10.1留数定理 一阶极点的情形设b点是f(x)的一阶极点,则在b点的邻域内, f(z)=a-1(z-b)-1+a+a1(z-b)+a2(z-b)2+ 以(z-b乘展开式两端 (z-b)f(2)=a-1+a0(z-b)+a1(z-b)2+a2(z-b)3+ 所以 a-1= lim(2-b)f(z) ★特别常见的情况是f(2)可以表示为P(z)/Q(2),P(2)和Q(2)均在b点及其邻域内解析,b 是Q(2)的一阶零点,Q(b)=0,Q(2)≠0,P(b)≠0,则 P() a-1=1im(2-b)f(2)=imn(2-b Q(z) Q(b) 例10.1求 2+1在奇点处的留数 解z=±i是它的一阶极点 resf(±i)= 例10.2求在奇点处的留数 解z=0是它的一阶极点 f(0) ★高阶极点的情形设z=b是f(2)的m阶极点,m≥2 f(a=a-m(2-b - a-m+ a-1(z-b)-+a0+a1(z-b)+ 两端乘上(z-b) (z-b)mf(x)=a-m+a-m+1(2-b)+…+a-1(z-b)m-1+a0(2-b)m+a1(z-b)m+1+ 这时a-1是(z-b)mf(x)的展开式中(2-b)-1项的系数,故 (a-b)mf( 例10.3求1/(2+1)3在奇点处的留数 解z=±i是它的三阶极点 f(±i) 2!d2(2 z2(z±i)3Wu Chong-shi §10.1 ✄☎✆✝ ☛ 2 ☞ F ➙➛➜➝➞➟➠ ✥ b ❀➌ f(z) ★✬➡➎❀❂❑❅ b ❀★❘✧ ❆❂ f(z) = a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + a2(z − b) 2 + · · · . ➓ (z − b) ➢❙❚q➤➥❂ (z − b)f(z) = a−1 + a0(z − b) + a1(z − b) 2 + a2(z − b) 3 + · · · . ➦ ➓ a−1 = lim z→b (z − b)f(z). F ➧➨➩➫★➏➐➌ f(z) ➒➓➭➯✫ P(z)/Q(z) ❂ P(z) ➲ Q(z) ❝❅ b ❀♥➳❘✧ ❆❈❉❂ b ➌ Q(z) ★✬➡➵❀❂ Q(b) = 0 ❂ Q0 (z) 6= 0 ❂ P(b) 6= 0 ❂❑ a−1 = lim z→b (z − b)f(z) = lim z→b (z − b) P(z) Q(z) = P(b) Q0(b) . ➸ 10.1 ➉ 1 z 2 + 1 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★✬➡➎❀✷ res f(±i) = 1 2z    z=±i = ∓ i 2 . ➸ 10.2 ➉ e iaz − e ibz z 2 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = 0 ➌❖★✬➡➎❀✷ res f(0) = limz→0 z · e iaz − e ibz z 2 . = limz→0 e iaz − e ibz z = i(a − b). F ➻➛➜➝➞➟➠ ✥ z = b ➌ f(z) ★ m ➡➎❀❂ m ≥ 2 ❂ f(z) = a−m(z − b) −m + a−m+1(z − b) −(m−1) + · · · + a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + · · · . ➤➥➢■ (z − b) m ❂ (z − b) mf(z) = a−m + a−m+1(z − b) + · · · + a−1(z − b) m−1 + a0(z − b) m + a1(z − b) m+1 + · · · . ➼ ♦ a−1 ➌ (z − b) mf(z) ★❙❚q ❊ (z − b) m−1 ➍ ★❯❄❂➽ a−1 = 1 (m − 1)! d m−1 dzm−1 (z − b) mf(z)     z=b . ➸ 10.3 ➉ 1/(z 2 + 1)3 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★➾➡➎❀✷ res f(±i) = 1 2! d 2 dz 2 (z ∓ i)3 · 1 (z 2 + 1)3     z=±i = 1 2! d 2 dz 2 1 (z ± i)3     z=±i