·746 智能系统学报 第11卷 下给出合理决策的能力，而这一能力的基础就是对 与知识的粒度粗细存在正相关的关系：知识粒度越 信息的模糊粒化。Zadeh在文献[17]中将粒定义为 粗，它的不确定性越大（边界域越大）。在粗糙集理 一个命题，定义并讨论了模糊粒的概率分布及概率 论中，知识被表示为对特定空间上的对象的划分能 的计算方法。随着模糊集理论的不断发展完善，使 力，知识粒度被表示为对象的等价类，相同的知识称 得以模糊逻辑和信息粒化为基础的模糊信息粒化理 为不可分辨。以粗糙集理论为基础的粒计算研究， 论，-1]得以更好地实现，它们为词计算的发展提 就是对知识空间上粒的表示、转换和相互依存等问 供了前提条件。 题进行相关研究，以期得到更精确的知识表达。 2.2粗糙集理论模型 2.3商空间理论模型 波兰学者Pawlak[1]在20世界80年代提出了 张钹院士和张铃教授[20]在研究问题求解时，开 粗糙集理论，它是一种处理不精确和不确定性知识 创性地提出了商空间理论。商空间理论模型可以用 的数学工具。粗糙集理论的本质是利用不可分辨关 一个三元组(X,f,T)来表示：X表示问题论域，f表 系（等价关系R)构成对象的等价类(X/R),而所 示论域的属性，T是表示论域的拓扑结构。对于 有的等价类形成论域(U)的划分，从而建立一个近 个给定的论域X的等价关系R,可以得到一个对应 似空间。在近似空间中，通过下近似集(R(X))和 于R的商集[X],然后将[X]当成新的论域，必有 上近似集(R(X))等概念刻画知识的不确定和不 一个对应的三元组([X],[f刀，[T]),称其为对应 精确性。它们的定义为 于R的商空间。商空间理论的推理模型主要依据 R(X)={x∈UI[x]RCX} 两个重要的性质：一个是“保真原理”，指若一个命 题在两个较细粒度的商空间中是真的，则（在一定 R(X)={x∈U1[x]R∩X≠☑ 条件下)在其合成的商空间中对应的问题也是真 下近似集和上近似集把论域分成3个部分，分 的：另一个是“保假原理”，指若一个命题在粗粒度 别为正区域(POS(X))、负区域(NEG.(X))和 空间中是假的，则该命题在比它细的商空间中也一 边界域(BNDx(X)): 定为假。 POS(X)=R(X) 商空间理论的目的是研究不同商空间之间的关 NEG(X)=U-R(X) 系、商空间的分解、合成和推理规律。它将复杂问题 表示成不同粗细的粒度空间，然后构建多粒度的分 BND(X)=R(X)-R(X) 层递阶商空间结构，并通过由粗到细或由细到粗的 从图1可知，在粒度一定的情况下，假设黑线勾 方式，利用“保真原理”和“保假原理”逐层在多粒度 勒出的知识表示概念X,那么概念X的下近似集就 空间中进行多级逼近推理，最后将多粒度空间中粒 是由完全属于边界域范围内粒子组成，在图形中用 的解组合成原始问题难题或整体粒的解，从而获得 黑体部分表示：概念X的上近似集包括灰色部分和 复杂问题的解。 黑色部分组成：概念X的边界域由是灰色部分组 2.4云模型 成。那么由此可以看出，当知识粒度越小，那么下近 1995年李德毅院士在概率论和模糊数学的基 似集越大，边界越小。 础上提出隶属云和隶属云发生器[21)，并进一步发展 为云模型四。云的定义如下所示： 设U是一个用精确数值表示的定量论域，C是 U上的定性概念，若定量值x∈U,且x是定性概念 C的一次随机实现，x对C的确定度u(x)∈[0,1] 是具有稳定倾向的随机数。 若u:U→[0,1]，x∈U,x一u(x)则x 在论域U上的分布称为云，每一个x称为云滴。 集合的边界X的下近似的上、下近似之差 云由若干云滴组成，云滴是某个定性概念的 图1粗糙集的上下近似集与边界域图 次随机实现，多次产生的云滴可以综合反映这个定 Fig.1 Upper approximation,lower approximation and 性概念的整体特征。某个概念的整体特征可以用云 boundary region of rough set 的3个数字特征来表示，即期望Ex、熵En和超熵 图1表明，知识是有粒度的，且知识的不确定性 He。云和云的数字特征如图2所示。下给出合理决策的能力，而这一能力的基础就是对 信息的模糊粒化。 Ｚａｄｅｈ 在文献［１７］中将粒定义为 一个命题，定义并讨论了模糊粒的概率分布及概率 的计算方法。 随着模糊集理论的不断发展完善，使 得以模糊逻辑和信息粒化为基础的模糊信息粒化理 论［１，１７－１８］得以更好地实现，它们为词计算的发展提 供了前提条件。 ２．２ 粗糙集理论模型 波兰学者 Ｐａｗｌａｋ ［１９］ 在 ２０ 世界 ８０ 年代提出了 粗糙集理论，它是一种处理不精确和不确定性知识 的数学工具。 粗糙集理论的本质是利用不可分辨关 系（等价关系 Ｒ ） 构成对象的等价类（ Ｘ ／ Ｒ ），而所 有的等价类形成论域（ Ｕ ）的划分，从而建立一个近 似空间。 在近似空间中，通过下近似集（ Ｒ＿ （Ｘ） ）和 上近似集（ Ｒ － （Ｘ） ） 等概念刻画知识的不确定和不 精确性。 它们的定义为 Ｒ＿ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ Ｒ ⊆ Ｘ｝ Ｒ － （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ ［ｘ］ Ｒ ∩ Ｘ ≠ ∅｝ 下近似集和上近似集把论域分成 ３ 个部分，分 别为正区域（ ＰＯＳＲ（Ｘ） ）、负区域（ ＮＥＧＲ（Ｘ） ） 和 边界域（ ＢＮＤＲ（Ｘ） ）： ＰＯＳＲ（Ｘ） ＝ Ｒ＿ （Ｘ） ＮＥＧＲ（Ｘ） ＝ Ｕ － Ｒ － （Ｘ） ＢＮＤＲ（Ｘ） ＝ Ｒ － （Ｘ） － Ｒ＿ （Ｘ） 从图 １ 可知，在粒度一定的情况下，假设黑线勾 勒出的知识表示概念 Ｘ， 那么概念 Ｘ 的下近似集就 是由完全属于边界域范围内粒子组成，在图形中用 黑体部分表示；概念 Ｘ 的上近似集包括灰色部分和 黑色部分组成；概念 Ｘ 的边界域由是灰色部分组 成。 那么由此可以看出，当知识粒度越小，那么下近 似集越大，边界越小。 图 １ 粗糙集的上下近似集与边界域图 Ｆｉｇ．１ Ｕｐｐｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ 图 １ 表明，知识是有粒度的，且知识的不确定性 与知识的粒度粗细存在正相关的关系：知识粒度越 粗，它的不确定性越大（边界域越大）。 在粗糙集理 论中，知识被表示为对特定空间上的对象的划分能 力，知识粒度被表示为对象的等价类，相同的知识称 为不可分辨。 以粗糙集理论为基础的粒计算研究， 就是对知识空间上粒的表示、转换和相互依存等问 题进行相关研究，以期得到更精确的知识表达。 ２．３ 商空间理论模型 张钹院士和张铃教授［２０］在研究问题求解时，开 创性地提出了商空间理论。 商空间理论模型可以用 一个三元组 （Ｘ，ｆ，Ｔ） 来表示： Ｘ 表示问题论域， ｆ 表 示论域的属性， Ｔ 是表示论域的拓扑结构。 对于一 个给定的论域 Ｘ 的等价关系 Ｒ， 可以得到一个对应 于 Ｒ 的商集 ［Ｘ］， 然后将 ［Ｘ］ 当成新的论域，必有 一个对应的三元组 （［Ｘ］， ［ｆ］， ［Ｔ］）， 称其为对应 于 Ｒ 的商空间。 商空间理论的推理模型主要依据 两个重要的性质：一个是“保真原理”，指若一个命 题在两个较细粒度的商空间中是真的，则（在一定 条件下） 在其合成的商空间中对应的问题也是真 的；另一个是“保假原理”，指若一个命题在粗粒度 空间中是假的，则该命题在比它细的商空间中也一 定为假。 商空间理论的目的是研究不同商空间之间的关 系、商空间的分解、合成和推理规律。 它将复杂问题 表示成不同粗细的粒度空间，然后构建多粒度的分 层递阶商空间结构，并通过由粗到细或由细到粗的 方式，利用“保真原理”和“保假原理”逐层在多粒度 空间中进行多级逼近推理，最后将多粒度空间中粒 的解组合成原始问题难题或整体粒的解，从而获得 复杂问题的解。 ２．４ 云模型 １９９５ 年李德毅院士在概率论和模糊数学的基 础上提出隶属云和隶属云发生器［２１］ ，并进一步发展 为云模型［２２］ 。 云的定义如下所示： 设 Ｕ 是一个用精确数值表示的定量论域， Ｃ 是 Ｕ 上的定性概念，若定量值 ｘ ∈ Ｕ， 且 ｘ 是定性概念 Ｃ 的一次随机实现， ｘ 对 Ｃ 的确定度 μ（ｘ） ∈ ［０，１］ 是具有稳定倾向的随机数。 若 μ：Ｕ → ［０，１］， ∀ ｘ ∈Ｕ， ｘ → μ（ｘ） 则 ｘ 在论域 Ｕ 上的分布称为云，每一个 ｘ 称为云滴。 云由若干云滴组成，云滴是某个定性概念的一 次随机实现，多次产生的云滴可以综合反映这个定 性概念的整体特征。 某个概念的整体特征可以用云 的 ３ 个数字特征来表示，即期望 Ｅｘ、熵 Ｅｎ 和超熵 Ｈｅ。 云和云的数字特征如图 ２ 所示。 ·７４６· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷