X<1!的大小 Solution P92<X<1l}=P(-08<X-10<l}2P{X-10<0821 0.04 =0.9375 因而P92<X<1不会小于0937548 教 学 内 容 ( Contents ) Chapter Four 大数定律和中心极限定理(Large Number Law and Central Limit Theorem) §4.1 大数定律(Large number law) 人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次数的增多， 事件发生的频率将稳定与一个确定的常数。对某个随机变量 X 进行大量的重复观测，所得到 的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重 复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的定理我们就统称为大数定律。 一、 契比雪夫不等式（Chebyshev inequality） Theorem 4.1 设随机变量 X 的均值 E(X ) 及方差 D(X ) 存在，则对于任意正数  ，有不 等式 2 ( ) {| ( ) | }   D X P X − E X   或 2 ( ) {| ( ) | } 1   D X P X − E X   − 成立。 (If the mean E(X ) and variance D(X ) of the random variable X are known，then for any value   0 2 ( ) {| ( ) | }   D X P X − E X   or 2 ( ) {| ( ) | } 1   D X P X − E X   − ) 我们称该不等式为契比雪夫（Chebyshev）不等式。 Proof: （我们仅对连续性的随机变量进行证明）设 f (x) 为 X 的密度函数，记 E(X ) =  ， 2 D(X) =  则   −  −  − −  =         x x f x dx x P X E X f x dx ( ) ( ) {| ( ) | } ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1      D X  x − f x dx   =  + − 从定理中看出，如果 D(X ) 越小，那么随机变量 X 取值于开区间 (E(X ) − ,E(X ) +  ) 中的 概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(distribution center) (E(X )) 的集中程度的数量指标。 利用契比雪 夫不等式 ，我们可 以在随 机变量 X 的分布未知 的情况 下估算事件 {| X − E(X ) | } 的概率。 Example 4.1 设随机变量 X 的数学期望 E(X ) = 10 ，方差 D(X ) = 0.04, 估 计 P9.2  X 11 的大小。 Solution       0.9375 (0.8) 0.04 9.2 11 0.8 10 1 10 0.8 1 2 P  X  = P −  X −   P X −   − = 因而 P9.2  X 11 不会小于 0.9375